导与练直线平面平行关系的判定与性质

基础自主梳理考向互动探究第节直线、平面平行关系的判定与性质最新考纲1.以立体几何的相关定义、公理和定理为出发点,认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理.2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的平行关系的简单命题.1.若直线l上有不同的两点到平面α的距离相等,则直线l与平面α的位置关系是(D)(A)l∥α(B)l与α相交(C)lα(D)以上都有可能解析:当l∥α或lα时,显然满足题意;当l与α相交时,在平面α的两侧,直线l上存在不同的两点到平面α的距离相等.故选D.2.(2013成都高新区高三月考)设l、m、n表示三条直线,α、β、γ表示三个平面,则下面命题中不成立的是(D)(A)若l⊥α,m⊥α,则l∥m(B)若m⊂β,n是l在β内的射影,m⊥l,则m⊥n(C)若m⊂α,n⊄α,m∥n,则n∥α(D)若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β解析:α⊥γ,β⊥γ,α与β可能相交或平行,选项D错.故选D.3.如图所示,在空间四边形ABCD中,MAB,NAD,且MBAM=NDAN,则直线MN与平面BDC的位置关系是.解析:因为MBAM=NDAN,所以MN∥BD,又MN平面BDC,BD平面BDC,所以MN∥平面BDC.答案:平行4.设α、β是两个不重合的平面,a、b是两条不同的直线,给出下列条件:①α、β都平行于直线a、b;②a、b是α内两条直线,且a∥β,b∥β;③若a、b相交,且都在α、β外,a∥α,a∥β,b∥α,b∥β.其中可判定α∥β的条件的序号为.解析:①中,只有当a与b相交或异面时,才能推得α∥β;②中,只有a、b相交时才能判定α∥β;③中,由于a、b相交,设a、b确定平面γ,则γ∥α,γ∥β,所以α∥β.答案:③1.直线与平面平行(1)判定定理文字语言图形语言符号语言判定定理平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行(简记为“线线平行线面平行”)alal//l∥α(2)性质定理文字语言图形语言符号语言性质定理一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行线线平行”)baa//a∥b2.平面与平面平行(1)判定定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行(简记为“线面平行面面平行”)Pbababa////α∥β(2)性质定理文字语言图形语言符号语言性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行ba//a∥b质疑探究1:(1)能否由线线平行推证面面平行?(2)能否由线面垂直推证面面平行?提示:(1)可以,只需一平面内两相交直线分别平行于另一平面内的两相交直线,则两平面平行.(2)可以,只需两平面垂直于同一直线,即得面面平行.质疑探究2:如果一个平面内有无数条直线都平行于另一个平面,那么两个平面一定平行吗?提示:不一定.如果这无数条直线都平行,则这两个平面就不一定平行,可能相交,此时无数条直线都平行于交线.判断与平行相关的命题【例1】已知m、n是两条不同直线,α、β、γ是三个不同平面,下列命题中正确的是()(A)若m∥α,n∥α,则m∥n(B)若m∥n,nα,则m∥α(C)若m∥α,m∥β,则α∥β(D)若α∥β,α∥γ,则β∥γ解析:m、n平行于α,m、n可以相交也可以异面,如图中正方体的棱A1B1、B1C1都与底面ABCD平行,但这两条棱相交,故选项A不正确;在正方体中,AB∥A1B1,A1B1平面A1B1BA,而AB不平行于平面A1B1BA,故选项B错;正方体的棱B1C1既平行于平面ADD1A1,又平行于平面ABCD,但这两个平面是相交平面,故选项C不正确;由平面与平面平行的传递性,得选项D正确.故选D.(1)解决与平行相关命题的判定问题,常利用正(长)方体及其他几何体模型来判断,把平面、直线看作正(长)方体及其他几何体内平面、侧棱、对角线等进行推导验证,使抽象的推理形象具体化.(2)使用正(长)方体及其他几何体模型容易出现的失误就是验证某一条件合适,就不再验证,即以偏概全导致错误,正确的做法是想象各种情况反复验证.变式训练11:已知m、n、l为三条不同的直线,α、β为两个不同的平面,则下列命题中正确的是()(A)α∥β,mα,nβm∥n(B)l∥β,α∥βl∥α(C)m∥α,m∥nn∥α(D)α∥β,l∥α且lβl∥β解析:对于选项A,m、n可能平行或异面;对于选项B,还可能出现lα这种情形;对于选项C,还可能出现nα这种情形.由α∥β,l∥α可得l∥β或lβ,但又知lβ,∴只有l∥β.故选项D正确.故选D.直线与平面平行的判定与性质【例2】(2012年高考山东卷)如图,几何体EABCD是四棱锥,△ABD为正三角形,CB=CD,EC⊥BD.(1)求证:BE=DE;(2)若∠BCD=120°,M为线段AE的中点,求证:DM∥平面BEC.证明:(1)设BD中点为O,连接OC、OE,则由BC=CD知CO⊥BD.又已知CE⊥BD,COCE=C,所以BD⊥平面OCE.所以BD⊥OE,即OE是BD的垂直平分线,所以BE=DE.(2)取AB中点为N,连接MN、MD、DN,∵M是AE的中点,∴MN∥BE.∵△ABD是等边三角形,∴DN⊥AB.由∠BCD=120°,CB=CD知∠CBD=30°,所以∠ABC=60°+30°=90°,即BC⊥AB,所以ND∥BC,又因为MNDN=N,BEBC=B,所以平面MND∥平面BEC,又DM平面MND,故DM∥平面BEC.(1)判定线面平行的方法①利用定义:判定直线与平面没有公共点(一般结合反证法进行);②利用线面平行的判定定理;③利用面面平行的性质,即两平面平行,则其中一平面内的直线平行于另一平面.(2)线面平行的性质①直线与平面平行,则该直线与平面无公共点;②由线面平行可得线线平行.变式训练21:如图所示,四边形ABCD是平行四边形,点P是平面ABCD外一点,M是PC的中点,在DM上取一点G,过G和AP作平面交平面BDM于GH.求证:AP∥GH.证明:如图所示,连接AC交BD于点O,连接MO,∵四边形ABCD是平行四边形,∴O是AC的中点,又M是PC的中点,∴AP∥OM.则有PA∥平面BMD.∵平面PAHG∩平面BMD=GH,∴PA∥GH.平面与平面平行的判定与性质【例3】如图所示,已知ABCDA1B1C1D1是棱长为3的正方体,点E在AA1上,点F在CC1上,G在BB1上,且AE=FC1=B1G=1,H是B1C1的中点.(1)求证:E、B、F、D1四点共面;(2)求证:平面A1GH∥平面BED1F.证明:(1)连接FG.∵AE=B1G=1,∴BG=A1E=2,∴BGA1E.∴四边形BEA1G是平行四边形,∴A1GBE.又∵C1FB1G,∴四边形C1FGB1是平行四边形,∴FGC1B1D1A1,∴四边形A1GFD1是平行四边形.∴A1GD1F,∴D1FEB,∴四边形BED1F是平行四边形,E、B、F、D1四点共面.(2)取BG的中点K,则G为B1K的中点,连接C1K.∵H为B1C1的中点,∴HG∥C1K.又∵C1FBK,∴四边形BFC1K是平行四边形,∴C1K∥BF,∴HG∥BF.又A1G∥BE,A1GHG=G,BFBE=B.∴平面A1GH∥平面BED1F.(1)判定面面平行的方法①定义法:即证两个平面没有公共点;②面面平行的判定定理;③垂直于同一条直线的两平面平行;④平面平行的传递性,即两个平面同时平行于第三个平面,则这两个平面平行.(2)面面平行的性质①若两平面平行,则一个平面内的直线平行于另一平面.②若一平面与两平行平面相交,则交线平行.(3)三种平行间的转化关系线面平行中的探索性问题【例4】如图所示,在三棱柱ABCA1B1C1中,A1A⊥平面ABC,若D是棱CC1的中点,问在棱AB上是否存在一点E,使DE∥平面AB1C1?若存在,请确定点E的位置;若不存在,请说明理由.思维导引:取AB、BB1的中点分别为E、F,证明平面DEF∥平面AB1C1即可.解:存在点E,且E为AB的中点.证明:如图所示,取BB1的中点F,连接DF,则DF∥B1C1.∵AB的中点为E,连接EF,∴EF∥AB1.又B1C1与AB1是相交直线,∴平面DEF∥平面AB1C1.而DE平面DEF,∴DE∥平面AB1C1.变式训练41:如图所示,在底面是平行四边形的四棱锥PABCD中,点E在PD上,且PE∶ED=2∶1,在棱PC上是否存在一点F,使BF∥平面AEC?证明你的结论.解:当F是棱PC的中点时,BF∥平面AEC.证明:取PE的中点M,连接FM,则FM∥CE.①由EM=21PE=ED知E是MD的中点.连接BM、BD,设BDAC=O,则O为BD的中点,连接OE,则BM∥OE.②由①②知平面BFM∥平面AEC.又BF平面BFM,所以BF∥平面AEC.【例1】四棱锥ABCDE的侧面ABC是等边三角形,EB⊥平面ABC,DC⊥平面ABC,BE=1,BC=CD=2,F是棱AD的中点.(1)求证:EF∥平面ABC;(2)求四棱锥ABCDE的体积.(1)证明:取AC的中点M,连接FM、BM.又因为F是AD的中点,所以FM∥DC,且FM=21DC=1,因为EB⊥平面ABC,DC⊥平面ABC,所以EB∥DC,所以FM∥EB,又因为EB=1,所以FM=EB,所以四边形BEFM是平行四边形,所以EF∥BM.又因为EF平面ABC,BM平面ABC,所以EF∥平面ABC.(2)解:取BC中点N,连接AN.因为AB=AC,所以AN⊥BC,因为EB⊥平面ABC,所以AN⊥EB,因为BC与EB是底面BCDE内的相交直线,所以AN⊥底面BCDE,由(1)得,底面BCDE为直角梯形,故S梯形BCDE=2)(BCDCEB=3,在等边△ABC中,因为BC=2,所以AN=3,所以BCDEAV四棱锥=31S梯形BCDE·AN=3.【例2】如图所示,正方体ABCDA1B1C1D1中,点N在BD上,点M在B1C上,且CM=DN,求证:MN∥平面AA1B1B.证明:如图所示,作MP∥BB1,交BC于点P,连接NP.∵MP∥BB1,∴1MBCM=PBCP.∵BD=B1C,DN=CM,∴B1M=BN,∴1MBCM=NBDN,∴PBCP=NBDN,∴NP∥CD∥AB,∴可得平面MNP∥平面AA1B1B.又MN平面MNP,∴MN∥平面AA1B1B.点击进入限时训练