数字图像总复习第3章

第三章图象变换•3.1概述和分类•3.2傅里叶变换•3.3快速傅里叶变换•3.4其它可分离图象变换•3.5霍特林变换第三章图象变换第一节概述和分类•为了有效地和快速地对图象进行处理和分析常常需要将原定义在图象空间的图象以某种形式转换到另外一些空间，并利用在这些空间的特有性质方便地进行一定的加工,最后再转换回图象空间以得到所需的效果。•这些转换方法就是本章要着重介绍和讨论的图象变换技术。第三章图象变换图象为什么要变换•利用变换的某些性质，可以大大简化或加速图象处理过程•空域图象经过变换后形成“对应域图象”，从中会看到在空域图象中不易看到的某些“东西”。•变换后形成“对应域图象”，会呈现某些性态，利用这些性态可完成图象处理中某个应用领域的应用。应选择什么样的变换才能满足各种要求是下面要讨论的主要问题之一。变换选择的原则1)变换必须是可逆的。2)变换不能损失信息。3)变换必须是有好处的。4)变换算法必须是不复杂的。第一节概述和分类•图象变换是许多图象处理和分析技术的基础，本章的主要目的是建立起图象变换及其性质的理论基础。把傅里叶变换放在主要地位反映了它在图象处理问题中应用的广泛性。•对图象进行变换的目的：–为了便于对图象进行分析，如对图象进行特征提取、匹配、识别；–为了便于对图象进行处理，如简化处理操作、提高运算效率；–为了便于对图象数据进行压缩，提高传输效率等第三章图象变换第一节概述和分类•图像变换的一种分类方法：–可分离变换：傅里叶变换及性质快速傅里叶变换其它可分离变换–统计变换：霍特林变换•另一种分类方法：–正弦型变换：傅里叶变换、DCT–方波型变换：Walsh变换、Hadamard变换、Haar变换、Slant变换–基于特征向量的变换：霍特林变换第三章图象变换第二节傅里叶变换•1-D傅里叶变换设长度为N的离散序列为{f(0),f(1),f(2),…，f(N-l)}。则其离散傅里叶变换对定义为：1-N,0,1,2,u]/2exp[)(1)()}({10NxNuxjxfNuFxfF1-N,0,1,2,x]/2exp[)()()}({101NuNuxjuFxfuFF第三章图象变换第二节傅里叶变换：一维•在图象处理中f(x)总是实函数，但一般F(u)是复函数，可以写成：F(u)=R(u)+jI(u)其中R(u)和I(u)分别为F(u)的实部和虚部。•上式也常写成指数形式：F(u)=|F(u)|exp[j(u)]第三章图象变换第二节傅里叶变换：一维•幅度函数|F(u)|和相位函数(u)为：|F(u)|=[R2(u)+I2(u)]1/2(u)=arctan[I(u)/R(u)]•|F(u)|又称为f(x)的傅里叶频谱，(u)称为相位角。•频谱的平方称为f(x)的功率谱或频谱密度，记为P(u)：P(u)=|F(u)|2=R2(u)+I2(u)第三章图象变换第二节傅里叶变换：一维•指数项可借助欧拉公式写为：exp[-j2ux]=cos（2ux）-jsin（2ux）由于每个u值都确定所对应的正弦和余弦对的频率，所以称为频率变量。第三章图象变换第二节傅里叶变换：二维•2-D傅里叶变换图象f(x,y)的2-D傅里叶变换对是1-D傅里叶变换对的推广：1-N,0,1,2,vu,]/)(2exp[),(1),(1010NxNyNvyuxjyxfNvuF1-N,0,1,2,yx,]/)(2exp[),(1),(1010NuNvNvyuxjvuFNyxf第三章图象变换第二节傅里叶变换：二维•2-D傅里叶变换的频谱、相位角和功率谱如下：–频谱：|F(u,v)|=[R2(u,v)+I2(u,v)]1/2–相位角：(u,v)=arctan[I(u,v)/R(u,v)]–功率谱：P(u,v)=|F(u,v)|2=R2(u,v)+I2(u,v)第三章图象变换第二节傅里叶变换：二维第三章图象变换第二节傅里叶变换：二维第三章图象变换傅氏变换离散变换线性系统第二节傅里叶变换：二维一幅集成电路的扫描电子显微镜图象,放大将近2500倍第二节傅里叶变换：二维变换特性二维傅立叶变换特性•可分离性•周期与共轭对称•平移性•旋转特性•线性与相似性•均值性•拉普拉斯•卷积与相关第三章图象变换第二节傅里叶变换：二维变换特性•可分离性–二维离散傅立叶变换DFT可分离性的基本思想是：二维DFT可分离为两次一维DFT–应用：二维快速傅立叶算法FFT，是通过计算两次一维FFT实现的第三章图象变换第二节傅里叶变换：二维变换特性•可分离性的定义1-N,0,1,2,vu,]/)2exp[),(]/2exp[1),(1010NxNyNvyjyxfNuxjNvuF1-N,0,1,2,v]]/)2exp[),(1[),(10NyNvyjyxfNNvxF1-N,0,1,2,vu,]]/2exp[),(1),(10NxNuxjvxFNvuF第三章图象变换第二节傅里叶变换：二维变换特性•可分离性成立的推导–先对列（y变量）做变换：N-1F(x,v)=1/Nf(x,y)exp(-j2vy/N)]y=0–然后对行（x变量）进行变换：M-1F(u,v)=1/NF(x,v)exp(-j2ux/N)]x=0第三章图象变换第二节傅里叶变换：二维变换特性第三章图象变换行列第二节傅里叶变换：二维变换特性•平移性质–f(x，y)exp[j2(u0x+v0y)／N]F(u-u0,v-v0)–f(x-x0，y-y0)F(u,v)exp[-j2(u0x+v0y)／N]–将f(x,y)与一个指数项相乘就相当于把其变换后的频域中心移动到新的位置。–将F(u,v)与一个指数项相乘就相当于把其反变换后的空域中心移动到新的位置。同时可知，对f(x，y)的平移不影响其傅里叶变换的幅值。–该两式的证明可直接从傅里叶变换的定义式获得。第三章图象变换平移性（不影响幅值，由级数展开可得出对应关系）表明原f（x,y）用f（x,y）exp[-2j（u0x+v0y）/N]替换后进行傅里叶变换，则变换后的频域中心平移到了新位置。与上述频域平移类似，f（x,y）F（u-u0,v-v0）表明F（u,v）与一个指数项相乘后再进行傅里叶反变换，则变换后的空域中心平移到了新位置。空域平移。即f（x-x0,y-y0）F（u,v）。0000,2exp,vvuuFNyvxujyxfNvyuxjvuFyyxxf00002exp,,•举例：•当时有：•可以简单的用乘以将的傅里叶变换的原点移动到相应频率方阵的中心。•图像的离散傅里叶变换举例：200NuyxyxjeNyvxuj12exp002,21,NvNuFyxfyxyx1yxf,yxf,平移性质表明，只要将f(x,y)乘以因子(－1)x+y，再进行离散傅立叶变换，即可将图像的频谱原点（0，0）移动到图像中心（M／2,N／2）处。图7-5是简单方块图像平移的结果。图7-5(a)原图像；（b）无平移的傅立叶频谱；（c）平移后的傅立叶频谱(a)(b)(c)第二节傅里叶变换：二维变换特性•周期性和共扼对称性傅里叶变换和反变换均以N为周期，即：F(u，v)=F(u+N，v)=F(u,v+N)=F(u+N,v+N)上式可通过将右边几项分别代入傅里叶变换的定义式来验证。第三章图象变换第二节傅里叶变换：二维变换特性证明：所以上式成立。]/)(2exp[]/))()((2exp[]/))((2exp[]/))((2exp[NvyuxjNyNvxNujNyNvuxjNvyxNuj第三章图象变换第二节傅里叶变换：二维变换特性•周期性表明，尽管F(u,v)对无穷多个u和v的值重复出现，但只需根据在任一个周期里的N个值就可以从F(u,v)得到f(x，y)。同样的结论对f(x，y)在空域也成立。•如果f(x,y)是实函数，则有共扼对称性：F(u，v)=F*(-u,-v)|F(u，v)|=|F(-u,-v)|第三章图象变换第二节傅里叶变换：二维变换特性证明：因为f(x,y)是实函数，所以f(x,y)=f*(x,y)，证毕。),(**]/)(2exp[),(1]/)(2exp[),(*110101010vuFNvyuxjyxfNNvyuxjyxfNNxNyNxNy第三章图象变换第二节傅里叶变换：二维变换特性•旋转性质f(r,+0)F(w，+0)–上式表明，对f(x,y)旋转0对应于将其傅里叶变换F（u,v)也旋转0。–类似地，对F(u,v)旋转0也对应于将其傅里叶反变换f(x,y)旋转0。•证明可首先进行极坐标变换x=rcos，y=rsin，u=wcos，v=wsin，将f(x,y)和F(u,v)转换为f(r,)和F(w,)，直接将它们代入傅里叶变换对即可得到。第三章图象变换旋转不变性由旋转不变性可知，如果时域中离散函数旋转θ0角度，则在变换域中该离散傅立叶变换函数也将旋转同样的角度。离散傅立叶变换的旋转不变性如图7-6所示。图7-6（a）原始图像；（b）原始图像的傅立叶频谱；（c）旋转45°后的图像；（d）图像旋转后的傅立叶频谱(a)(b)(d)(c)第二节傅里叶变换：二维变换特性•分配律根据傅里叶变换对的定义可直接得到：F{f1(x,y)+f2(x,y)}=F{f1(x,y)}+F{f2(x,y)}•傅里叶变换和反变换对加法满足分配律，但对乘法则不满足，即一般有：F{f1(x,y)f2(x,y)}F{f1(x,y)}F{f2(x,y)}第三章图象变换第二节傅里叶变换：二维变换特性•尺度变换(缩放)给定二个标量a和b，则对傅氏变换有以下2式成立：af(x,y)aF(u,v)f(ax,by)（1/|ab|）F(u/a,v/b)证明：f(ax,by)的傅里叶变换为：（令x1=ax，y1=by）证毕。),(||1)/()/()](2exp[),f(x)](2exp[),()},({111111bvauFabbydaxdbvyauxjydxdyvyuxjbyaxfbyaxfF第三章图象变换第二节傅里叶变换：二维变换特性•平均值对一个2-D离散函数f(x,y),其平均值为：因为，对一个2-D离散函数f(x,y)：)0,0(1),(FNyxf),(1),(10102NxNyyxfNyxf第三章图象变换第二节傅里叶变换：二维变换特性如将u=v=0代入傅里叶变换定义式，可以得到：比较以上两式可得f(x,y)的平均值与傅里叶变换的关系。),(1)0,0(1010NxNyyxfNF第三章图象变换10102)0,0(1),(1NxNyFNyxfNf第二节傅里叶变换：二维变换特性•卷积定理–对1-D连续情况，两个函数的卷积定义为：–卷积定理：如果f(x)的傅里叶变换是F(u)，g(x)的傅里叶变换是G(u)，那么：f(x)*g(x)F(u)G(u)f(x)g(x)F(u)*G(u)dzzxgzfxgxf)()()()(第三章图象变换第二节傅里叶变换：二维变换特性–离散卷积定理根据傅里叶变换和反变换的周期性，假设f(x)和g(x)具有周期M，则卷积结果具有相同的周期。–只有当MA+B-1时，卷积的周期才不会重迭，否则卷积结果就会产生重迭(wrap-around)误差。–若给上述二个序列加一些零以得到其长度为M的扩展序列：1-MxA010)()(Axxfxfe1-MxB010)()(Bxxgxge第三章图象变换第二节傅里叶变换：二维变换特性–它们的离散卷积可如下定义：用fe(x)和ge(x)就可以避免重迭误