数学建模灰色模型

灰色系统及在建模中的应用一、灰色系统介绍■华中科技大学的邓聚龙教授80年代初创立的灰色系统是新兴的横断学科。在短短的二十年里已得到了长足的发展。■目前，已经成为社会、经济、科教、技术等很多领域进行预测、决策、评估、规划、控制、系统分析和建模的重要方法之一。■特别是它对时间序列短、统计数据少、信息不完全系统的建模与分析，具有独特的功效。灰色系统理论是研究灰色系统分析、建模、预测、决策和控制的理论。它把一般系统论、信息论及控制论的观点和方法延伸到社会、经济和生态等抽象系统，并结合数学方法，发展出一套解决信息不完全系统（灰色系统）的理论和方法。§1.1几种不确定性方法的比较模糊数学着重研究“认知不确定”问题，其研究对象具有“内涵明确，外延不明确”的特点。主要凭借经验，借助于隶属函数进行处理。概率统计研究的是“随机不确定”现象的历史统计规律，考察具有多种可能发生的结果之“随机不确定”现象中每一种结果发生的可能性的大小。其出发点是，大样本，且对象服从某种典型分布。灰色系统研究的是“部分信息明确，部分信息未知”的“小样本，贫信息”不确定性问题，并依据信息覆盖，通过序列算子的作用探索事物运动的现实规律。其特点是“少数据建模”，着重研究“外延明确，内涵不明确”的对象。2050年中国人口控制在15亿到16亿之间树高在20米至30米项目灰色系统概率统计模糊数学研究对象贫信息不确定随机不确定认知不确定基础集合灰色朦胧集康托集模糊集方法依据信息覆盖映射映射途径手段灰序列生成频率分布截集数据要求任意分布典型分布隶属度可知侧重内涵内涵外延目标现实规律历史统计规律认知表达特色小样本大样本凭借经验表1.1三种不确定性方法的比较§1.2灰色系统的基本原理公理1、差异信息原理。“差异”是信息，凡信息必有差异。公理2、解的非唯一性原理。信息不完全、不确定的解是非唯一的。该原理是灰色系统理论解决实际问题所遵循的基本法则。公理3、最少信息原理灰色系统理论的特点是充分开发利用已占有的“最少信息”。公理4、认知根据原理。信息是认知的根据。公理5、新信息优先原理。新信息对认知的作用大于老信息。公理6、灰性不灭原理“信息不完全”是绝对的。§1.3灰数及其运算灰数：只知道大概范围而不知道其确切值的数，通常记为：“”。例如：1.头发的多少才算是秃子。应该是个区间范围。模糊2.多少层的楼房算高楼，中高楼，低楼。3.多么大的苹果算大苹果，小苹果。灰数的种类：a、仅有下界的灰数。有下界无上界的灰数记为：∈[a,∞]b、仅有上界的灰数。有上界无下界的灰数记为：∈[-∞,b]c、区间灰数既有上界又有下界的灰数：∈[a,b]d、连续灰数与离散灰数在某一区间内取有限个值的灰数称为离散灰数，取值连续地充满某一区间的灰数称为连续灰数。二、灰色系统模型通过少量的、不完全的信息，建立灰色微分预测模型，对事物发展规律作出模糊性的长期描述，是模糊预测领域中理论、方法较为完善的预测学分支之一。灰色系统理论认为任何随机过程都是在一定幅值范围和一定时区内变化的灰色量，并把随机过程看成灰色过程。（一）不需要大量的样本。（二）样本不需要有规律性分布。（三）计算工作量小。（四）定量分析结果与定性分析结果不会不一致。（五）可用于近期、短期，和中长期预测。（六）灰色预测精准度高。灰色模型的优点:§2.1灰生成技术灰色序列生成：是一种通过对原始数据的挖掘、整理来寻求数据变化的现实规律的途径，简称灰生成。灰生成特点：在保持原序列形式的前提下，改变序列中数据的值与性质。一切灰色序列都能通过某种生成弱化其随机性，显现其规律性。灰生成的作用（意义）1.统一序列的目标性质，为灰决策提供基础。2.将摆动序列转换为单调增长序列，以利于灰建模。3.揭示潜藏在序列中的递增势态，变不可比为可比序列。常见的几种灰生成类型：1.累加生成算子（AGO）2.逆累加生成算子（IAGO）3.均值生成算子（MEAN）4.级比生成算子1.累加生成算子（AGO）定义它是对原序列中的数据依次累加以得到生成序列。令为原序列(0)x(0)(0)(0)(0)1,2,,Xxxxn我们说是的AGO序列，并记为(1)X(0)X(1)(0)XAGOX当且仅当(1)(1)(1)(1)1,2,,Xxxxn并满足(1)(0)1()()kmxkxm(1,2,,)kn例1摆动序列为：(0)1,2,1.5,3X通过AGO可以加工成单调增序列：(0)(1)(1,3,4.5,7.5)AGOXX00.511.522.533.544.5501234567891000.511.522.533.544.55012345678910(0)X(1)X2.逆累加生成算子（IAGO）定义它是对AGO生成序列中相邻数据依次累减，又称累减生成。令为原序列(0)X(0)(0)(0)(0)1,2,,Xxxxn称是的IAGO序列，并记为Y(0)X(0)YIAGOX当且仅当(1),(2),,()Yyyyn并满足()ykY(0)(0)()()(1)ykxkxk例2令原始序列为(0)X(0)(0)(0)(0)(0)(0)1,2,3,4,5Xxxxxx(1,1,1,1,1)(0)(1)(1,2,3,4,5)AGOXX(1)1,21,32,43,54IAGOX(1,1,1,1,1)这表明(1)(0)(0)()IAGOXIAGOAGOXX3.均值生成算子（MEAN）(1)(1)(1)(1)1,2,,Xxxxn定义它是将AGO序列中前后相邻两数取平均数，以获得生成序列。令为的AGO序列称为的MEAN序列，并记为(1)Z(0)X(1)X(1)X(1)(1)ZMEANX当且仅当(1)(1)(1)(1)1,2,,Zzzzn并且每个满足下述关系(1)(1)()zkZ(1)(1)(1)1()(1)2zkxkxk例3对于，有(1)(1,2,3,4,5)X(1)(1)(1)(1)(1)(1),(2),(3),(4)MEANZzzzz0.5(12),0.5(23),0.5(34),0.5(45)1.5,2.5,3.5,4.54.级比生成算子定义设序列，则称(0)(0)(0)(0)1,2,,Xxxxn(0)(0)(1)(),()xkkxk2,3,,.kn为序列的级比。(1)X检验准则设序列的级比满足(0)(0)(0)(0)1,2,,Xxxxn2211()(,)nnkee时，序列可做GM(1,1)建模。(1)X§2.2GM（1，1）模型灰色理论认为系统的行为现象尽管是朦胧的，数据是复杂的，但它毕竟是有序的，是有整体功能的。灰数的生成，就是从杂乱中寻找出规律。同时，灰色理论建立的是生成数据模型，不是原始数据模型。因此，灰色预测的数据是通过生成数据的GM(1,1)模型所得到的预测值的逆处理结果。GM(1,1)的符号含义：GM(1,1)Grey灰色Model模型1阶方程1个变量定义1设，和(0)(0)(0)(0)1,2,,Xxxxn(1)(1)(1)(1)1,2,,Xxxxn，则称(0)(1)()()xkaxkb为GM(1,1)模型的原始形式。定义2设，其中，则称(1)(1)(1)(1)1,2,,Zzzzn(1)(1)(1)0.5()0.5(1)zkxkxk(0)(1)()()xkazkb为GM(1,1)模型的基本形式。注意：原始序列(0)(0)(0)(0)1,2,,Xxxxn必是非负的，其中，。(0)()0xk1,2,,kn若原始序列不是非负的，则需要对中的元素做平移变换，即令其中，。(0)X(0)X(0)(0)()()xkxk+1,2,,kn0显然，由此得到的累加生成序列和均值生成序列都是非负的。(1)X(1)Z关于GM(1,1)模型的参数a和b如何确定？(0)(1)()()xkazkb若为参数列，且(,)TPab(0)(0)(0)(2)(3)()xxYxn(1)(1)(1)(2)1(3)1()1zzBzn则其最小二乘估计参数列满足1ˆˆˆ,TTTPabBBBY问题1关于GM(1,1)模型的解如何确定？(0)(1)()()xkazkb问题2(白化方程)解得其时间响应函数为：(1)(1)dxaxbdt(1)(0)()(1)akbbxtxeaa通过对一般微分方程的深刻剖析定义了系列的灰导数，从而使我们能够利用离散数据序列建立近似的微分方程模型：1.解得时间响应序列为：ˆ(1)(0)ˆˆˆ(1)(1)ˆˆakbbxkxeaaˆˆ(0)(1)(1)(0)ˆˆˆˆ(1)(1)()1(1)ˆaakbxkxkxkexea2.原始数据序列的预测值：(2,3,,)kn(0)X注意：(0)ˆ()xk1.(1,2,,)kn是原始数据序列(0)()xk(1,2,,)kn的拟合值。2.(0)ˆ()xk()kn是原始数据序列预测值。如何检验GM(1,1)模型的精度？问题3残差：(0)(0)ˆ()()()qkxkxk平均相对误差：相对误差：精度：(0)(0)(0)(0)ˆ()()()()100%100%()()qkxkxkkxkxk21()()1nkavgkn01()100%pavg☆后验差检验☆关联度检验☆级比偏差检验此外,还有建立灰色预测模型的一般步骤第一步：级比检验，建模可行性分析。第二步：数据变换处理。第三步：用GM(1,1)建模。第四步：模型检验。灰建模实例：北方某城市1986-1992年交通噪声平均声级数据序号年份Leq序号年份Leq1198671.12198772.43198872.44198972.15199071.46199172.07199271.6表：某城市近年来交通噪声数据[dB(A)]第一步：级比检验，建模可行性分析。1.建立交通噪声平均声级数据时间序列：(0)(0)(0)(0)1,2,,7Xxxx(71.1,72.4,72.4,72.1,71.4,72.0,71.6)2.求级比：(0)(0)(1)()()xkkxk(2),(3),(7)(0.9820,1.0000,1.0042,1.0098,0.9917,1.0059)3.级比判断：2211(),nnkee由于所有的，()[0.778800783,1.284025417]k(2,3,,7)k，故可以用作满意的GM(1,1)建模。(0)X第二步：用GM(1,1)建模。1.对原始数据作一次累加：(0)X(1)(0)1()()kmxkxm(1,2,,7)k(1)(1)(1)(1)1,2,,7Xxxx得：(71.1,143.5,215.9,288,359.4,431.4,503)2.构造数据矩阵B及数据向量Y：(1)(1)(1)12(1)(2)107.32zxx(1)(1)(1)13(2)(3)179.32zxx(1)(1)(1)17(6)(7)467.22zxx(1)(1)(1)15(4)(5)323.72zxx(1)(1)(1)14(3)(4)251.952zxx(1)(1)(1)16(5)(6)395.42zxx于是得到：(0)(0)(0)(0)(0)(0)72.4(2)72.4(3)72.1(4),71.4(5)72.0(6)71.6(7)x