数学一轮复习专辑24指数与指数函数

2.4指数与指数函数要点梳理1.根式（1）根式的概念如果一个数的n次方等于a（n＞1且n∈N*），那么这个数叫做a的n次方根.也就是，若xn=a，则x叫做___________,其中n＞1且n∈N*.式子叫做_____,这里n叫做_________，a叫做___________.a的n次方根na根式根指数被开方数基础知识自主学习（2）根式的性质①当n为奇数时,正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时，a的n次方根用符号____表示.②当n为偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为相反数,这时，正数的正的n次方根用符号____表示,负的n次方根用符号________表示.正负两个n次方根可以合写为________（a＞0）.③=______.nananananna)(a④当n为奇数时，=____;当n为偶数时，=_______________.⑤负数没有偶次方根.2.有理数指数幂(1)幂的有关概念①正整数指数幂：（n∈N*）；②零指数幂：a0=____（a≠0）；③负整数指数幂：a-p=_____（a≠0，p∈N*）；nna||aann)0()0(aaaaa1pa1④正分数指数幂：=_______（a0，m、n∈N*，且n1）；⑤负分数指数幂：==(a0,m、n∈N*,且n1).⑥0的正分数指数幂等于______，0的负分数指数幂_____________.（2）有理数指数幂的性质①aras=______(a0,r、s∈Q);②(ar)s=______(a0,r、s∈Q);③(ab)r=_______(a0,b0,r∈Q).nmanmanmanma1nma1ar+sarsarbr0没有意义基础自测1.已知a则化简的结果是（）A.B.C.D.解析,4142)14(a14a14aa41a41.41)41()41()14(212244aaaaC3.指数函数的图象与性质y=axa10a1图象定义域___值域___________性质(1)过定点_________(2)当x0时,_____;x0时,_______(2)当x0时,_______;x0时,_____(3)在(-∞，+∞)上是_______(3)在(-∞，+∞)上是________R(0,+∞)(0,1)y1y10y10y1减函数增函数2.下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）上单调递增的是（）A.y=x3B.y=-x2+1C.y=|x|+1D.y=2-|x|解析因为y=x3是奇函数，从而可排除A，因为函数y=-x2+1及y=2-|x|在（0，+∞）上单调递减，所以排除B、D.C3.右图是指数函数（1）y=ax，（2）y=bx,（3）y=cx,（4）y=dx的图象,则a，b，c，d与1的大小关系是()A.ab1cdB.ba1dcC.1abcdD.ab1dc解析方法一当指数函数底数大于1时，图象上升，且当底数越大时，在第一象限内，图象越靠近y轴；当底数大于0且小于1时,图象下降,且在第一象限内,底数越小，图象越靠近x轴.故可知ba1dc,选B.方法二令x=1,由图象知c1d1a1b1,∴ba1dc，故选B.答案B4.已知f(x)=2x+2-x,若f(a)=3,则f(2a)等于（）A.5B.7C.9D.11解析∵f（x）=2x+2-x，f（a）=3，∴2a+2-a=3，f（2a）=22a+2-2a=4a+4-a=（2a+2-a）2-2=9-2=7.B5.若函数y=(a2-3a+3)·ax为指数函数，则有（）A.a=1或2B.a=1C.a=2D.a0且a≠1解析∴a=2..023,10,133,1022aaaaaaaa且且C题型一指数幂的化简与求值【例1】计算下列各式：.)()();())()((;)()(;)()().)((.33312248436235491325129721252702701323234316561312121320503132bbababababbababa题型分类深度剖析先把根式化为分数指数幂，再根据幂的运算性质进行计算.解.44)]3()6(2[)3(.1)25(1)25()25(125)2(.100935351009925)27125()3.0()1(06531216121322312aabba原式原式原式思维启迪根式运算或根式与指数式混合运算时,将根式化为指数式计算较为方便，对于计算的结果，不强求统一用什么形式来表示，如果有特殊要求，要根据要求写出结果.但结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数..)(224)24)(2(224)8()4(331313131313131313231313232313132313131313131313231313231bbbbbbbabbbaabbaababbbbabbaabab原式探究提高知能迁移1.),()(;)()()().()(的值求若化简：xxxxxxaxaa42421212972710270122212121021231解.)1(1)1(1,)1(2)1(4)1()21)(21()4(4,21,)2(.45135493101)925(7)000127()1(2222222221212121231aaaaaaaaaaaaaaaaaaaxxxxaaxaax原式得由原式题型二指数函数的性质【例2】(12分)设函数f(x)=为奇函数.求：（1）实数a的值；（2）用定义法判断f（x）在其定义域上的单调性.由f（-x）=-f（x）恒成立可解得a的值;第(2)问按定义法判断单调性的步骤进行求解即可.思维启迪1222xxaa解(1)方法一依题意，函数f（x）的定义域为R，∵f（x）是奇函数，∴f（-x）=-f（x），2分∴2(a-1)(2x+1)=0，∴a=1.6分方法二∵f(x)是R上的奇函数，∴f(0)=0，即∴a=1.6分（2）由(1)知，设x1x2且x1,x2∈R，8分,12221222xxxxaaaa,1212)(xxxf,0222a10分∴f(x2)f(x1),∴f(x)在R上是增函数.12分(1)若f(x)在x=0处有定义,且f(x)是奇函数,则有f(0)=0,即可求得a=1.（2）由x1x2推得实质上应用了函数f（x）=2x在R上是单调递增这一性质.,0)12)(12()22(2)1221()1221(12121212)()(121212112212xxxxxxxxxxxfxf则,2221xx探究提高知能迁移2设是定义在R上的函数.（1）f（x）可能是奇函数吗？（2）若f（x）是偶函数，试研究其单调性.解(1)方法一假设f(x)是奇函数,由于定义域为R,∴f（-x）=-f（x）,即整理得即即a2+1=0,显然无解.∴f（x）不可能是奇函数.),ee(eexxxxaaaa,)e)(e(01xxaa,01aaxxaaxfee)(方法二若f(x)是R上的奇函数，则f(0)=0,即∴f(x)不可能是奇函数.(2)因为f(x)是偶函数，所以f(-x)=f(x),即整理得又∵对任意x∈R都成立，∴有得a=±1.当a=1时，f(x)=e-x+ex,以下讨论其单调性，任取x1,x2∈R且x1x2,,eeeexxxxaaaa,0)e)(e1(xxaa,01aa,,01无解aa当f(x1)f(x2),f(x)为增函数,此时需要x1+x20，即增区间为[0,+∞),反之(-∞,0]为减区间.当a=-1时，同理可得f(x)在（-∞，0］上是增函数，在［0，+∞）上是减函数.,ee,ee,ee))(ee(eeeee)()(0012121212121221121xxxxxxxxxxxxxxxfxf其中则,01e21xx题型三指数函数的图象及应用【例3】已知函数(1)作出图象；(2)由图象指出其单调区间；(3)由图象指出当x取什么值时函数有最值.思维启迪化去绝对值符号将函数写成分段函数的形式作图象写出单调区间写出x的取值.)31(|1|xy解（1）由已知可得其图象由两部分组成：一部分是：另一部分是：y=3x(x0)y=3x+1(x-1).向左平移1个单位向左平移1个单位,)1(3)1()31()31(11|1|xxyxxx)0()31(xyx);()(1311xyx图象如图：(2)由图象知函数在（-∞，-1］上是增函数，在（-1，+∞）上是减函数.(3)由图象知当x=-1时,函数有最大值1,无最小值.在作函数图象时,首先要研究函数与某一基本函数的关系.然后通过平移或伸缩来完成.探究提高知能迁移3若直线y=2a与函数y=|ax-1|(a0,且a≠1)的图象有两个公共点,则a的取值范围是______.解析数形结合.当a1时，如图①,只有一个公共点，不符合题意.当0a1时，如图②,由图象知02a1,)21,0(.210a1.单调性是指数函数的重要性质，特别是函数图象的无限伸展性，当0a1，x→+∞时，y→0；当a1，x→-∞时,y→0;当a1时，a的值越大，图象越靠近y轴，递增的速度越快；当0a1时，a的值越小，图象越靠近y轴，递减的速度越快.2.画指数函数y=ax的图象,应抓住三个关键点:(1,a)、(0,1)、(-1,).方法与技巧a1思想方法感悟提高3.在有关根式、分数指数幂的变形、求值过程中，要注意运用方程的观点处理问题，通过解方程（组）来求值，或用换元法转化为方程来求解.1.指数函数y=ax(a0,a≠1)的图象和性质与a的取值有关，要特别注意区分a1与0a1来研究.2.对可化为a2x+b·ax+c=0或a2x+b·ax+c≥0(≤0)的指数方程或不等式，常借助换元法解决，但应注意换元后“新元”的范围.失误与防范1.函数f(x)=ax-b的图象如右图，其中a、b为常数，则下列结论正确的是（）A.a1,b0B.a1,b0C.0a1,b0D.0a1,b0解析由图象得函数是减函数，∴0a1.又分析得，图象是由y=ax的图象向左平移所得，∴-b0,即b0.从而D正确.答案D2.已知函数y=4x-3×2x+3,当其值域为[1,7]时,x的取值范围是（）A.[2，4]B.(-∞，0]C.(0，1]∪[2，4]D.(-∞，0]∪[1，2]解析y=(2x)2-3×2x+3∴2x∈[-1，1]∪[2，4]，∴x∈(-∞，0]∪[1，2].],7,1[43)232(2x].25,21[]21,25[232].425,41[)232(2xxD3.定义运算：a*b=如1*2=1,则函数f(x)=2x*2-x的值域为（）A.RB.(0,+∞)C.(0，1]D.[1，+∞)解析f（x）=2x*2-x=∴f（x）在(-∞，0]上是增函数，在(0，+∞)上是减函数，∴0f(x)≤1.,)()(babbaa,)0(2)0(2xxxxC4.若函数则该函数在(-∞，+∞)上是（）A.单调递减无最小值B.单调递减有最小值C.单调递增无最大值D.单调递增有最大值解析令u(x)=2x+1,则因为u(x)在（-∞,+∞)上单调递增且u(x)1,而在（1,+∞)上单调递减，故在(-∞,+∞)上单调递减，且无限趋于0，故无最小值.,121)(xx