数学建模统计预测方法及预测模型

中南大学数学科学与计算技术学院统计预测方法及预测模型第十章统计预测方法及预测模型统计预测的基本问题1趋势外推预测2时间序列的确定性因素分析3回归预测法41多元线性回归模型及其假定条件510.1统计预测的基本问题10.1.2统计预测方法的分类及其选择10.1.3统计预测的原则和步骤10.1.1统计预测的概念和作用10.1.1统计预测的概念和作用(一)统计预测的概念概念:预测就是根据过去和现在估计未来，预测未来。统计预测属于预测方法研究范畴，即如何利用科学的统计方法对事物的未来发展进行定量推测.例1下表是我国1952年到1983年社会商品零售总额（按当年价格计算），分析预测我国社会商品零售总额。1106.7221973604.01119622849.43219831023.3211972607.71019612570.0311982929.2201971696.9919602350.0301981858.0191970638.0819592140.0291980801.5181969548.0719581800.0281979737.3171968474.2619571558.6271978770.5161967461.0519561432.8261977732.8151966392.2419551339.4251976670.3141965381.1319541271.1241975638.2131964348.0219531163.6231974604.5121963276.811952总额（yt）时序（t）年份总额（yt）时序（t）年份总额（yt）时序（t）年份实际资料是预测的依据；理论是预测的基础；数学模型是预测的手段。统计预测的三个要素：统计预测方法是一种具有通用性的方法。(二)统计预测的作用•在市场经济条件下，预测的作用是通过各个企业或行业内部的行动计划和决策来实现的;•统计预测作用的大小取决于预测结果所产生的效益的多少。影响预测作用大小的因素主要有：预测费用的高低；预测方法的难易程度；预测结果的精确程度。10.1.2统计预测方法的分类和选择•统计预测方法可归纳分为定性预测方法和定量预测方法两类，其中定量预测法又可大致分为趋势外推预测法、时间序列预测法和回归预测法,;•按预测时间长短分为近期预测、短期预测、中期预测和长期预测;•按预测是否重复分为一次性预测和反复预测。(一)统计预测方法的分类(三)定量预测定量预测的概念:定量预测也称统计预测，它是根据已掌握的比较完备的历史统计数据，运用一定的数学方法进行科学的加工整理，借以揭示有关变量之间的规律性联系，用于预测和推测未来发展变化情况的一类预测方法(二)统计预测方法的选择统计预测方法时，主要考虑下列三个问题：合适性费用精确性只需要因变量的历史资料，但用趋势图做试探时很费时必须收集历史数据，并用几个非线性模型试验为所有变量收集历史数据是此预测中最费时的为两个变量收集历史数据，此项工作是此预测中最费时的需做大量的调查研究工作应做工作与非线性回归预测法相同在两个变量情况下可用计算器，多于两个变量的情况下用计算机在两个自变量情况下可用计算器，多于两个自变量的情况下用计算机计算器计算器计算机硬件最低要求当被预测项目的有关变量用时间表示时，用非线性回归因变量与一个自变量或多个其它自变量之间存在某种非线性关系因变量与两个或两个以上自变量之间存在线性关系自变量与因变量之间存在线性关系对缺乏历史统计资料或趋势面临转折的事件进行预测适用情况中期到长期短、中期短、中期短、中期短、中、长期时间范围趋势外推法非线性回归预测法多元线性回归预测法一元线性回归预测法定性预测法方法只需要序列的历史资料计算器适用于一次性的短期预测或在使用其他预测方法前消除季节变动的因素短期分解分析法计算过程复杂、繁琐只需要因变量的历史资料，但制定并检查模型规格很费时间只需要因变量的历史资料，是一切反复预测中最简易的方法，但建立模型所费的时间与自适应过滤法不相上下只需要因变量的历史资料，但初次选择权数时很费时间应做工作计算机计算机在用计算机建立模型后进行预测时，只需计算器就行了计算器计算机硬件最低要求适用于任何序列的发展型态的一种高级预测方法适用于趋势型态的性质随时间而变化，而且没有季节变动的反复预测具有或不具有季节变动的反复预测不带季节变动的反复预测适用情况短期短期短期短期时间范围平稳时间序列预测法自适应过滤法指数平滑法移动平均法方法方法时间范围适用情况计算机硬件最低要求应做工作干预分析模型预测法短期适用于当时间序列受到政策干预或突发事件影响的预测计算机收集历史数据及影响时间景气预测法短、中期适用于时间趋势延续及转折预测计算机收集大量历史资料和数据并需大量计算灰色预测法短、中期适用于时间序列的发展呈指数型趋势计算机收集对象的历史数据状态空间模型和卡尔曼滤波短、中期适用于各类时间序列的预测计算机收集对象的历史数据并建立状态空间模型在统计预测中的定量预测要使用模型外推法，使用这种方法有以下两条重要的原则：•连贯原则，是指事物的发展是按一定规律进行的，在其发展过程中，这种规律贯彻始终，不应受到破坏，它的未来发展与其过去和现在的发展没有什么根本的不同；•类推原则，是指事物必须有某种结构，其升降起伏变动不是杂乱无章的，而是有章可循的。事物变动的这种结构性可用数学方法加以模拟，根据所测定的模型，类比现在，预测未来。10.1.3统计预测的原则和步骤(一)统计预测的原则(二)统计预测的步骤确定预测目的搜索和审核资料分析预测误差，改进预测模型选择预测模型和方法提出预测报告10.2趋势外推法10.2.1趋势外推法概述10.2.2多项式曲线趋势外推法10.2.3指数曲线趋势外推法10.2.4生长曲线趋势外推法10.2.5曲线拟合优度分析统计预测中南大学趋势外推法的基本思想()yft●某些客观事物的发展变化相对于时间推移，常表现出一定的规律性：如：经济现象（指标）随着时间的推移呈现某种上升或下降趋势，这时，若作为预测对象的该经济现象（指标）变化又没有明显的季节性波动迹象，理论上就可以找到一条合适的函数曲线反映其变化趋势。可建其变化趋势模型（曲线方程）：●当有理由相信这种趋势可能会延伸到未来时，对于未来时点的某个Ｙ值（经济指标未来值）就可由上述变化趋势模型（直线方程）给出。这就是趋势外推的基本思想。●趋势外推的条件有２：变化趋势的时间稳定性、曲线方程存在。统计预测中南大学02004006008001000120019931994199519961997199819992000200120022003利润额yt某家用电器厂1998～2008年利润额数据年份19931994199519961997199819992000200120022003利润额yt2003003504005006307007508509501020yabx统计预测中南大学某商场某种商品过去9个月的销量数据某商场过去9年市场需求量统计数据051015202530354045012345678910销售量（万件）051015202530354045012345678910销售量（万件）010002000300040005000600070008000900010000012345678910总需求量（件）2yabxcxbtyae10.2.1趋势外推法概述一、趋势外推法概念和假定条件趋势外推法概念：当预测对象依时间变化呈现某种上升或下降趋势，没有明显的季节波动，且能找到一个合适的函数曲线反映这种变化趋势时，就可以用趋势外推法进行预测。运用趋势外推法进行预测是基于两个基本假设：一是决定过去预测对象发展的因素，在很大程度上仍将决定其未来的发展；二是预测对象发展过程一般是渐进变化，而不是跳跃式变化。趋势外推法的突出特点是选用一定的数学模型来拟合预测变量的变动趋势，并进而用模型进行预测。二、趋势外推法经常选用的数学模型根据预测变量变动趋势是否为线性，又分为线性趋势外推法和曲线趋势外推法。（一）线性模型（二）曲线模型1.多项式曲线模型2.简单指数曲线模型3.修正指数曲线模型4.生长曲线模型（龚珀资曲线模型）一般形式：01ˆtybbt2012ˆktkybbtbtbt统计预测中南大学(一)直线趋势外推法•适用条件：时间序列数据（观察值）呈直线上升或下降的情形。该预测变量的长期趋势可以用关于时间的直线描述，通过该直线趋势的向外延伸（外推），估计其预测值。两种处理方式：拟合直线方程与加权拟合直线方程统计预测中南大学02004006008001000120019921993199419951996199719981999200020012002200320042005利润额yt02004006008001000120019921993199419951996199719981999200020012002200320042005利润额yt例3.1某家用电器厂1993～2003年利润额数据资料如表3.1所示。试预测2004、2005年该企业的利润。年份19931994199519961997199819992000200120022003利润额yt2003003504005006307007508509501020？？统计预测中南大学02004006008001000120019921993199419951996199719981999200020012002200320042005利润额yt系列2线性(利润额yt)?A拟合直线方程法22yabx11yabx33yabx11yabx使用最小二乘法拟合直线统计预测中南大学•概念：离差与离差平方0246810121234567eeˆttteyy离差：11ˆ()nnttttteyy离差和：2211ˆ()nnitttteyy离差平方和最小拟合程度最好6y6ˆy★最小二乘法原理★统计预测中南大学★最小二乘法原理★•本质:使历史数据到拟合直线上的离差平方和最小，从而求得模型参数的方法。•演进：法国数学家勒让德于1806年首次发表最小二乘理论。事实上，德国的高斯于1794年已经应用这一理论推算了谷神星的轨道，但直至1809年才正式发表。•应用：最小二乘法也是数理统计中一种常用的方法，在工业技术和其他科学研究中有广泛应用。•运算过程：统计预测中南大学2211ˆ()nnttttteyy离差平方和2211ˆ()()(,)nnttttttyyyabxQab11111122211111()()()()()()nnttttnnnnttttttttttnnnttttttaybxybxnnnxyxyxxyybnxxxx0QQab112()02()0ntttnttttQybxaaQxybxab统计预测中南大学x=123456789101112130200400600800100012001993199419951996199719981999200020012002200320042005利润额………………代入相应的x，得出预测值y………………ˆyabx统计预测中南大学解例3.1某家用电器厂1993~2003年利润额数据资料如表3.1所示。试预测2004、2005年该企业的利润。年份19931994199519961997199819992000200120022003利润额20030035040050063070075085095010200200400600800100012001993199419951996199719981999200020012002200320042005利润额统计预测中南大学年份利润额yt19932001994300199535019964001997500199863019997002000