数学归纳法4

数学归纳法及其应用(4)练习:2.求证:能被64整除.49161nnnN3.用数学归纳法证明:当n为奇数时,xn+yn能被x+y整除.4.求证:能被a2+a+1整除.121(1)()nnaanN1.用数学归纳法证明能被9整除.()(31)71()nfnnnN1.(2005年广东)设平面内有n条直线(n≥3),其中有且仅有两条直线互相平行,任意三条直线不过同一点.用f(n)表示这n条直线交点的个数.(3)(2)2ff(4)(3)3ff(5)(4)4ff()(1)1fnfnn累加得:()(2)234(1)fnfn1()(2)(1),(3)2fnnnn(1)计算f(3),f(4),f(5)的值;并猜想f(n)的表达式;(2)证明你的猜想.例题:例题:2.在平面上画n条直线(n≥2),且任意两条直线都相交,任意三条直线不过同一点.用f(n)表示这n条直线交点的个数,并证明.f(2)=1f(3)=f(2)+2f(4)=f(3)+3f(k+1)=f(k)+k例题:3.在平面上画n条直线,且任意两条直线都相交,任意三条直线不过同一点.问:这n条直线将平面分成多少个部分?f(1)=2f(2)=4f(3)=7f(4)=11f(k+1)=f(k)+(k+1)例题:3.在平面上画n条直线,且任意两条直线都相交,任意三条直线不过同一点.问:这n条直线将平面分成多少个部分?解:设n条直线将平面分成f(n)个部分,由f(1)=2=1+1f(2)=4=2+2f(3)=7=4+3f(4)=11=7+4猜想:f(n)=1+1+2+3+4+…+n证明:(1)n=1,2时，结论都成立.假设n=k时，结论都成立.即:f(k)=1+1+2+3+4+…+k当n=k+1时,第k+1条直线和前k条直线都相交,有k个交点.这k个交点将这条直线分成k+1段，且每一段将原有的平面部分分成两个部分.即：f(k+1)=f(k)+(k+1)2.平面内有n个圆,且任意两个圆都有两个交点,无三个圆交于同一点.求证:这n个圆将平面分成n2-n+2个部分.练习:1.求证:凸n边形的对角线条数1()(3)2fnnnAn+1A3A2A4AnA1练习:1.求证:凸n边形的对角线条数1()(3)2fnnnAn+1A3A2A4AnA11、猜想、归纳证明是发现与论证的完美结合.2、三个注意：（1）是否用了归纳假设？（2）验证n=n0要关注计算的项数！（3）从n=k到n=k+1时关注项的变化！小结:3、数学归纳法证明恒等式时，第二步证明中常用到的变形手段：因式分解、乘法公式、添拆项、配方等.思考:怎样用数学归纳法证明:2221111(2,)23nnNn步骤：①（归纳奠基）验证当n取第一个n0时命题成立②（归纳递推）假设n=k(k∈N,k≥n0)时命题成立,证明n=k+1时命题也成立.③根据①②得出对所有的正整数n命题成立.1.数学归纳法原理2.数学归纳法只适用于和正整数有关的命题.小结:主要题型:数列,恒等式,不等式,整除问题,几何问题.1.用数学归纳法证明“5n－2n能被3整除”的第二步中,n=k+1时,为了使用归纳假设,应将5k+1－2k+1变形为_____________•解析：(2)假设n=k时命题成立.即:5k－2k被3整除.当n=k+1时5k+1－2k+1=5×5k－2×2k=5(5k－2k)＋5×2k－2×2k=5(5k－2k)＋3×2k2、用数学归纳法证明“n为正奇数时，求证xn+yn被x+y整除”时，第二步归纳假设应写成（）A.假设n=2k+1(k∈N*)时正确，再推n=2k+3时正确B.假设n=2k-1(k∈N*)时正确，再推n=2k+1时正确C.假设n=k(k≥1)时正确，再推n=k+2时正确D.假设n≤k(k≥1)时正确，再推n=k+2时正确2.是否存在常数a、b、c使等式1×22+2×32+…+n×(n+1)2=(an2+bn+c)对一切n∈N*成立？并证明你的结论.(1)12nn作业:1.P91:4,5,612343.1111......1447710(32)(31)nnnSSSSS已知数列，，，，，，计算，，，，根据计算结果，猜想的表达式，并用数学归纳法证明.3.用数学归纳法证明22413212111nnnn