概率与数理统计第一章

概率论与数理统计引言•为什么要学习概率论与数理统计？•研究对象•实际应用•学习方法•关于老师在我们所生活的世界上，充满了不确定性从扔硬币、掷骰子和玩扑克等简单的机会游戏，到复杂的社会现象；从婴儿的诞生，到世间万物的繁衍生息；从流星坠落，到大自然的千变万化……，我们无时无刻不面临着不确定性和随机性.A.太阳从东方升起；B.明天的最高温度；C.上抛物体一定下落；D.新生婴儿的体重.下面的现象哪些是随机现象？生活中处处存在不确定性，我们把带有随机性、偶然性的现象称为随机现象。概率论的研究对象随机现象的统计规律性当人们在一定的条件下对它加以观察或进行试验时，观察或试验的结果是多个可能结果中的某一个.1.随机现象的特点?在每次试验或观察前都无法确知其结果，即呈现出偶然性.或者说，出现哪个结果“凭机会而定”.2.随机现象是不是没有规律可言?否！在一定条件下对随机现象进行大量观测会发现某种规律性.两个实验投掷硬币实验新生儿性别实验试验者抛掷次数(n)正面次数(m)正面出现的频率(m/n)笛·摩尔根204810610.518莆丰404020480.5069皮尔逊1200060190.5016皮尔逊24000120120.5005维尼30000149940.4998出生年份新生儿总数n新生儿总数频率(%)男孩数m1女孩数m2男孩m1/n女孩m2/n19771978197919801981198236704250405658446344723118832177213829553271372217872073191728893073350951.3151.2252.7350.5651.5651.4748.6948.7847.2749.4448.4448.53总计31394161461524851.4848.523.何为随机事件?随机事件有什么特点?在一定条件下可能发生也可能不发生的事件称为随机事件.例：明天的最高气温小于30摄氏度。特点：首先，随机事件的发生具有偶然性,在一次试验中，可能发生，也可能不发生.其次，在大量重复试验中，随机事件的发生具有某种规律性.4.随机事件发生的可能性大小是人为的吗?随机事件发生的可能性大小是不以人们的意志为转移的,就好比一根木棒有长度，一块土地有面积一样.今后我们将用概率来度量随机事件发生可能性的大小.否！5.天有不测风云和天气可以预报有矛盾吗?无!“天气可以预报”指的是研究者从大量的气象资料来探索这些偶然现象的规律性.“天有不测风云”指的是随机现象一次实现的偶然性.从表面上看，随机现象的每一次观察结果都是随机的，但多次观察某个随机现象，便可以发现，在大量的偶然之中存在着必然的规律.小结随机现象有其偶然性一面，也有其必然性一面，这种必然性表现在大量重复试验或观察中随机现象所呈现出的固有规律性，称为随机现象的统计规律性.小结随机现象常常表现出这样或那样的统计规律，这正是概率论所研究的对象.下面我们开始学习，概率论与数理统计就是以数量化方法来研究随机现象及其规律性的一门数学学科两部分内容：1.概率论的基本概念、定理及公式（重点）2.数理统计研究怎样从大量的随机的看似杂乱无章的数字中获得统计结果学习概率论与数理统计的实用性概率论与数理统计有广泛应用(1).金融、信贷、医疗保险等行业策略制定；(2).流水线上产品质量检验与质量控制；(3).服务性行业中服务设施及服务员配置；(4).生物医学中病理试验与药理试验；(5).食品保质期、弹药贮存分析，电器与电子产品寿命分析；学习方法•转变思维模式：最重要－不变——随机变动•多思考：－每次课会给大家思考、练习的时间•勤做练习：关于老师经济学院：赵伟邮箱：[e-mail]电话：189-8040-9040第一章随机事件与概率现实世界中存在的两类现象一.确定性现象在一定条件下必然发生的现象称为确定性现象.“太阳每天从东边升起”,“同性电荷必然互斥”。“水从高处流向低处”,引言二.不确定性现象或随机现象在一定条件下可能出现也可能不出现的现象称为随机现象.实例1在相同条件下掷一枚均匀的硬币，观察正反两面出现的情况.结果有可能出现正面也可能出现反面.这类现象的特点是,即使在相同的条件下,每次试验所得的结果也会不相同,或者已知它过去的状态,它将来的发展状态仍然无法确定.结果有可能为:1,2,3,4,5,6.实例3抛掷一枚骰子,观察出现的点数.实例2用同一门炮向同一目标发射同一种炮弹多发,观察弹落点的情况.结果:弹落点会各不相同.试验结果的不确定性实例4从一批含有正品和次品的产品中任意抽取一个产品.其结果可能为:正品、次品.实例5过马路交叉口时,可能遇上各种颜色的交通指挥灯.未来的不确定性实例7刘翔还能破世界纪录吗？实例6明天的天气可能是晴,也可能是多云或雨.主观的不确定性有些事情即使已经发生了，但是在你知道结果之前，它们仍然具有不确定性。这种不确定性我们称之为主观不确定性。实例8硬币落地后虽然结果已经确定,但是在观察之前你还是无法确定硬币是正面还是反面朝上。实例9病人得的病虽然已经是客观存在的事实,但是在确诊之前,在医生看来病人得的是什么病仍然有多种可能。主观不确定性融入了观察者个人的信念.实验者nnHfn(H)德.摩根204810610.5181蒲丰404020480.5069K.皮尔逊1200060190.5016K.皮尔逊24000120120.5005维尼30000149940.4998n:抛掷硬币的次数;nH:正面朝上的次数；nnHfHn/)(著名的抛硬币试验()nfH的增大n.212.随机现象在一次观察中出现什么结果具有偶然性,但在大量试验或观察中,这种结果的出现具有一定的统计规律性,概率论就是研究随机现象这种本质规律的一门数学学科.1.随机现象揭示了条件和结果之间的非确定性联系,其数量关系无法用函数加以描述.两点说明§1.1基本概念1.1.1随机试验与事件如果一个试验具有如下的共同特点:(1)可在相同的条件下重复进行;(2)每次试验的可能结果不止一个,但是能事先明确试验的所有可能的结果;(3)试验之前不能确定哪一个结果会出现.则称满足该试验为随机试验.简称为试验.定义1.1.1随机试验E的所有可能结果组成的集合称为E的样本空间,记为S={ω},S的元素ω,即E的一个可能的结果,称为样本点或基本事件.E1:抛一枚硬币,观察正面H反面T的出现情况;E2:抛一枚硬币两次,观察正面H反面T的出现情况;E3:抛一枚硬币三次,观察正面H反面T的出现情况;E4:掷一颗骰子,观察出现的点数;E5:在家电仓库里随机地抽取一台电视机,测试它的寿命;E6:记录某一天城市发生车祸的次数.随机试验的例子相应的样本空间1,SHT2,,,SHHHTTHTT3{,,,,,,,}SHHHHHTHTHHTTTHHTHTTTHTTT4{1,2,3,4,5,6}S5:0Stt60,1,2,3,S2.同一试验,若试验目的不同,则对应的样本空间也不同.例如对于同一试验:“将一枚硬币抛掷三次”.若观察正面H、反面T出现的情况,则样本空间为若观察出现正面的次数,则样本空间为7{0,1,2,3}.S3{,,,,,,,}.SHHHHHTHTHTHHHTTTTHTHTTTT1.试验不同,对应的样本空间也不同.几点说明3.建立样本空间,事实上就是建立随机现象的数学模型.因此,一个样本空间可以概括许多内容大不相同的实际问题.例如只包含两个样本点的样本空间它既可以作为抛掷硬币出现正面或出现反面的模型,也可以作为产品检验中合格与不合格的模型,又能用于排队现象中有人排队与无人排队的模型等.{,}SHT在具体问题的研究中,描述随机现象的第一步就是建立样本空间.集合这一概念为我们搭建了从随机现象到数学的一座桥梁。随机事件把样本空间的某个子集(具有某种特征的样本点组成的子集)称为“随机事件”,简称为“事件”.以E5为例,如果电视机的寿命超过10000个小时被认为是合格品,则“所抽取的电视机是合格品”这一事件可以用S5的子集A={t:t10000}来表示.例2中,“至少出现一次正面”这一事件可以表示成:HHTHHTB,,一般地,我们用英文字母表中前面的大写字母(可以带下标)表示事件,如用A,B,C,A1,B3,D17等.设A为随机事件,如果试验的结果ω属于A,则称事件A发生.即试验的结果A事件A发生样本空间有两个特殊的子集,一个是S本身,由于它包含了所有可能的结果,所以在每次试验中它总是发生的,我们将其称为必然事件;另一个子集是空集φ,它不包含任何元素,因此在每次试验中都不发生,我们将其称为不可能事件.1.1.2事件间的关系与运算由于事件是样本空间的一个子集,因此本节所涉及到的事件之间的关系与运算就是集合间的关系与运算,但是事件之间的关系与运算需要一套特别的语言来描述,并且熟悉这种特别的语言对本章及以后的学习起着非常重要的作用.这一部分的重点就是能正确地将集合论中的符号翻译成概率论的语言.1)符号:BA集合论中的含义:若ω∈A,则ω∈B概率论中的含义:若A发生,则B发生.这时我们称事件B包含了事件A.若同时,则称A与B相等,记为A=B.BAABSBA2)符号:AB集合论中的含义:ABω∈A或ω∈B概率论中的含义:事件发生AB事件A发生或事件B发生事件A与事件B至少有一个发生将AB称为BA,的和事件,它表示“BA与至少有一个发生”.这一新事件.SBABA将“nkkA1”称为n个事件A1,A2,…An的和事件,它表示“A1,A2,…An至少有一个发生”这一事件；将“1kkA”称为可列个事件A1,A2,…An…的和事件,它表示“A1,A2,…An…至少有一个发生”这一事件.进一步推广3)符号:或ABAB集合论中的含义:AB概率论中的含义:事件发生ABA发生且B发生A且BBA,同时发生.将AB或AB称为BA,的积事件,它表示“事件A与B同时发生”这一事件.SABAB进一步推广称nkkA1为n个事件A1,A2,…An的积事件，它表示“A1,A2,…An同时发生”这一事件；称1kkA为可列个事件A1,A2,…An…的积事件，它“表示A1,A2,…An…同时发生”这一事件.例1.1.1设有n座桥梁如下图所示串联而成12nLR用A表示事件“L至R是通路”，Ai表示“第i座桥梁是畅通的”(i=1,2,…,n),则有niiAA1如果这n座桥梁如下图所示是并联而成的，12nLR则有niiAA14)符号:BA集合论中的含义:AB概率论中的含义:BA发生A发生但B不发生.A且B称BA为A与B的差事件,它表示“事件A发生而事件B不发生”这一新事件.SABBASABBAABAAB5)符号:BA或AB集合论中的含义:概率论中的含义:BA与不相交即没有公共部分ABBA与同时发生是不可能的AB一般地，如果AB，我们就称事件BA与互不相容或互斥,它表示事件A与B不可能同时发生。SAB6)符号:AB集合论中的含义:B是A的补集,即有ABS且AB概率论中的含义:事件A与B有且只有一个发生.称为事件A的逆事件或对立事件ABSBAAAASS有以下公式成立ABAB7）事件的运算规律交换律：,ABBAABBA结合律：()()ABCABC()()ABCABC分配律：()()()ABCABAC()()()ABCABAC德.摩根律：ABABABAB11nnnnAA11nnnnAA例1.1.2设A,B,C为三个事件,则1)事件{A与B发生而C不发生}可以表示为CAB2){A,B,C至少有两个发生}可以表示为ABACBC3){A,B,C恰好发生两个}可以表示为ABCABCABC4){A,B,C中有不多于一个发生}可以表示为ABCABCABCABC例1.1.3如图所示的系统中,设A,B,C分别表示元件a,b,c能正常工作的,D为整个系