概率统计内容解析与教学设计

概率统计内容解析与教学设计华东师范大学数学系李俊今日安排•概率、统计与数学•内容分析•学生认知困难分析•教学的困难与对策概率、统计与数学数学统计概率描述性统计推断性统计微积分…异同联系•一位顾客买了一包标有5公斤装的面粉，回家称后发现份量不足，于是向消费者协会投诉。在正常情况下，这种面粉重量的分布是正态分布N(5,0.25).消协去实地随机抽检了这种面粉25包，发现其平均重量为4.8公斤，的确比标示的份量少。问是否可以说该工厂有不实包装之嫌？反复抽样法•原假设：这25包面粉重量属于均值为5.0的这个总体，即.相对的备择假设：这25包面粉重量属于均值小于5.0的总体•如果在N(5,0.25)下发生“25包的平均重量为4.8公斤”的概率并不小，那么我们不能拒绝原假设，应将这次的份量不足归为完全是由随机性造成的。•那么这件事在N(5,0.25)下发生的概率是多少呢？我们可以计算一下下面这个检验统计量4.85.02.00.5/25xUn0:5.0H如果说古典统计学的功能主要是描述事物的局部和现状的话，那么，现代统计学的功能则主要是借助概率工具推断事物的总体和未来。从古典统计学到现代统计学实现的是质的飞跃，飞跃的主要标志之一就是统计推断。如果我们的抽样以随机原则进行，那么运用概率论的原理，根据整体与部分之间的内在联系进行分析和推断，就可以使归纳推断产生的不确定性得到度量和控制。概率统计的学科特点（1）数据是含有背景并带有随机性的数字；三个问题哪个更像统计问题？（1）求20，21，21，22，22，22，22，23，23.这组数据的平均数、中位数和众数；（2）9位学生的鞋号由小到大是：20，21，21，22，22，22，22，23，23.这组数据的平均数、中位数和众数中哪个指标是鞋厂最不感兴趣的？哪个指标是鞋厂最感兴趣的？（3）某鞋厂在你们全年级中随机抽取2个班级，调查并记录每个学生的鞋号，你认为这组数据的平均数、中位数和众数中哪个指标是鞋厂最不感兴趣的？哪个指标是鞋厂最感兴趣的？鞋厂据此调查数据组织生产一定与现在你们全年级学生所需各种尺码鞋子的数量一致吗？2004河南省中考题在某旅游景区上山的一条小路上，有一些断断续续的台阶，如下图所示是其中的甲、乙台阶路的示意图。请你用所学过的统计知识(平均数、中位数、方差、标准差等)回答下列问题：(1)两段台阶路有哪些相同点和不同点?(2)哪段台阶路走起来更舒服?为什么?(3)为方便游客行走，需要重新整修上山的小路，对于这两段台阶路台阶数不变的情况下，请你提出合理的整修建议。颜色、水果等是数据吗？•数据按其取值可分为以下四种类型：–计量数据，如人的身高等，取值可以是某个区间内的任意一个实数–计数数据，如人数等，取值为整数，大部分仅在非负整数范围内取值–名义数据，如颜色、性别等，常用数来表示属性的分类，但这些数只起一个名义的作用，没有大小关系，也不能进行运算–有序数据，如文盲、小学、初中、高中或中专、大专或大学，用数0、1、2、3、4分别表示，但这些数只起一个顺序的作用，类与类之间的差别不由数的差表示定量数据定性数据众数、中位数的用处，人为编制的统计问题概率统计的学科特点（1）数据是含有背景并带有随机性的数字；（2）随机性和规律性是随机现象对立统一的两面；随机现象有规律•在现实世界中，有一些现象在相同的条件下，重复同样的试验，该现象却有时发生有时不发生，这些现象就其个别来看发生与否是没有规则、不可预测的，但是通过大量的试验和观察以后，就其整体来看却表现出一种非偶然的规律性，这些现象被称为“随机现象”（不确定现象）规律是指事物发展过程中的本质联系和必然趋势揭示规律是重点某班四十位同学每人抛两枚硬币10次实验中成功掷出“两个正面”的次数02468010203040学号成功次数该班同学共计400次实验中成功掷出“两个正面”的频率0.0000.0500.1000.1500.2000.2500.3000.3501030507090110130150170190210230250270290310330350370390反复抽样可以发现非偶然的规律！00.10.20.30.40.50.60.7020406080100120140160180200220实验次数频率两个正面一正一反多次经历观察频率发展趋势两面：随机性与规律性怎么叫作对随机现象研究清楚？•即使是概率学家也不能预测任何一次的结果，理论的指导并不是使原来无法预料结果变为能够预料结果（如预料彩票结果）这样的转化，而是知道这个随机现象所有可能出现的结果（随机变量所有可能的取值）及每个结果出现的概率（取每个值时的概率），即它的分布。“35选7”彩票•从01，02，…，35中不重复地开出7个基本号码和一个特殊号码，中各等奖的规则如下中奖级别中奖规则中奖概率一等奖7个基本号码全中0.0000149％二等奖中6个基本号码及特殊号码0.000104％三等奖…………概率统计的学科特点（1）数据是含有背景并带有随机性的数字；（2）随机性和规律性是随机现象对立统一的两面；（3）深入研究对象进行观察，基于数据得到回答；0246810121419501955196019651970197519801985199019952000上海市人均住房面积（平方米）孩子的书包太重了•医生指出：书包过重导致背部不适，长时间背过重书包会引起肌肉疲劳并导致腰背痛，建议大家留意孩子书包过重的问题。•脊骨专家指出，如书包重量超过儿童体重的三分之一，学童会在短期内觉得不舒服，出现例如背痛、肩痛、肌肉过紧等症状，一般来说，15%以上偏重。•问题是否很严重？需要调查！定量研究！调查的问题有哪些？一磅等于0.454公斤Backpack_1case1of79AttributeValueUnitNameAngieGenderFGradeOneBodyWeight45lbPackWeight4lbPercentWt9%对美国学生的一次调查TinkerPlots软件制作(lb)GradeCircleIconBackpackOneThreeFiveSeven015.130.245.317(27%)21(34%)18(29%)6(10%)0(0%)0(0%)4(25%)12(75%)0(0%)0(0%)0(0%)1(100%)PackWeight(lb),orderedbyPackWeig...GradeCircleIconBackpackOneThreeFiveSeven468101214161820222426283032343617212219GradePercentWt(%)CircleIconBackpack07.51522.53037.5OneThreeFiveSeven18%71%12%0%0%19%62%19%0%0%9%41%32%14%5%11%11%53%16%11%Grade,orderedbyGenderPercentWt(%)Ge...FMFuseRectangularBackpack07.51522.53037.5OneThreeFiveSeven18%71%12%0%0%19%62%19%0%0%9%41%32%14%5%11%11%53%16%11%15.0Grade,orderedbyGradePercentWt(%)GradeFiveOneSevenThreeFuseRectangular概率统计的学科特点（1）数据是含有背景并带有随机性的数字；（2）随机性和规律性是随机现象对立统一的两面；（3）深入研究对象进行观察，基于数据得到回答；（4）计算机模拟实验是教学时重要的一个数据来源。B=binornd(ones(100,10),0.5,100,10)B=00101110011100110001110101111111001101111111000100100100001101101110010011010101111110011100000001000110000000011001010011001101010111100011计算机模拟概率实验又快又简单连续扔出3个正面•扔一个普通硬币，问平均来说要扔几次可连续扔出三个正面？用计算器模拟第一次试验第二次试验第三次试验第四次试验第五次试验001000100五次实验平均值51／５（10.2）理论值141011001011110100001011100100010001101101006次28次3次9次5次理论解法•设N_k是连着得到k个正面所需抛掷的次数，它满足以下递推关系：N_{k}=0.5*(N_{k-1}+1)+0.5*(N_{k-1}+1+N_{k})其含义是有0.5的概率再多扔一次得到正面，就成功完成k个正面，有0.5的概率再多扔一次得到反面，又得重新开始计数。于是有N_{k}=2N_{k-1}+2其解是N_{k}=2^{k+1}-2N_{3}=24-2=14用计算机模拟05101520253035numberofflipsMeasuresfromSampleofcoinDotPlot8101214161820answerMeasuresfromSampleofMeasuresfromSampleofcoinDotPlot概率统计的学科特点（1）数据是含有背景并带有随机性的数字；（2）随机性和规律性是随机现象对立统一的两面；（3）深入研究对象进行观察，基于数据得到回答；（4）计算机模拟实验是重要的一个数据来源。研究的对象与方法都与数学不一样联系概率统计的学科特点，谈谈你对如何上出统计味的看法。内容分析8年级教过数据表示、数据分析和概率的学生百分比1999用统计图表表示和解释数据算术平均数简单的概率——理解和计算国家和地区美国比利时加拿大中国台湾捷克9686911149939381128879247247英国中国香港意大利日本韩国99658443959330623878901049399荷兰新加坡879777884617国际平均757043大型国际比较测试中大陆学生在统计部分测试成绩第10名，其他领域均第1名普及统计，培养有统计素养的公众•统计存在于国民经济及日常生活的各个方面，不懂统计很可能会不知不觉地受到损失•科学地认识客观事物的一种工具–发现赛场统计，电脑键盘上的字母为何不按顺序排列–判断许多不确定现象无法用形式逻辑推理解决说理方式不同如，变量之间是否有关系？关系有多强？是因果关系吗？–决策预测买哪一种彩票，下联号的注还是凌乱的注–交流结论来自于数据和统计方法，可靠恰当吗？•统计学是一个很可能不知不觉地出错的领域。对不确定现象的良好直觉需要在修正中培养•卖报利润问题：某人以卖报为生，每天早上从发行商处购进报纸零售，晚上将没有卖掉的报纸退回。如果每份报纸的购进价为0.8元，零售价为1元，退回价为0.75元，那么为了获得最大的利润，他每天应购进多少份报纸？概念性理解程序操作的流畅性解决问题策略的能力恰当的说理能力积极的态度倾向•知识与技能•数学思考•解决问题•情感与态度数学课程标准（2001）NationalResearchCouncil(2001)数学教育目标所有中小学生学校教育生成统计素养的元素和影响统计素养表现的因素（示意图）统计素养基本知识基本技能基本思想方法基本活动经验情感、态度读写能力数学知识背景知识问题解决能力统计分析意识质疑意识培养数据分析观念（标准2011年版）•了解在现实生活中有许多问题应当先做调查研究，收集数据，通过分析作出判断，体会数据中蕴涵着信息；了解对于同样的数据可以有多种分析的方法，需要根据问题的背景选择合适的方法；通过数据分析体验随机性，一方面对于同样的事情每次收集到的数据可能不同，另一方面只要有足够的数据就可能从中发现规