概率论课件5152

参数估计与假设检验第五章参数估计.数当的统计量估计总体参根据样本数据，选用适1.点估计数理统计的基本问题是如何根据样本提供的信息，对总体的分布及分布的数字特征作出统计推断.统计推断假设检验。已知：总体的分布类型.未知总体的一个或多个参数参数估计对所要推断的参数，构造适当的样本函数，即统计量，用这个统计量来估计该参数.点估计区间估计给出总体未知参数所在的随机范围，并指出这个范围包含总体参数的概率.2.区间估计§5.1点估计概述估计量与估计值一.);(~xFX设总体为待估的未知参数),,,(ˆ21nXXXh统计量.ˆ的估计量为称统计量.),,,(ˆ21的估计值的值叫参数估计量nxxxh衡量统计量的好坏，有三条标准：（1）无偏性；（2）有效性；（3）相合性.二、评价估计量的标准无偏性.1.ˆ,),,,(ˆ21的无偏估计量是则称如果的估计量是参数设nXXX,系统偏差是无无偏估计量的直观意义优点)ˆ(E1.5定义)ˆ(limEn若渐近无偏估计量ˆ.,,,,21均存在的样本是来自总体设DXEXXXXXn.)(1).1(1的无偏估计量是总体期望EXXnXnii)1()(1niiXnEXEEXXEnnii1)(1.)2(2202不是的无偏估计量，是BSDXSniiXnXnEES122211niiXnEEXn122112iiEXDX2XEXDDX221SnnB较大时在样本容量n.22SB)1(])(1[212SnnEXXnEnii21ESnn21nn22EB故样本二阶中心矩是2的有偏估计量但212])(1[limniinXXnE的渐近无偏估计量是DXS20注意如果ˆ是的无偏估计量g()是的函数未必能推出g(ˆ)是g()的无偏估计量例如总体X~N(2)X是的无偏估计量但2)(X却不是2的无偏估计量的无偏估计量一般不是S.32XEXD2XE22n2...1321的无偏估计量总体下列统计量是否为的样本是总体，，例XXXX32112110152XXX32121214331XXX3213613121XXX321410710151XXX都是总体数学期望的无偏估计量.)(.2最小方差性有效性有效比称若的两个无偏估计量是和设212121ˆˆ),ˆ()ˆ(,ˆˆDD.5027)ˆ(.187)ˆ(43DXDDXD32112110152)ˆ(XXXDD解321411001254DXDXDX.7249)ˆ(2DXD更有效无偏估计量3ˆ2.5定义.41.2更有效个无偏估计量中哪一个的比较上例例32112110152XXX32121214331XXX3213613121XXX321410710151XXX.5021DXniiDXn1212221ˆESE都是2的无偏估计量例54设总体X~N(12)其中参数2未知20(X1Xn)为来自总体X的样本(n1)考虑2的两个估计量21221)(11ˆXXnSnii2122)1(1ˆniiXnniiiniiEXXEnXnEE121221)(1])1(1[ˆniiiniiEXXEnXnEE121221)(1])1(1[ˆ22ˆE])1(1[)(])1(1[ˆ212222122niiniiXDnXnDDn42下面来比较它们的方差因此12])1([)1(ˆ42222221nSnDnDSD后者小于前者故22ˆ较21ˆ有效因此12])1([)1(ˆ42222221nSnDnDSD因此12])1([)1(ˆ42222221nSnDnDSD])1(1[)(])1(1[ˆ212222122niiniiXDnXnDDn42])1(1[)(])1(1[ˆ212222122niiniiXDnXnDDn42)1(2])1([22nSnDnXDnii2])(1[212)1(~)1(222nSn)()(12212nXnii)1(2])1([22nSnDnXDnii2])(1[212作业：p.1541、p.1934)1(~)1(222nSn)()(12212nXnii~相合性.31||limPn§5.2参数的最大似然估计与矩估计求一般参数点估计的常用方法.一、矩法估计(皮尔逊:替换原则)矩用样本的矩代替总体的思想:.,00,01);(,1的矩法估计求参数其他其密度函数为具有均匀分布设总体例xxfXXkey2ˆ:.),,(2的矩估计量和试求参数服从设总体例UX003ˆ,3ˆ:SXSXkey用样本的k阶原点矩等于总体的k阶原点矩，用样本的k阶中心矩等于总体的k阶中心矩（一般利用1阶原点矩和2阶中心矩），建立方程，解出所需估计的参数.生比概率小的事件易于发概率大的事件在一次试验中,最大似然原理X连续型的总体),,,;,,,(:2121mnxxxLL联合密度nimixf121),,,,(X离散型总体),,,;,,,(:2121mnxxxLL联合概率分布nimixp121).,,,;(.,,,ˆ,,ˆ,ˆ2121的估计值为达到最大的参数值使mmL想最大似然估计的基本思为样本的似然函数称L二、最大似然估计0,0,021mLLL.,,,ˆ,,ˆ,ˆ,ˆ,,ˆ,ˆ),,,;,,,(2121212121的最大似然估计值分别为则称最大值取到在若似然函数mmmmnxxxL.0ln,0ln,0ln21mLLL.程组似然方程和对数似然方4.5定义般求法三、最大似然估计的一),,,;,,,(:.12121mnxxxLL写出似然函数0,0,0.221mLLL令.0ln,0ln,0ln21mLLL或.解得驻点)ˆ.(.3LMLE估计量求得各参数的最大似然分布10.11,0,)1(}{1xppxXPxxnixxniipppxxxL1121)1();,,,(:似然函数niiniixnxpp11)1().1ln(lnln11pxnpxLniiniipxnpxdpLdniinii111ln11.量无偏、有效、相合估计XxnpniiL11ˆ0泊松分布.2.0,,2,1,0,!};{xexxPxniixnexxxxLi121!),,,,(:似然函数,!!!211nnxexxxniiniiniinxxL11,)!ln(lnln01ln1nxdLdnii.1ˆ1XxnniiL0,0,);(xexfx解:似然函数为121(,,,;)inxniLxxxe1niixne1lnlnniiLnx10niinxXL1指数分布.3作业：p.1591(1)正态分布.4,,21),;(2)(21xexfx2)(2112121),;,,,(ixninnexxxL21)(2122)2(inixnneniixnnL12.)(21ln2)2ln(2lnniiniixnLxL1221,0)(212ln0)(1lnniiLxxn1,1ˆ是无偏估计量最大似然估计量不一定2012^2)(1ˆSxxnniiL均匀分布.5是未知参数上服从均匀分布在区间设0,],0[X.,00,1);(其他xxf.0,,01);,,(11其他nnnxxxxL01nnddL无解,,,,021nxxx},,,max{21nxxx越大越小又L},,,max{ˆ21nLxxx