稳定性定义与稳定性条件四讲new

第4章控制系统稳定性分析4.1稳定性定义与稳定性条件当系统受到扰动后，其状态偏离平衡状态，在随后所有时间内，系统的响应可能出现下列情况：1)系统的自由响应是有界的；2)系统的自由响应是无界的；3)系统的自由响应不但是有界的，而且最终回到原先的平衡状态。李雅普诺夫把上述三种情况分别定义为稳定的、不稳定的和渐近稳定的。显然，如果系统不稳定，则系统的响应是无界的，系统的输出将逐渐增加直到损坏系统，或者进入振荡状态。因此，系统稳定是保证系统能正常工作的首要条件。稳定性是控制系统最基本的性质。李雅普诺夫用范数作为状态空间“尺度”的度量。4.1.1范数的概念1.向量的范数定义：n维向量空间的范数定义为:(4.1)2.矩阵的范数定义：m×n矩阵A的范数定义为:(4.2)Tnxxxx2122221nxxxxnmmnmmnaaaaaaA2111211(4.3)4.1.2平衡状态系统没有输入作用时，处于自由运动状态。当系统到达某状态，并且维持在此状态而不再发生变化的，这样的状态称为系统的平衡状态。根据平衡状态的定义可知,连续系统的平衡状态是满足平衡方程即的系统状态。离散系统的平衡状态，是对所有的k，都满足平衡方程的系统状态。njmiijaA112)(xfxex0x0)(exf))(()1(kxfkx),(kxfxee首先讨论线性系统的平衡状态。由于平衡状态为，因此，当A为非奇异矩阵时，系统只有一个平衡状态；当A为奇异矩阵时，系统有无穷多个平衡状态。对于非线性系统，可能有一个平衡状态，也可能有多个平衡状态。这些平衡状态都可以由平衡方程解得。下面举例说明。Axx0eAx0ex例4.1求下列非线性系统的平衡状态解由平衡状态定义，平衡状态应满足:得非线性系统有三个平衡状态：,,.3221211xxxxxxeexx1[Tex]201ex03221eeexxxTex001Tex102Tex103研究系统稳定性都是对平衡状态而言的。4.1.3李雅普诺夫稳定性定义1.稳定定义:如果对于任意给定的每个实数,都对应存在着另一实数,使得从满足不等式的任意初态出发的系统响应,在所有的时间内都满足则称系统的平衡状态是稳定的.若与的选取无关,则称平衡状态是一致稳定的.00),(0t),(00txxe0xexxex0tex2.渐近稳定定义：若平衡状态是李雅普诺夫意义下稳定的，并且当时，,即，则称平衡状态是渐近稳定的。3.大范围（渐近）稳定定义：如果对任意大的，系统总是稳定的，则称系统是大范围（渐近）稳定的。如果系统总是渐近稳定的，则称系统是大范围渐近稳定的。xetextx)(0)(limetxtx4.不稳定定义：如果对于某一实数，不论取多小，由内出发的轨迹，至少有一条轨迹越出，则称平衡状态为不稳定.上述定义对于离散系统也是适用的，只是将连续时间t理解为离散时间k。注意:稳定性讨论的是系统没有输入（包括参考输入和扰动）作用或者输入作用消失以后的自由运动状态。所以，通常通过分析系统的零输入响应，或者脉冲响应来分析系统的稳定性。0)(s)(s在经典控制理论中，只有渐近稳定是稳定系统，只在Lia稳定不是渐近稳定是临界稳定，在工程上属于不稳定系统。图（a）、(b)、(c)分别表示平衡状态为稳定、渐近稳定和不稳定时初始扰动所引起的典型轨迹。5二次型标量函数：1）存在2）3）当时，则称是正定的（正半定的）。如果条件3）中不等式的符号反向，则称是负定的（负半定的）。例1）正定的2）半正定的3）负定的4）半负定的5）不定的5二次型：塞尔维斯特（Sylvester）定理：为正定的充要条件是的所有顺序主子行列式都是正的。如果的所有主子行列式为非负的（其中有的为零），那么为半正定的。例4.2证明下列二次型函数是正定的。课后完成利用状态方程解的特性来判断系统稳定性。1、线性定常系统稳定性的特征值判据：李氏稳定的充要条件：即系统矩阵A的全部特征值位于复平面左半部。Axx0)0(xx0tRe()0ini,2,14.1.4李雅普诺夫第一方法（间接法）4.1.4李雅普诺夫第一方法（间接法）01111ynnnnyfyfyfyfA1111ennnnxxffxxffxx)()(2yoyGex)(xfx设，为孤立平衡点。exxy（1）平衡点平移：令)(exyfy则将在原点展开得，)(exyfyGAyy)(2、非线性系统的稳定性分析：假定非线性系统在平衡状态附近可展开成泰勒级数，可用线性化系统的特征值判据判断非线性系统的平衡状态处的稳定性。如，则的稳定性由高阶导ex数项结论:如果,则渐近稳定;如果存在，则不稳定；Ayy(2)近似线性化：exex()Gy来决定。,sin02110221ubxaxaxxx0010aa例4.3已知非线性系统iRe(())0AjRe(())0AiRe(())0,AiRe(())0Ai≠j=1~n其中常数，试分析其平衡状态的稳定性。uU,2,1,0k,02exkUabxe2arcsin001知系统有平衡点2011200sin0xaxaxbU解:求平衡状态：由0k下面仅对情况进行研究，其它情况类似1111ennnnxxffxxAffxx计算2cos410211exaaa由特征方程，得0cos1012exaaIA11010acosxaeex1cos0ex①当时，系统在渐近稳定；2111011111(4cos)()022eaaaxaa1cos0ex时，②ex系统在不稳定;0cos1ex③如果,其稳定性靠一次近似不能判断。(,),(0,)0xfxtftt4.1.5李雅普诺夫第二方法（直接法）定理1假设系统的状态方程为(,)Vxt如果存在一个具有连续偏导数的标量函数并且满足条件：(,)Vxt1）是正定的；(,)Vxt2）是负定的。那么系统在原点处的平衡状态是渐近稳定的。能量随时间连续单调衰减且‖x‖→∞,V(x,t)→∞xe=0是大范围渐近稳定;如果V(x,t)与t无关,则是大范围一致渐近稳定。不求解系统的运动方程，而是借助于一个lia函数来直接对系统平衡状态的稳定性做出判断。从能量观点来进行稳定性分析。22121122221212()()xxxxxxxxxx例4.4已知系统试用李雅普诺夫第二方法判断其稳定性。定理4若1)2)则原点是不稳定的。(,)0Vxt(,)0Vxt定理3若1)2)3）在非零状态存在恒为零，则原点是李雅普诺夫意义下稳定。说明：系统维持等能量水平运动，使维持在非零状态而不运行至原点。定理2若1)2)3)在非零状态不恒为0，则原点是渐近稳定的。说明：不存在,经历能量等于恒定，但不维持该状态。(,)0Vxt(,)0Vxt]),,;([0ttxtxV0),(,0,000txxtV(,)0Vxt]),,;([0ttxtxV0),(,0txxV),;(0txtx能量函数随时间增大，x在原点处发散(,)0Vxt原点处是大范围渐近稳定的222112212()222()0Vxxxxxxx0ex解:显然，原点是唯一平衡点，2212()0Vxxx取，则()Vxx又因为当时，有所以系统在2112221212()()xxxxxxxxx例4.5已知系统试用李雅普诺夫第二方法判别其稳定性。0ex解:系统具有唯一的平衡点2212()0Vxxx取222112212()222()0Vxxxxxxx则()Vx因为除原点处外，不会恒等于零。()Vxx当时，所以系统在其原点处大范围渐近稳定。112212xxxxxx例4.6系统的状态方程为试确定系统在其平衡状态的稳定性。22112212()222()0Wxxxxxxx2212()0Wxxx0,ex解:系统具有唯一的平衡点取则于是知系统在原点处不稳定。大范围渐近稳定大范围渐近稳定不确定例)()(]2)[(21)()32)()()2)(2)(2)()1.7422212221221222221212222121221xxxVxxxxxVxxVxxxVxxxxVxxxVxxxxx4.1.6几点说明不稳定。判定系统的，但若找不到并不能定时，系统必定是稳定系统稳到李雅普诺夫函数证明这仅仅是充分条件。找不定的结果。会导致选取不当，办法，选取不唯一，但无通用)2),(),(),()1txtxtxVVV不稳定李氏稳定渐近稳定是否为零）判断非零情况的定号性）判断并代入状态方程）求二次型）构造一个李氏第二法步骤：]),,;([4),(3),,(2),(10ttxtxtxtxtxVVVV渐近稳定若仅李氏意义下稳定成立若令0),(,00),(,00),(txxtxxtxVVV定常连续系统，Q，P为正定实对称阵4.2李亚普诺夫方法在线性系统中应用4.2.1线性定常系统渐近稳定性判别法定理1:系统在原点全局渐近稳定的TAPPAQ充要条件为方程,有唯一正定对称解.xAx证明：充分性：考虑系统,nxR1,nnARA其中()()TTTTTTTTVxxPxxPxxAPxxPAxxAPPAxxQx()TVxxPxTPPo令()0,Vx0ex0,Q如果则大范围渐近稳定。xAx为正定阵存在PP0)()(0)()()0()()()()()(0|~1,0Re00000000000QxdtxdtxQeexPxxAdttdttAQAdttdttAAttAAQeeQeeAtQeeteniAITAttATTTTTAttAAttATAttAtAtiTTTT必要性：xe=0渐近稳定→P存在且正定PP0111xx1112111212221222010110111101pppppppp例4.8:分析下列系统稳定性11121222ppPpp解：令TAPPAI得则由xe=011111112222212221232120122112ppppppppp111212223122112ppPpp解上述矩阵方程，有即得11121112223135220detdet012412ppPpp因为可知P是正定的。因此系统在原点处是大范围渐近稳定的。22212123),(xxxxVTPxxtx负半定部分元素为阵主对角线取半正定，允许单位矩：方法为定号性选为单位阵给定正定不定选取不定：给定方法)(02)()(1xQQxPxxPQQxQPVPVVT,TGPGPQ0Q则系统在原点为渐近稳定的充分必要条件是方程0P存在唯一正定对称解定理2定常离散系统，Q，P为正定实对称阵(1)()xkGxk1,,nnnxRGRG设0)()()(][)()()()1()1()]([)]1([)]([0)()())(()()())((kkkkkkkkkVkVkVkkkVkkkVTTTTTT