第10讲指数对数函数与幂函数

新课标高中一轮总复习理数理数•第二单元•函数第10讲指数、指数函数与幂函数理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，能进行幂的运算；理解指数函数的概念和意义；理解指数函数的性质，会画指数函数的图象.1.(1)化简:(2)0+2-2·(2)-(0.01)0.5=.(2)=.351416151223a3561052aaaa33===.(1)(2)0+2-2·(2)-(0.01)0.5=1+()-()=1+-=.(2)=35141494121100121611016153561052aaaa33610553322aaaa3403aa34132()a23a12(-∞,-2)2.(2010·北京海淀模拟)函数f(x)=a-2x的图象经过原点，则不等式f(x)的解集是.由f(x)的图象经过原点知a=1，所以f(x)=1-2x2xx-2.341434设f(x)=xn过点（-2，-）,得(-2)n=-n=-3f(x)=x-3=27x=.3.(2010·江苏无锡期末）幂函数y=f(x)的图象经过点（-2，-18)，则满足f(x)=27的x的值是.131818134.设y1=40.9,y2=80.48,y3=()-1.5,则()A.y3y2y1B.y2y1y3C.y1y2y3D.y1y3y212D幂值大小比较问题，首先考虑指数函数的单调性，不同底先化成同底.y1=40.9=21.8,y2=80.48=21.44,y3=()-1.5=21.5.又因为y=2x在R上是单调增函数，1.81.51.44,所以y1y3y2.12函数f(x)要在R上是增函数2-a0a1a≥2-a+15.（2010·江西模拟)已知f(x)=(2-a)x+1(x1)ax(x≥1),且f(x)是R上的增函数,那么a的取值范围是()AA.[,2)B.(1,)C.(1,2)D.(1,+∞)3223≤a2.321.根式(1)一般的,如果xn=a,那么x叫做a的①.（n1且n∈N*），当n为奇数时，正数的n次方根是一个②,负数的n次方根是一个③.这时a的n次方根记为④;当n为偶数时，正数a的n次方根有两个，可用符号⑤表示，其中叫做⑥,这里的n叫做⑦,a叫做⑧.ann次方根正数负数an±an根式根指数被开方数(2)当n为奇数时，=a;当n为偶数时,=⑨=2.分数指数幂(1)我们规定正数的正分数指数幂的意义是:=⑩(a0,m、n∈N*,n1).(2)正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿；我们规定=(a0,m,n∈N*,n1).(3)0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.nna|a|mnamnanna11a(a≥0)-a(a0).1mnaman3.有理数指数幂的性质(1)aras=(a0,r、s∈Q);(2)(ar)s=(a0,r、s∈Q);(3)(ab)r=(a0,b0,r∈Q).4.指数函数及性质(1)一般的,函数(a0,且a≠１)叫做指数函数,其中x是,函数的定义域是.121314ar+sarsarbr151617y=ax自变量R（２）指数函数y=ax的图象与性质如下表：a10a1图象定义域(-∞,+∞)值域{y|y0}5.幂函数的定义一般的说，型如的函数叫幂函数,其中x是自变量，α是常数.对于幂函数，我们只讨论α=1,2,3,,-1时的情形.性质过定点(0,1)当x0时,;当x0时，.当x0时,;当x0时，.在(-∞,+∞)上是.在(-∞,+∞)上是.18192021y10y10y1y12223增函数减函数24y=xα126.幂函数的性质所有的幂函数在(0,+∞)上都有定义，且图象都过(1,1)点.当α为奇数时，幂函数为奇函数；当α为偶数时，幂函数为偶函数.一般的,当α0时,幂函数y=xα有下列性质：(1)图象都通过点;(2)在第一象限内,函数值;(3)在第一象限内，当α1时，图象是向下凸的;当0α1时,图象是向上凸的；2526(0,0),(1,1)随x的增大而增大(4)在第一象限内，过点(1，1)后，图象向右上方无限伸展.当α0时，幂函数y=xα有下列性质：(1)图象都通过点;(2)在第一象限内,函数值;(3)在第一象限内，图象向上与y轴无限地接近,向右与x轴无限地接近.2728(1，1)随x的增大而减小题型一指数函数的性质典例精讲典例精讲例1求下列函数的定义域、值域并判断单调性.(1)y=()6+x-2x2;(2)y=()-|x|.1232因为二次函数u=6+x-2x2=-2(x-)2+,所以函数的值域为{y|y≥()}.又因为二次函数u=6+x-2x2的对称轴为x=,在［,+∞）上u=6+x-2x2是减函数，在(-∞,］上是增函数，又函数y=()u是减函数，所以y=()6+x-2x2在［,+∞)上是增函数，在(-∞,］上是减函数.121449849814141412121414利用换元法，化为基本函数求解.(1)函数的定义域为R.令u=6+x-2x2,则y=()u.12(2)定义域为x∈R.因为|x|≥0，所以y=()-|x|=()|x|≥()0=1.故y=()-|x|的值域为{y|y≥１}.又因为y=()-|x|是偶函数，()x(x0)()x(x0),所以函数y=()-|x|在(-∞,0］上是减函数，在［0,+∞)上是增函数.(此题可借助图象思考)32232332232332且y=()-|x|=2323点评点评合函数的值域可采用换元法，结合中间变量的范围求函数的值域；复合函数y=f(x)的单调性要根据y=au,u=f(x)两函数在相应区间上的单调性确定，遵循“同增异减”的规律.题型二幂函数的性质例2已知幂函数f(x)=xm2-m-2(m∈Z)是偶函数，且在(0,+∞)上是减函数,求函数f(x)的解析式,并讨论g(x)=a-(x(a、b∈R)的奇偶性.()fx()bxfx利用幂函数的定义和性质求解析式，根据奇偶性的定义判断奇偶性.分析分析由题意可知,m2-m-2是偶数,且m2-m-20,即-1m2.又因为m∈Z,所以m=0,1.此时m2-m-2=-2,故f(x)=x-2.于是g(x)=-bx,g(-x)=+bx.当a≠0且b≠0时,g(x)为非奇非偶函数；当a＝0且b≠0时,g(x)为奇函数；当a≠0且b＝0时,g(x)为偶函数；当a＝0且b＝0时,g(x)既为奇函数又为偶函数.||ax||ax题型三幂、指数函数的综合问题例3(1)若直线y=2a与y=|ax-1|(a0,且a≠1)的图象有两个公共点，则a∈；(2)已知f(x)=(+)x，x≠0，若f(x)0在定义域内恒成立,则a的取值范围为.1211xa(1,+∞)120a（1）数形结合法.当a1时，作图知无解；当0a1时,作图知02a10a.（2）f(x)=0x(ax-1)0.当x0时,ax-10axa0,又x0,所以a1；当x0时,ax-10axa0,又x0,所以a1.综上，a的取值范围为(1,+∞).12(1)2(1)xxxaa(2009·北京丰台区期末）已知函数f(x)=3x，f(a+2)=18，g(x)=λ·3ax-4x的定义域为[0,1].（1）求a的值；（2）若函数g(x)在区间[0,1]上是单调递减函数，求实数λ的取值范围.备选题备选题(方法一)(1)由已知得3a+2=183a=2a=log32.（2）此时g(x)=λ·2x-4x.设0≤x1x2≤1，因为g(x)在区间[0,1]上是单调减函数，所以g(x1)-g(x2)=(2x1-2x2)(λ-2x2-2x1)0恒成立，即λ2x2+2x1恒成立.由于2x2+2x120+20=2，所以实数λ的取值范围是(-∞,2].(方法二)(1)由已知得3a+2=183a=2a=log32.（2）此时，g(x)=λ·2x-4x.因为g(x)在区间[0,1]上是单调减函数，所以g′(x)=λln2·2x-ln4·4x=ln2[-2·(2x)2+λ·2x]≤0成立.设2x=u∈[1,2],上式成立等价于-2u2+λu≤0恒成立.因为u∈[1,2]，只需λ≤2u恒成立，所以实数λ的取值范围是(-∞,2].方法提炼方法提炼1.分数指数幂的定义揭示了分数指数幂与根式的关系，因此，根式的运算可以转化为分数指数幂的运算.在运算过程中，要贯彻先化简后计算的原则，并且注意运算的顺序.2.指数函数y=ax的底数须满足条件a0且a≠１，研究几个指数函数尽量化为同底.3.指数函数的性质主要是单调性,比较大小是单调性的一个重要应用，比较时注意底数与１的大小分类讨论.(1)若底数相同，指数不同，则利用指数函数的单调性来比较；(2)若底数、指数均不相同，则可引入中间量或画图象来比较.4.利用指数函数的概念、图象、性质讨论一些复合函数的相应问题是常考题型,应注意数形结合、分类讨论、化归等数学思想的灵活运用.走进高考走进高考学例1(2009·山东卷)函数y=的图象大致为（）Axxxxeeee要使函数有意义，需使ex-e-x≠0，其定义域为｛x|x≠0｝,排除C、D.又因为y===,所以当x0时，函数为减函数，故选A.xxxxeeee2211xxee221xe学例2(2009·江苏卷)已知a=,函数f(x)=ax.若实数m、n满足f(m)f(n)，则m、n的大小关系为.mn512因为a=∈(0,1)，所以函数f(x)=ax在R上递减.故由f(m)f(n)，得mn.512本节完，谢谢聆听