第41讲直线平面垂直的判定与性质

直线与平面垂直的判定2.3.1直线和平面的位置关系复习1直线在平面内直线与平面相交直线与平面平行直线与平面位置关系有三个儿子旗杆与地面的位置关系观察线面垂直大桥的桥柱与水面的位置关系将一本书打开直立在桌面上，观察书脊（想象成一条直线）与桌面的位置关系呈什么状态？此时书脊与每页书和桌面的交线的位置关系如何？思考1直线和平面垂直如果直线l与平面内的任意一条直线都垂直，我们说直线l与平面互相垂直.定义lP平面的垂线直线l的垂面垂足平面内任意一条直线l记为这是线面垂直得到线线垂直我们知道线面垂直是线垂直于平面内的任意条直线即与所有直线有无穷条直线垂直，如果根据定义来判断很难判断，于是我们想能不能缩小直线数？问：一直线与平面内的一条直线垂直能判断这条直线与平面支持吗？请画个立体图来说明。两条呢？无穷多条呢？答：如果相交两条就已经足够，如果是平行的无穷多条也不行。思考2：我们需要寻求一个简单可行的办法来判定直线与平面垂直.如果直线l与平面α内的两条直线垂直，能保证l⊥α吗？如果直线l与平面α内的一条直线垂直，能保证l⊥α吗？思考6：如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线与这个平面垂直吗？如图，准备一块三角形的纸片，做一个试验：过ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD，DC于桌面接触）．（1）折痕AD与桌面垂直吗？（2）如何翻折才能使折痕AD与桌面所在平面垂直．ABCDABCD探究ABCDABCD当且仅当折痕AD是BC边上的高时，AD所在直线与桌面所在平面α垂直．线面垂直的判定判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．balAalblabAbal作用：判定直线与平面垂直．直线与平面垂直直线与直线垂直思想：证明不做要求空间问题转化为平面问题例1.如图，已知，求证aba,//.bbamn1、同学们，虽然这个定理是从生活生产实践中总结出来也是非常显然非常明显的，是我们发现的，但它不是公理而是定理，因为我们可以把它证明出来。同学们有没有发现西方人没事找事做，吃饱了撑着？正因为西方人的这种刨根究底的精神造就了西方发达的科学。在中国这些是经验，没有证明的迹象。这就是公理系统，从最初的几条公理出发演绎出一大堆的定理推论性质，每一步的证明都有根据，这根据要么是公理要么是已经证明出来的定理推论性质。练习:已知平面，是⊙的直径，是⊙上的任一点，求证：PAABCABOCOBCPCab直线a、b与平面相交，一条陡峭一条平坦，那如何刻画区分这种情况？•一、直线与平面的位置关系•1、直线在平面内•2、直线与平面平行•3、直线与平面相交2、直线和平面所成的角：垂直、斜交平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角,称为该直线与平面所成的角直线和平面所成的角：空间问题转化为平面问题越大越陡峭越小越平坦直线和平面所成的角：1)//ll或02)l903))90,0(l是平面的一斜线l与它在平面内的射影的夹角]90,0[关键在于作线面垂直找射影直线和平面所成的角需要死记硬背吗？答：想想端点有没有意义。同两异面直线所成的角2、如何判定线面垂直？1、定义2、判定定理3、例１的结论如图，长方体ABCD—A1B1C1D1中，棱AA1，BB1，CC1，DD1所在直线与底面ABCD的位置关系如何？它们彼此之间具有什么位置关系？AA1BCDB1C1D1知识探究探究二：一个平面的垂线有多少条？这些直线彼此之间具有什么位置关系？探究三：如果直线a，b都垂直于平面α，由观察可知a//b，从理论上如何证明这个结论？abα请同学们写出已知、求证并结合题意画出图形.已知：a⊥α，b⊥α求证：a∥b．分析：a、b是空间中的两条直线，要证明它们互相平行，一般先证明它们共面，然后转化为平面几何中的平行判定问题，但这个命题的条件比较简单，想说明a、b共面就很困难了，更何况还要证明平行．我们能否从另一个角度来证明，比如，a、b不平行会有什么矛盾？这就是我们提到过的反证法．问:你知道用反证法证明命题的一般步骤吗？答：否定结论→推出矛盾→肯定结论复习1:设a，b为直线，α为平面，若a⊥α，b//a，则b与α的位置关系如何？为什么？abα引导：第一步，做一个反面的假设，假定b与a不平行，现在应该要推出矛盾，从已知条件中的垂直关系，让我们想起例题1，因此需要添加一条辅助线，使它和a平行．这样过一点有两条直线与a平行，得出矛盾。baOc证明:假设b不平行于a,,bOcOa是经过点与直线平行的直线//,,aca因为c所以Obc即经过同一点的两条直线，都垂直于平面，这是不可能的ba//因此虽然结论很显然但证明却是不容易。同学们这个结论实在是太明显太显然了，比公理还显然，我们中国人觉得拿过来用就可以了，但西方不然,要证明出它注意它不是公理而是可以证明出来的性质，这在平时的证明中可以当定理使用。注意我们证明题目时的论据都是来自于教材，教材之外的不会考到，虽然教材之外补充了许多定理、性质。同学们有没有发现西方人没事找事做，吃饱了撑着？正因为西方人的这种刨根究底的精神造就了西方发达的科学。在中国这些是经验，没有证明的迹象。这就是公理系统，从最初的几条公理出发演绎出一大堆的定理推论性质，每一步的证明都有根据，这根据要么是公理要么是已经证明出来的定理推论性质。2、直线和平面垂直的性质定理：符号语言：图形语言：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行.βabα//abab，据上述分析，得到一个什么结论？作用：证线线平行平面与平面垂直的判定平面内的一条直线，把这个平面分成两部分，每一部分都叫做半平面。从一条直线引出的两个半平面所组成的图形叫做二面角。这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。l1、半平面：2、二面角：半平面及二面角的定义l棱面面半平面半平面现实当中有二面角的模型吗？数学是深深地扎根于现实。水坝与水库水面的角度、卫星轨道平面与地球赤道平面的角度lAB二面角－AB－l二面角－l－二面角C－AB－DABCD5二面角张开有大有小，请问如何刻画和区分张开的程度思路：化空间问题为平面问题AOlB一个平面垂直于二面角-l-的棱l，且与两个半平面的交线分别是射线OA、OB，O为垂足，则∠AOB叫做二面角-l-的平面角．4.二面角的平面角∠AOB的大小一定．A’B’5.二面角的范围[0。,180。]6.直二面角平面角是直角的二面角叫做直二面角.OAB二面角的范围需要死记硬背吗？想想端点有没有意义就可以了，同异面直线、直线与平面所成的角类似。1.定义两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.一、平面与平面垂直的判定观察：为什么教室的门转到任何位置时，门所在平面都与地面垂直？问题：如何检测所砌的墙面和地面是否垂直？如果一个平面过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.猜想：[证明]：设α∩β=l，∵AB⊥α，l⊂α，∴BA⊥l．在平面α内过点A作直线AC⊥l，则∠BAC是二面角α-l-β的平面角，而BA⊥AC，故α-l-β是直二面角．∴α⊥β。AB如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．.aa已知：，求证：Cαβal平面与平面垂直的判定定理一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.αβaA简记：线面垂直，则面面垂直面面垂直线面垂直线线垂直aa面符号:判定定理找二面角的平面角说明该平面角是直角。（一般通过计算完成证明。）面面垂直的判定方法：1、定义法：2、判定定理：要证两个平面垂直，另一个平面的一条垂线。只要在其中一个平面内找到（线面垂直面面垂直）已知AB⊥平面BCD，BC⊥CD，你能发现哪些平面互相垂直，为什么？ABCD平面ABC⊥平面BCD平面ABC⊥平面ACD平面ABD⊥平面BCD例1如图,AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面于A，C是圆O上不同于A、B的任意一点，求证：平面PAC⊥平面PBCABCPO证明:由AB是圆O的直径,可得AC⊥BCPAABCBCABC平面平面BCPAC平面PABCBCACPAACABCPBC平面平面PAC⊥平面PBC一个四面体四个面是直角三角形的最多有几个？2.3.4平面与平面垂直的性质A1D1B1C1CBAD面面垂直的性质αβ如果α⊥β(1)α里的直线都和β垂直吗？DEF(2)什么情况下α里的直线和β垂直？面面垂直的性质面面垂直性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。面面垂直线面垂直αβaAllaala如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内．反证法例5.αβAba,,,aaa判断与位置关系解：设ll在α内作直线b⊥llbblba又//abba//aabP65例1，正面法。P70定理,反证法。//aabb//abab同学们注意，以上的定理其实我们都是不知不觉无意识的在使用它们了，在中国这是显然的经验，在使用这些定理时我们自己都没有意识到。西方人不这么干，他把这些不知不觉无意识使用的经验拿出来用公理化思想证明,形成一个极其严密不是松散的系统。这造就了西方发达的科技。如果我们不学习其实同学们在证明命题时自己自动会使用它们，连自己都没有意识到。因为太显然了，比公理还显然，太常识了，以至于我们没有注意它们,是熟视无睹啊。我们为什么要学习这几个定理就是让无意识的东西进入我们的意识。