第9讲指数函数对数函数幂函数

xya指数x定义域是什么？答：全体实数，即xR问底数a有什么范围或限制？需要记忆吗？答：因为指数x取全体实数，所以我们只要熟练具体的数字的指数幂就可以了。比如a0为什么不可以？a=1为什么不可以？a0且a≠1为什么可以。二、我们已经抽象出一个指数函数的概念，接下去我们要研究指数函数这个事物的什么？答：图像和性质，比如奇偶性、单调性。怎么研究？我们只所以能抽象出字母形式是因为我们对具体数字形式非常熟练，所以我们要研究字母形式的指数函数图像与性质我们可以研究具体数字形式的指数函数的图像与性质。你觉得数字形式的指数函数哪个最简单？答：a=2和a=1/2三、2,xyxR我们让x取整数，看看函数值大小变化趋势。当x变的越来越大时比如x=1、2、3、4、……、10000。当x变的越来越负无穷大时比如x=-1、-2、-3、……、-10000。四、1,2xyxR五、1、上述两函数有什么关系？用文字语言、图像语言、符号语言各自表述或证明。2、指数函数的图像与性质需要记忆吗？答：只需记得图像就可以，性质可以根据图像得出。3、指数函数中有几个未知数，确定一个指数函数需要几个条件？答：只需一个。那确定一元一次函数、一元二次函数、反比例函数需要几个条件？为什么？这是什么思想？教训：学习要八方联系，浑然一体。答：方程思想。log(0,1)ayxaa且。③、指数函数为什么称为指数函数？还记得指数与对数的关系吗？答：因为指数在变，是自变量。互逆。④、上述函数称为对数函数，不是对数在变而是真数在变，是自变量。⑤、如何画出对数函数图象？答：只需画出特殊、具体、数字、最简单的对数函数的图像。只要把特殊、具体、数字、最简单的对数函数图象搞懂搞熟练了，自然就上升到字母、符号、一般的对数函数。⑥那特殊、具体、数字、最简单的对数函数时什么？答：。212log,logyxyx二、先回答几个问题。①、是同一个函数还是不同函数，他们在同一直角坐标系中图像是一样的还是不一样的？22log,xyxy和答：同一个函数，图像一样。因为x是自变量，y是因变量。对于第二个函数如果y是自变量，那就是不同函数，对应法则是互逆的，于是不能在同一直角坐标系中画了。②、是同一个函数还是不同的函数？他们在同一直角坐标系中图像相同吗？22log,logxyyx答：因为x是自变量，所以对应法则是互逆的，所以是不同的函数。图像不同。对于第一个函数如果y是自变量，那就是同一个函数，但不能在同一直角坐标系中画了。总结：要看自变量用x还是用y，习惯上自变量是用x表示，但自变量可以是u、v、w、y。③、我们用x表示自变量，那如果要画出的图像，我们可以从哪里入手？为什么？2logyx答：从入手，因为两者对应法则是互逆的。因为都是x是自变量，所以可以在同一直角坐标系中画。就是x、y互换。2xy121,log2xyyx④、怎么画？答：同理。⑤、上升到字母、符号、一般阶段，看教材。⒈对数函数的性质需要记忆吗？你能根据对数函数的图像可以得到多少对数函数的性质？答：不需要记忆，只要知道对数函数的图像，性质由图像得出。根据图像可以得到尽可能多的对数函数的性质。与指数函数类似。一、幂函数的生活生产实践模型多不多？书上举了哪些？这些例子是简单还是难？指数函数为什么称为指数函数？对数函数为什么称为对数函数？幂函数为什么称为幂函数？幂函数的符号与指数函数的符号有什么区别？答：因为指数在变，指数是自变量。对数函数是真数在变，真数是自变量，但不叫真数函数，而叫对数函数，因为对数函数是指数函数的逆过程。幂函数是底数在变是自变量，指数是常数是不变的，但不叫底数函数，因为是求“幂”，“幂”是什么？“幂”是一个数自己相乘几次称“幂”。没有底数函数的，所以叫幂函数。二、书上只要求我们掌握几种幂函数？为什么只需掌握这几种？这几种幂函数你不看书可以凭数学直觉或感觉能画出来吗？它难画吗？画的时候是觉得自然还是别扭？你会类比推广吗？你会举一反三、触类旁通吗？y=1是不是幂函数，百度一下，发现各有各的说法。三、下面类比推广。1、α=1我们太熟悉。2、α=2推广为多少？答：α=4、6、8，……。偶函数。3、α=3推广为多少？答：α=5、7、9,……。是奇函数。4、α=推广为多少？12答：当分母是3、5时是奇函数，关于原点对称，当分母是偶数时定义域是x0，但这些函数在x0时图像类似。1111,,,,3456。四、α=-1推广为多少？⑴、α=-1、-2、-3、-4、-5，……。有什么关系？答：在x0部分都相似，但α=-2、-4是偶函数，图像关于x轴对称。α=-1、-3、-5是奇函数，图像关于原点对称。35411111yyyyxxxxx与、y=、、图像有什么关系？⑵、答：在x0部分都相似。只是分母是奇数定义域x≠0,是奇函数。分母是偶数，定义域是x0，当x0时无意义。五、道生一，一生二，二生三，三生万物，即相当于受精卵的发育成长过程。幂函数的道就是α=1、2、3、1/2、-1。你能根据道生出的图像。22333322,,,yxyxyxyx23:yx201312yx因为，且是偶函数，所以当x0时，图像与类似。因为x只能取x0，所以在x0部分与y=x3类似。32,yx31,2：因为是偶函数，只考虑x0，当x0时，类似于类似于23yx13yx1yx:x只能取x0，所以在x0部分图像与类似。32yx1yx总结：只要指数是0，则图像在x0部分与类似。1yx注：以上结论要不要去记忆？答：不需要记忆，结论是非常自然通畅不别扭的没有一卡一卡的，而是流利通畅。是船到桥头自然直，车到山前必有路的。补充：指数函数有指数型函数，与指数函数有什么区别？有对数型函数与对数函数有什么区别？有幂函数型函数与幂函数有什么区别？同学们能不能回忆起我们以前讲过的：确定一元一次函数、反比例函数、一元二次函数、指数函数、对数函数、幂函数需要几个已知条件？分析：一个人的学习能力如何区分，学习数学能力强考高分能力弱考低分，那如何用试题来测试，既是这道题，那就是学习新知识的能力，接受新知识快的同学就可以考出来，接受新知识慢或接受起来困难的同学就考不出来，这也是测试到大学里继续学习数学的能力是否具备。