第一章集合与函数概念复习

《集合与函数概念》复习知识要点1、集合的含义；2、集合间的基本关系；3、集合的运算；4、函数的概念；5、函数的基本性质；6、映射的概念。1．以下元素的全体不能够构成集合的是（）.A.中国古代四大发明B.地球上的小河流C.方程210x的实数解D.周长为10cm的三角形2．方程组23211xyxy的解集是（）.A.51，B.15，C.51，D.15，3．给出下列关系：①12R；②2Q；③*3N；④0Z.其中正确的个数是（）.A.1B.2C.3D.44．已知xR，则集合2{3,,2}xxx中元素x所应满足的条件为答案:1-3BCC4.0,1,3x5.集合中元素的个数及子集的个数集合中元素的准确识别已知集合2222,|2,|2,AyxByyxCxyx2(,)|2,|2,DxyyxExx≥则（）.;.;.;.AABBBCCCEDBED【点评与感悟】解集合问题时，对集合元素的准确识别十分重要，不允许有半点差错，否则将导致解题的失败。.3121112,121325-2B2BAaaaaaaaaaa的取值范围综上所述，时，有当即，有当，解：.121|52|.3的取值范围求实数已知aaxaxxxA,B},{B},{A.aABR},a0,1-a1)x2(ax|{xB0},4xx|{xA222的值，求实数若、设集合41014)12(-01)1(2x4-04}.-{0BBA(1).AB4}-{0A222aaaaa解得由韦达定理得的两根，是方程，由此知：，时，当，于是可分类处理，，解：.1,11,0)1(4)11,0)1(4)2(222aaaaaaaaa或的值知，所求实数、综合解得时，满足条件；解得，，或时，即时，又可分为：当(2)(1)4((b)B{0}B1)4({-4}B{0}BB(a)AB2子集的个数问题的考查{,}abA已知{,,,,},,abcdeA求满足条件的集合的个数.7712},,{},,{,},{3个有合个，所以满足条件的集＝的真子集共有于集合的任意一个真子集。由可以是集合其中集合解析：AedcedcBBbaA73.设U={1,2,x2-2},A={1,x},则CUA=_____{2}知识梳理5、函数的概念（1）函数定义：给定两个非空数集A和B,如果按照某个对应关系f,对于A中的,在集合B中都有的数f(x)与之对应,那么就称f:A→B为集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x)，x∈A.其中,x叫做自变量,X的取值范围A叫做,与X的值对应的y值叫做函数值,函数值y的集合叫做.知识梳理（2）函数的三要素：，，。（3）区间的概念。（4）函数的表示法：，，。（5）两个函数相同必须是它们的和分别完全相同（6）映射的定义：设A、B是两个非空集合,如果按照某个对应关系f,对于A中的,在集合B中都有的元素f(x)与之对应,那么就称f:A→B为集合A到集合B的一个映射。（7）从A到B的映射个数有——个例：求下列函数的定义域：11)()()32132fxfxxxxx　　　　　２）　　　3)f(x)=　+　()(),()0()(),()0(),(),()0fxxRfxgxgxfxfxfxfxRfx３０求函数的定义域依据：若是整式，则对于式子应使对于式子应使对于式子应使对于式子[f(x)]应使函数定义域是使函数有意义的x的取值范围负指数次幂也一样对于实际问题，应实际问题有意义如S=vt,t须大于或等于零求值域常用的方法1.观察法如y=2x+12.配方法如y=x2+2x+33.换元法如y=x+4.分离常数法如5.判别式法如6.图象法如12x])1,0[(12121222xxxyxxyxxy1。设f(x)的定义域是[-1,3]，值域为[0,1],试求函数f(2x+1)的定义域及值域。分析：函数f(2x+1)的自变是仍是x，不是2x+1，故应由2x+1满足的条件中求出x的取值范围，进而得所求定义域；而2x+1已取遍定义域内的每一个实数，所以值域没有改变。解：由已知-1≤2x+1≤3，得-1≤x≤1。得函数f(2x+1)的定义域是[-1,1]，值域仍为[0,1]。辩：将值域写成y∈[0,1]行吗？0≤y≤1呢？复合函数问题1.设A=[0,2],B=[1,2],在下列各图中,能表示f:A→B的函数是().xxxxyyyy000022222222ABCDD思考交流1.已知函数f(x)=x+2,(x≤－1)x2,(－1＜x＜2)2x,(x≥2)若f(x)=3,则x的值是()A.1B.1或32C.1,,332D.3D思考交流例1:(1)已知f(x+1)=x2+2x+4,求f(x).(2)已知y=f(x)是一次函数,且有f[f(x)]=9x+8,求f(x).例2:设函数y=f(x)的定义域为[0,1],求下列函数的定义域.(1)y=f(3x);(2)y=f(x+1/3)+f(x－1/3)个最值）（）两个根，求（是方程、）：已知（）：求值域（：例2222208221211baccxxbaxxy。知识梳理6、函数的单调性（1）对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2当x1＜x2时，如果都有f(x1)＜f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是函数，这个区间D就叫做这个函数的区间；如果都有f(x1)＞f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是函数，这个区间D就叫做这个函数的区间；三．判断函数单调性的方法步骤1任取x1，x2∈D，且x1x2；2作差f(x1)－f(x2)；3变形（通常是因式分解和配方）；4定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；5下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：函数单调性的判断方法1.定义法.2.图象法3.直接法:利用已知结论(1)y=cf(x)(c(2)f(x)恒正或恒负时,y=f(x)单调性相反(3)在公共区域内,增+增=增,增-减=增,减+减=减,减-增=减(4)与y=f(x)单调性相同(5)f(x)与f(x)+c(c为常数)单调性相同则相反时相同单调性与时,0,)(,0),0cxfc与)(1xfy)(,0)(xfxf时知识梳理（2）最大（小）值：一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:①对于任意的X∈I,都有f(x)≥M（f(x)≤M）;②存在X0∈I,使得y=f(x0)=M.那么,我们称M为函数y=f(x)的最小值（最大值）.证明：函数f(x)=1/x在(0，+∞)上是减函数。证明：设x1,x2是(0，+∞)上任意两个实数，且x1x2，则f(x1)-f(x2)=21122111xxxxxx由于x1,x2得x1x20,又由x1x2得x2-x10所以f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2),0因此f(x)=1/x在(0，+∞)上是减函数。取值定号变形作差结论理论迁移5.已知函数在区间[0，4]上是增函数，求实数的取值范围.2()2fxaxxa),41[二次函数型求最值(1)y=x2-2x+3,xR(2)y=x2-2x+3,x[2,5](3)y=x2-2x+3,x[-2,0](4)y=x2-2x+3,x[-2,4]变式(1)y=x2-3x+1,x[t,t+1](2)y=x2-2ax+5,x[-2,3],aR知识梳理（3）函数的奇偶性：对于函数f(x)，如果对于定义域内任意一个x都有f(－x)=，那么f(x)就叫做奇函数；如果对于定义域内任意一个x都有f(－x)=，那么f(x)就叫做偶函数。（4）奇函数的图象是关于对称；偶函数的图象关于对称。反之也成立。3.用定义判断函数奇偶性的步骤：(1)、先求定义域，看是否关于原点对称；(2)、再判断f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是否恒成立.函数奇偶性的判断判断下列各函数的奇偶性：22lg(1)()|2|2xfxx（1）（2）（3）1()(1)1xfxxx22(0)()(0)xxxfxxxx【思路分析】确定函数的奇偶性时，必须先判定函数定义域是否关于原点对称，若对称，再验证f(x)=f(x)或其等价形式f(x)f(x)=0解：（1）由，得定义域为，关于原点不对称，∴为非奇非偶函数.101xx101xx()fx（2）由得定义域为2210|2|20xx(1,0)(0,1)（3）函数的定义域为当时，，则0x0x22()()()()fxxxxxfx当时，，则0x22()()()()fxxxxxfx0x综上所述，对任意的，都有,(,0)(0,)x()()fxfx∴为奇函数.()fx变式1：设定义在]22[，上的奇函数)(xf在区间[-2，2]上单调递减，若f(m)+f(1-m)0，求实数m的取值范围．理论迁移4.已知f(x)是奇函数，且当时，,求当时f(x)的解析式.0x2()3fxxx0x2()3(0)fxxxx5.设函数，已知是偶函数，求实数m的值.2()23fxxmx(1)fxm=-46.已知f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x都有，若当时，,求的值.(3)()0fxfx[3,2]x()2fxx1()2f1()52f7.已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在上是增函数，f(-2)=0，求不等式的解集.(,0]()0xfx(2,0)(2,)函数奇偶性的运用8.已知函数对一切，都有()fx,xyR()()()fxyfxfy（1）求证：是奇函数；（2）若，用a表示()fx(3)fa(12)f0x()yfxR(3)当时,f(x)0恒成立，证明：函数是上的增函数设xx12,且Rxx21，，则012xx，由条件当0x时，0)(xf0)(12xxf又])[()(1122xxxfxf)()()(1112xfxfxxffx()为增函数，变式:f(xy)=f(x)f(y)且f(x)0,当x1时,f(x)1,求证函数f(x)在(0,)上是增函数()()()fxyfxfy中，令，得yx(0)()()ffxfx，令解：（1）显然的定义域是，它关于原点对称。在()fxR0xy(0)(0)(0)fff，得∴，∴(0)0f()()0fxfx，即()()fxfx∴是奇函数.()fx（2）由，及是奇函数，(3)fa()()()fxyfxfy()fx得(12)2(6)4(3)4(3)4ffffa