第二章21函数及其表示

§2.1函数及其表示数学浙（理）第二章函数与基本初等函数I基础知识题型分类思想方法练出高分函数的三要素是：定义域、值域和对应关系．值域是由函数的定义域和对应关系所确定的．两个函数的定义域和对应关系完全一致时，则认为两个函数相等．(1)函数是特殊的映射，其特殊性在于集合A与集合B只能是非空数集，即函数是非空数集A到非空数集B的映射．(2)映射不一定是函数，从A到B的一个映射，A、B若不是数集，则这个映射便不是函数．基础知识·自主学习1．函数的基本概念(1)函数的定义设A，B是非空的_____，如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的______一个数x，在集合B中都有________的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作______________.数集任意唯一确定y＝f(x)，x∈A1.函数的三要素2.函数与映射难点正本疑点清源要点梳理基础知识题型分类思想方法练出高分基础知识·自主学习(2)函数的定义域、值域在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的_______；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的______．显然，值域是集合B的子集．(3)函数的三要素：________、__________和______.(4)函数的表示法表示函数的常用方法有:_______、________、________.定义域值域定义域值域对应关系列表法图象法解析法难点正本疑点清源要点梳理函数的三要素是：定义域、值域和对应关系．值域是由函数的定义域和对应关系所确定的．两个函数的定义域和对应关系完全一致时，则认为两个函数相等．(1)函数是特殊的映射，其特殊性在于集合A与集合B只能是非空数集，即函数是非空数集A到非空数集B的映射．(2)映射不一定是函数，从A到B的一个映射，A、B若不是数集，则这个映射便不是函数．1.函数的三要素2.函数与映射基础知识题型分类思想方法练出高分基础知识·自主学习2.映射的概念设A,B是两个非空集合,如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有_________的元素y与之对应,那么就称对应f:A→B为从集合A到集合B的一个______．3.函数解析式的求法求函数解析式常用方法有____________、_______、配凑法、消去法．唯一确定映射待定系数法换元法难点正本疑点清源要点梳理函数的三要素是：定义域、值域和对应关系．值域是由函数的定义域和对应关系所确定的．两个函数的定义域和对应关系完全一致时，则认为两个函数相等．(1)函数是特殊的映射，其特殊性在于集合A与集合B只能是非空数集，即函数是非空数集A到非空数集B的映射．(2)映射不一定是函数，从A到B的一个映射，A、B若不是数集，则这个映射便不是函数．1.函数的三要素2.函数与映射基础知识题型分类思想方法练出高分4.常见函数定义域的求法(1)分式函数中分母___________．(2)偶次根式函数被开方式_______________.(3)一次函数、二次函数的定义域为___.(4)y＝ax(a0且a≠1)，y＝sinx，y＝cosx，定义域均为___.(5)y＝tanx的定义域为____________________________.(6)函数f(x)＝xa的定义域为{x|x∈R且x≠0}．(1)解决函数问题，函数的定义域必须优先考虑；(2)求复合函数y＝f(t)，t＝q(x)的定义域的方法：①若y＝f(t)的定义域为(a，b)，则解不等式得aq(x)b即可求出y＝f(q(x))的定义域；②若y＝f(g(x))的定义域为(a，b)，则求出g(x)的值域即为f(t)的定义域．不等于零大于或等于0x|x∈R且x≠kπ＋π2，k∈Z3.函数的定义域基础知识·自主学习难点正本疑点清源要点梳理RR基础知识题型分类思想方法练出高分题号答案解析12345-1①②[－3,0]∪[2,3][1,5][1,2)∪(4,5]DB基础知识·自主学习基础自测基础知识题型分类思想方法练出高分【例1】有以下判断：(1)f(x)＝|x|x与g(x)＝1x≥0－1x0表示同一函数；(2)函数y＝f(x)的图象与直线x＝1的交点最多有1个；(3)f(x)＝x2－2x＋1与g(t)＝t2－2t＋1是同一函数；(4)若f(x)＝|x－1|－|x|,则ff12＝0.其中正确判断的序号是________．题型分类·深度剖析题型一函数的概念思维启迪解析答案探究提高基础知识题型分类思想方法练出高分【例1】有以下判断：(1)f(x)＝|x|x与g(x)＝1x≥0－1x0表示同一函数；(2)函数y＝f(x)的图象与直线x＝1的交点最多有1个；(3)f(x)＝x2－2x＋1与g(t)＝t2－2t＋1是同一函数；(4)若f(x)＝|x－1|－|x|,则ff12＝0.其中正确判断的序号是________．题型分类·深度剖析题型一函数的概念可从函数的定义、定义域和值域等方面对所给结论进行逐一分析判断．思维启迪解析答案探究提高基础知识题型分类思想方法练出高分【例1】有以下判断：(1)f(x)＝|x|x与g(x)＝1x≥0－1x0表示同一函数；(2)函数y＝f(x)的图象与直线x＝1的交点最多有1个；(3)f(x)＝x2－2x＋1与g(t)＝t2－2t＋1是同一函数；(4)若f(x)＝|x－1|－|x|,则ff12＝0.其中正确判断的序号是________．题型分类·深度剖析题型一函数的概念对于(1),由于函数f(x)＝|x|x的定义域为{x|x∈R且x≠0},而函数g(x)＝1x≥0－1x0的定义域是R，思维启迪解析答案探究提高所以二者不是同一函数；对于(2)，若x＝1不是y＝f(x)定义域的值，则直线x＝1与y＝f(x)的图象没有交点，如果x＝1是y＝f(x)定义域内的值，由函数定义可知，直线x＝1与y＝f(x)的图象只有一个交点，即y＝f(x)的图象与直线x＝1最多有一个交点；基础知识题型分类思想方法练出高分【例1】有以下判断：(1)f(x)＝|x|x与g(x)＝1x≥0－1x0表示同一函数；(2)函数y＝f(x)的图象与直线x＝1的交点最多有1个；(3)f(x)＝x2－2x＋1与g(t)＝t2－2t＋1是同一函数；(4)若f(x)＝|x－1|－|x|,则ff12＝0.其中正确判断的序号是________．题型分类·深度剖析题型一函数的概念对于(3)，f(x)与g(t)的定义域、值域和对应关系均相同，所以f(x)和g(t)表示同一函数；思维启迪解析答案探究提高对于(4),由于f12＝12－1－12＝0，所以ff12＝f(0)＝1.综上可知，正确的判断是(2)(3)．基础知识题型分类思想方法练出高分【例1】有以下判断：(1)f(x)＝|x|x与g(x)＝1x≥0－1x0表示同一函数；(2)函数y＝f(x)的图象与直线x＝1的交点最多有1个；(3)f(x)＝x2－2x＋1与g(t)＝t2－2t＋1是同一函数；(4)若f(x)＝|x－1|－|x|,则ff12＝0.其中正确判断的序号是________．题型分类·深度剖析题型一函数的概念思维启迪解析答案探究提高(2)(3)对于(3)，f(x)与g(t)的定义域、值域和对应关系均相同，所以f(x)和g(t)表示同一函数；对于(4),由于f12＝12－1－12＝0，所以ff12＝f(0)＝1.综上可知，正确的判断是(2)(3)．基础知识题型分类思想方法练出高分【例1】有以下判断：(1)f(x)＝|x|x与g(x)＝1x≥0－1x0表示同一函数；(2)函数y＝f(x)的图象与直线x＝1的交点最多有1个；(3)f(x)＝x2－2x＋1与g(t)＝t2－2t＋1是同一函数；(4)若f(x)＝|x－1|－|x|,则ff12＝0.其中正确判断的序号是________．题型分类·深度剖析题型一函数的概念思维启迪解析答案探究提高函数的三要素：定义域、值域、对应关系．这三要素不是独立的，值域可由定义域和对应关系唯一确定；因此当且仅当定义域和对应关系都相同的函数才是同一函数．特别值得说明的是，对应关系是就效果而言的(判断两个函数的对应关系是否相同，只要看对于函数定义域中的任意一个相同的自变量的值，按照这两个对应关系算出的函数值是否相同)不是指形式上的．即对应关系是否相同，不能只看外形，要看本质；若是用解析式表示的，要看化简后的形式才能正确判断．基础知识题型分类思想方法练出高分变式训练1下列各组函数中，表示同一函数的是()A．f(x)＝|x|，g(x)＝x2B．f(x)＝x2，g(x)＝(x)2C．f(x)＝x2－1x－1，g(x)＝x＋1D．f(x)＝x＋1·x－1，g(x)＝x2－1解析A中，g(x)＝|x|，∴f(x)＝g(x)．B中，f(x)＝|x|，g(x)＝x(x≥0)，∴两函数的定义域不同．C中，f(x)＝x＋1(x≠1)，g(x)＝x＋1，∴两函数的定义域不同．D中，f(x)＝x＋1·x－1(x＋1≥0且x－1≥0)，f(x)的定义域为{x|x≥1}；g(x)＝x2－1(x2－1≥0)，g(x)的定义域为{x|x≥1或x≤－1}．∴两函数的定义域不同．故选A.题型分类·深度剖析A基础知识题型分类思想方法练出高分【例2】(1)已知f2x＋1＝lgx，求f(x)；(2)设y＝f(x)是二次函数，方程f(x)＝0有两个相等实根,且f′(x)＝2x＋2，求f(x)的解析式；(3)定义在(－1,1)内的函数f(x)满足2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)，求函数f(x)的解析式．思维启迪探究提高解析题型分类·深度剖析题型二求函数的解析式基础知识题型分类思想方法练出高分【例2】(1)已知f2x＋1＝lgx，求f(x)；(2)设y＝f(x)是二次函数，方程f(x)＝0有两个相等实根,且f′(x)＝2x＋2，求f(x)的解析式；(3)定义在(－1,1)内的函数f(x)满足2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)，求函数f(x)的解析式．求函数的解析式，要在理解函数概念的基础上，寻求变量之间的关系．探究提高解析思维启迪题型分类·深度剖析题型二求函数的解析式基础知识题型分类思想方法练出高分【例2】(1)已知f2x＋1＝lgx，求f(x)；(2)设y＝f(x)是二次函数，方程f(x)＝0有两个相等实根,且f′(x)＝2x＋2，求f(x)的解析式；(3)定义在(－1,1)内的函数f(x)满足2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)，求函数f(x)的解析式．解(1)令t＝2x＋1，则x＝2t－1，∴f(t)＝lg2t－1,即f(x)＝lg2x－1(x1)．(2)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则f′(x)＝2ax＋b＝2x＋2，∴a＝1，b＝2，∴f(x)＝x2＋2x＋c.又∵方程f(x)＝0有两个相等实根，∴Δ＝4－4c＝0，c＝1，故f(x)＝x2＋2x＋1.(3)当x∈(－1,1)时，有2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)．①以－x代替x得，2f(－x)－f(x)＝lg(－x＋1)．②由①②消去f(－x)得，f(x)＝23lg(x＋1)＋13lg(1－x)，x∈(－1,1)．思维启迪探究提高解析题型分类·深度剖析题型二求函数的解析式基础知识题型分类思想方法练出高分【例2】(1)已知f2x＋1＝lgx，求f(x)；(2)设y＝f(x)是二次函数，方程f(x)＝0有两个相等实根