第二章22函数的单调性与最值

§2.2函数的单调性与最值第二章函数与基本初等函数I数学RA（理）基础知识题型分类思想方法练出高分基础知识·自主学习难点正本疑点清源要点梳理1.函数的单调性(1)单调函数的定义1.函数的单调性是局部性质增函数减函数一般地，设函数f(x)的定义域为I.如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2定义当x1x2时，都有，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1x2时,都有,那么就说函数f(x)在区间D上是减函数f(x1)f(x2)f(x1)f(x2)函数的单调性，从定义上看，是指函数在定义域的某个子区间上的单调性，是局部的特征．在某个区间上单调,在整个定义域上不一定单调．基础知识题型分类思想方法练出高分基础知识·自主学习难点正本疑点清源要点梳理2.函数的单调区间的求法图象描述自左向右看图象是________自左向右看图象是________(2)单调区间的定义若函数y=f(x)在区间D上是或，则称函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，叫做函数y=f(x)的单调区间．增函数减函数区间D上升的下降的函数的单调区间是函数定义域的子区间,所以求解函数的单调区间,必须先求出函数的定义域.对于基本初等函数的单调区间可以直接利用已知结论求解,如二次函数、对数函数、指数函数等；如果是复合函数，应根据复合函数的单调性的判断方法，首先判断两个简单函数的单调性，再根据“同则增，异则减”的法则求解函数的单调区间．基础知识题型分类思想方法练出高分基础知识·自主学习难点正本疑点清源要点梳理2．函数的最值3．单调区间的表示前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件(1)对于任意x∈I，都有___________；(2)存在x0∈I，使得________.(3)对于任意x∈I，都有____________；(4)存在x0∈I,使得________.结论M为最大值M为最小值f(x)≤Mf(x)≥Mf(x0)＝Mf(x0)＝M单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结．基础知识题型分类思想方法练出高分题号答案解析12345基础知识·自主学习基础自测－6(－3,0)D43，1－12，＋∞基础知识题型分类思想方法练出高分【例1】试讨论函数f(x)＝axx－1(a≠0)在(－1,1)上的单调性．思维启迪解析探究提高题型分类·深度剖析题型一函数单调性的判断基础知识题型分类思想方法练出高分【例1】试讨论函数f(x)＝axx－1(a≠0)在(－1,1)上的单调性．题型分类·深度剖析题型一函数单调性的判断可利用定义或导数法讨论函数的单调性．思维启迪解析探究提高基础知识题型分类思想方法练出高分【例1】试讨论函数f(x)＝axx－1(a≠0)在(－1,1)上的单调性．题型分类·深度剖析题型一函数单调性的判断解设－1x1x21，f(x)＝ax－1＋1x－1＝a1＋1x－1，f(x1)－f(x2)＝a1＋1x1－1－a1＋1x2－1＝ax2－x1x1－1x2－1当a0时，f(x1)－f(x2)0，即f(x1)f(x2)，函数f(x)在(－1,1)上递减；当a0时，f(x1)－f(x2)0，即f(x1)f(x2)，函数f(x)在(－1,1)上递增．思维启迪解析探究提高基础知识题型分类思想方法练出高分【例1】试讨论函数f(x)＝axx－1(a≠0)在(－1,1)上的单调性．题型分类·深度剖析题型一函数单调性的判断证明函数的单调性用定义法的步骤：取值—作差—变形—确定符号—下结论．思维启迪解析探究提高基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析变式训练1(1)已知a0，函数f(x)＝x＋ax(x0)，证明函数f(x)在(0，a]上是减函数，在[a，＋∞)上是增函数；证明设x1，x2是任意两个正数，且0x1x2，则f(x1)－f(x2)＝x1＋ax1－x2＋ax2＝x1－x2x1x2(x1x2－a)．当0x1x2≤a时，0x1x2a，又x1－x20，所以f(x1)－f(x2)0，即f(x1)f(x2)，所以函数f(x)在(0，a]上是减函数；当a≤x1x2时，x1x2a，又x1－x20，所以f(x1)－f(x2)0，即f(x1)f(x2)，所以函数f(x)在[a，＋∞)上是增函数．动画展示基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析变式训练1(2)求函数y＝x2＋x－6的单调区间．解令u＝x2＋x－6，y＝x2＋x－6可以看作有y＝u与u＝x2＋x－6的复合函数．由u＝x2＋x－6≥0，得x≤－3或x≥2.∵u＝x2＋x－6在(－∞，－3]上是减函数，在[2，＋∞)上是增函数，而y＝u在(0，＋∞)上是增函数．∴y＝x2＋x－6的单调减区间为(－∞，－3]，单调增区间为[2，＋∞)．基础知识题型分类思想方法练出高分【例2】若函数f(x)＝ax－1x＋1在(－∞，－1)上是减函数，求实数a的取值范围．思维启迪探究提高解析题型分类·深度剖析题型二利用函数单调性求参数基础知识题型分类思想方法练出高分利用函数的单调性求参数的取值范围，解题思路为视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参．探究提高思维启迪题型分类·深度剖析题型二利用函数单调性求参数【例2】若函数f(x)＝ax－1x＋1在(－∞，－1)上是减函数，求实数a的取值范围．解析基础知识题型分类思想方法练出高分思维启迪探究提高题型分类·深度剖析题型二利用函数单调性求参数【例2】若函数f(x)＝ax－1x＋1在(－∞，－1)上是减函数，求实数a的取值范围．解f(x)＝ax－1x＋1＝a－a＋1x＋1，设x1x2－1，则f(x1)－f(x2)＝a－a＋1x1＋1－a－a＋1x2＋1＝a＋1x2＋1－a＋1x1＋1＝a＋1x1－x2x2＋1x1＋1，又函数f(x)在(－∞，－1)上是减函数，解析基础知识题型分类思想方法练出高分思维启迪探究提高题型分类·深度剖析题型二利用函数单调性求参数【例2】若函数f(x)＝ax－1x＋1在(－∞，－1)上是减函数，求实数a的取值范围．所以f(x1)－f(x2)0，由于x1x2－1，所以x1－x20，x1＋10，x2＋10，所以a＋10，即a－1.故a的取值范围是(－∞，－1)．解析基础知识题型分类思想方法练出高分已知函数的单调性确定参数的值或范围，可以通过解不等式或转化为不等式恒成立问题求解；需注意的是，若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的．思维启迪探究提高题型分类·深度剖析题型二利用函数单调性求参数【例2】若函数f(x)＝ax－1x＋1在(－∞，－1)上是减函数，求实数a的取值范围．解析基础知识题型分类思想方法练出高分变式训练2(1)若函数f(x)＝(2a－1)x＋b是R上的减函数，则a的取值范围为____________．解析因为函数f(x)＝(2a－1)x＋b是R上的减函数，题型分类·深度剖析所以a的取值范围是－∞，12.所以2a－10，解得a12，－∞，12基础知识题型分类思想方法练出高分变式训练2(2)函数y＝x－5x－a－2在(－1，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是()A．a＝－3B．a3C．a≤－3D．a≥－3解析y＝x－5x－a－2＝1＋a－3x－a＋2，题型分类·深度剖析由函数在(－1，＋∞)上单调递增，有a－30a＋2≤－1，解得a≤－3.C基础知识题型分类思想方法练出高分【例3】已知函数f(x)对于任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x0时，f(x)0，f(1)＝－23.(1)求证：f(x)在R上是减函数；(2)求f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值．题型分类·深度剖析题型三利用函数的单调性求最值思维启迪探究提高解析基础知识题型分类思想方法练出高分【例3】已知函数f(x)对于任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x0时，f(x)0，f(1)＝－23.(1)求证：f(x)在R上是减函数；(2)求f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值．题型分类·深度剖析题型三利用函数的单调性求最值问题(1)对于抽象函数的问题要根据题设及所求的结论来适当取特殊值，证明f(x)为单调减函数的首选方法是用单调性的定义来证．问题(2)用函数的单调性即可求最值．思维启迪探究提高解析基础知识题型分类思想方法练出高分【例3】已知函数f(x)对于任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x0时，f(x)0，f(1)＝－23.(1)求证：f(x)在R上是减函数；(2)求f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值．题型分类·深度剖析题型三利用函数的单调性求最值(1)证明方法一∵函数f(x)对于任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，∴令x＝y＝0，得f(0)＝0.再令y＝－x，得f(－x)＝－f(x)．在R上任取x1x2，则x1－x20，f(x1)－f(x2)＝f(x1)＋f(－x2)＝f(x1－x2)．又∵当x0时，f(x)0，而x1－x20，∴f(x1－x2)0，即f(x1)f(x2)．因此f(x)在R上是减函数．思维启迪探究提高解析基础知识题型分类思想方法练出高分【例3】已知函数f(x)对于任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x0时，f(x)0，f(1)＝－23.(1)求证：f(x)在R上是减函数；(2)求f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值．题型分类·深度剖析题型三利用函数的单调性求最值方法二设x1x2，则f(x1)－f(x2)＝f(x1－x2＋x2)－f(x2)＝f(x1－x2)＋f(x2)－f(x2)＝f(x1－x2)．又∵当x0时，f(x)0，而x1－x20，∴f(x1－x2)0，即f(x1)f(x2)，∴f(x)在R上为减函数．思维启迪探究提高解析基础知识题型分类思想方法练出高分【例3】已知函数f(x)对于任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x0时，f(x)0，f(1)＝－23.(1)求证：f(x)在R上是减函数；(2)求f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值．题型分类·深度剖析题型三利用函数的单调性求最值(2)解∵f(x)在R上是减函数，∴f(x)在[－3,3]上也是减函数，∴f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值分别为f(－3)与f(3)．而f(3)＝3f(1)＝－2,f(－3)＝－f(3)＝2.∴f(x)在[－3,3]上的最大值为2，最小值为－2.思维启迪探究提高解析基础知识题型分类思想方法练出高分【例3】已知函数f(x)对于任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x0时，f(x)0，f(1)＝－23.(1)求证：f(x)在R上是减函数；(2)求f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值．题型分类·深度剖析题型三利用函数的单调性求最值对于抽象函数的单调性的判断仍然要紧扣单调性的定义，结合题目所给性质和相应的条件，对任意x1，x2在所给区间内比较f(x1)－f(x2)与0的大小，或fx1fx2与1的大小．有时根据需要，需作适当的变形：如x1＝x2·x1x2或x1＝x2＋x1－x2等；利用函数单调性可以求函数最值．思维启迪探究提高解析基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析变式训练3已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)满足fx1x2＝f(x1)－f(x2)，且当x1时，f(x)0.(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的单调性；解(1)令x1＝x20，代入得f(1)＝f(x1)－f(x1)＝0，故f(1