第二章23函数的奇偶性与周期性

§2.3函数的奇偶性与周期性第二章函数与基本初等函数I数学RA（理）基础知识题型分类思想方法练出高分基础知识·自主学习难点正本疑点清源要点梳理1．奇、偶函数的概念一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有，那么函数f(x)就叫做偶函数．一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有，那么函数f(x)就叫做奇函数．奇函数的图象关于对称；偶函数的图象关于对称．1．函数奇偶性的判断f(－x)＝f(x)f(－x)＝－f(x)原点y轴(1)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件；(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系．在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立．基础知识题型分类思想方法练出高分基础知识·自主学习难点正本疑点清源要点梳理2．奇、偶函数的性质(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性．(2)在公共定义域内，①两个奇函数的和是，两个奇函数的积是偶函数；②两个偶函数的和、积都是；③一个奇函数，一个偶函数的积是．2．函数奇偶性的性质相同相反奇函数偶函数奇函数(1)若奇函数f(x)在x＝0处有定义，则f(0)＝0.(2)设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．(3)奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反．基础知识题型分类思想方法练出高分基础知识·自主学习难点正本疑点清源要点梳理3．周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．f(x＋T)＝f(x)存在一个最小2．函数奇偶性的性质(1)若奇函数f(x)在x＝0处有定义，则f(0)＝0.(2)设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．(3)奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反．基础知识题型分类思想方法练出高分题号答案解析12345基础知识·自主学习基础自测D(－1,0)∪(1，＋∞)－913A基础知识题型分类思想方法练出高分【例1】判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝9－x2＋x2－9；(2)f(x)＝(x＋1)1－x1＋x；(3)f(x)＝4－x2|x＋3|－3.思维启迪解析探究提高题型分类·深度剖析题型一判断函数的奇偶性基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析题型一判断函数的奇偶性确定函数的奇偶性时，必须先判定函数定义域是否关于原点对称．若对称，再验证f(－x)＝±f(x)或其等价形式f(－x)±f(x)＝0是否成立．思维启迪解析探究提高【例1】判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝9－x2＋x2－9；(2)f(x)＝(x＋1)1－x1＋x；(3)f(x)＝4－x2|x＋3|－3.基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析题型一判断函数的奇偶性思维启迪解析探究提高【例1】判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝9－x2＋x2－9；(2)f(x)＝(x＋1)1－x1＋x；(3)f(x)＝4－x2|x＋3|－3.解(1)由9－x2≥0x2－9≥0，得x＝±3.∴f(x)的定义域为{－3,3}．又f(3)＋f(－3)＝0，f(3)－f(－3)＝0.即f(x)＝±f(－x)．∴f(x)既是奇函数，又是偶函数．(2)由1－x1＋x≥01＋x≠0，得－1x≤1.∵f(x)的定义域(－1,1]不关于原点对称．基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析题型一判断函数的奇偶性思维启迪解析探究提高【例1】判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝9－x2＋x2－9；(2)f(x)＝(x＋1)1－x1＋x；(3)f(x)＝4－x2|x＋3|－3.∴f(x)既不是奇函数,也不是偶函数．(3)由4－x2≥0|x＋3|－3≠0，得－2≤x≤2且x≠0.∴f(x)的定义域为[－2,0)∪(0,2]，关于原点对称．∴f(x)＝4－x2x＋3－3＝4－x2x.∴f(x)＝－f(－x)，∴f(x)是奇函数．基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析题型一判断函数的奇偶性判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域对解决问题是有利的；(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系.在判断奇偶性的运算中,可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立．思维启迪解析探究提高【例1】判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝9－x2＋x2－9；(2)f(x)＝(x＋1)1－x1＋x；(3)f(x)＝4－x2|x＋3|－3.基础知识题型分类思想方法练出高分变式训练1下列函数：①f(x)＝1－x2＋x2－1；②f(x)＝x3－x；③f(x)＝ln(x＋x2＋1)④f(x)＝3x－3－x2；⑤f(x)＝lg1－x1＋x.其中奇函数的个数是()A．2B．3C．4D．5题型分类·深度剖析解析①f(x)＝1－x2＋x2－1的定义域为{－1,1}，又f(－x)＝±f(x)＝0，则f(x)＝1－x2＋x2－1既是奇函数，也是偶函数；②f(x)＝x3－x的定义域为R，又f(－x)＝(－x)3－(－x)＝－(x3－x)＝－f(x)，则f(x)＝x3－x是奇函数；③由x＋x2＋1x＋|x|≥0知f(x)＝ln(x＋x2＋1)的定义域为R，又f(－x)＝ln(－x＋－x2＋1)＝ln1x＋x2＋1基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析＝－ln(x＋x2＋1)＝－f(x)，则f(x)为奇函数；④f(x)＝3x－3－x2的定义域为R，又f(－x)＝3－x－3x2＝－3x－3－x2＝－f(x)，则f(x)为奇函数；⑤由1－x1＋x0得－1x1，f(x)＝ln1－x1＋x的定义域为(－1,1)，又f(－x)＝ln1＋x1－x＝ln1－x1＋x－1＝－ln1－x1＋x＝－f(x)，则f(x)为奇函数，∴奇函数的个数为5.D变式训练1下列函数：①f(x)＝1－x2＋x2－1；②f(x)＝x3－x；③f(x)＝ln(x＋x2＋1)④f(x)＝3x－3－x2；⑤f(x)＝lg1－x1＋x.其中奇函数的个数是()A．2B．3C．4D．5基础知识题型分类思想方法练出高分【例2】设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2.(1)求证：f(x)是周期函数；(2)当x∈[2,4]时,求f(x)的解析式；(3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2013)．思维启迪探究提高解析题型分类·深度剖析题型二函数的奇偶性与周期性基础知识题型分类思想方法练出高分(1)只需证明f(x＋T)＝f(x)，即可说明f(x)是周期函数；(2)由f(x)在[0,2]上的解析式求得f(x)在[－2,0]上的解析式，进而求f(x)在[2,4]上的解析式；(3)由周期性求和．探究提高思维启迪题型分类·深度剖析题型二函数的奇偶性与周期性解析【例2】设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2.(1)求证：f(x)是周期函数；(2)当x∈[2,4]时,求f(x)的解析式；(3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2013)．基础知识题型分类思想方法练出高分【例2】设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2.(1)求证：f(x)是周期函数；(2)当x∈[2,4]时,求f(x)的解析式；(3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2013)．思维启迪探究提高题型分类·深度剖析题型二函数的奇偶性与周期性(1)证明∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)．∴f(x)是周期为4的周期函数．(2)解∵x∈[2,4],∴－x∈[－4，－2]，∴4－x∈[0,2]，∴f(4－x)＝2(4－x)－(4－x)2＝－x2＋6x－8，又f(4－x)＝f(－x)＝－f(x)，∴－f(x)＝－x2＋6x－8，即f(x)＝x2－6x＋8，x∈[2,4]．解析基础知识题型分类思想方法练出高分【例2】设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2.(1)求证：f(x)是周期函数；(2)当x∈[2,4]时,求f(x)的解析式；(3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2013)．思维启迪探究提高题型分类·深度剖析题型二函数的奇偶性与周期性(3)解∵f(0)＝0，f(2)＝0，f(1)＝1，f(3)＝－1.又f(x)是周期为4的周期函数，∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)＝…＝f(2008)＋f(2009)＋f(2010)＋f(2011)＝0.∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2013)＝f(0)＋f(1)＝1.解析基础知识题型分类思想方法练出高分判断函数的周期只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题，是高考考查的重点问题．思维启迪探究提高题型分类·深度剖析题型二函数的奇偶性与周期性解析【例2】设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2.(1)求证：f(x)是周期函数；(2)当x∈[2,4]时,求f(x)的解析式；(3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2013)．基础知识题型分类思想方法练出高分变式训练2已知f(x)是定义在R上的偶函数，并且f(x＋2)＝－1fx，当2≤x≤3时，f(x)＝x，则f(105.5)＝________.题型分类·深度剖析解析由已知，可得f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－1fx＋2＝－1－1fx＝f(x)．故函数的周期为4.∴f(105.5)＝f(4×27－2.5)＝f(－2.5)．∵2≤2.5≤3，由题意，得f(2.5)＝2.5.∴f(105.5)＝2.5.2.5基础知识题型分类思想方法练出高分【例3】设f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x.(1)求f(π)的值；(2)当－4≤x≤4时，求f(x)的图象与x轴所围成图形的面积；(3)写出(－∞，＋∞)内函数f(x)的单调区间．题型分类·深度剖析题型三函数性质的综合应用思维启迪探究提高解析基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析题型三函数性质的综合应用可以先确定函数的周期性，求f(π)；然后根据函数图象的对称性、周期性画出函数图象，求图形面积、写单调区间．思维启迪探究提高解析【例3】设f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x.(1)求f(π)的值；(2)当－4≤x≤4时，求f(x)的图象与x轴所围成图形的面积；(3)写出(－∞，＋∞)内函数f(x)的单调区间．基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析题型三函数性质的综合应用解(1)由f(x＋2)＝－f(x)得，思维启迪探究提高解析【例3】设f(x)