第二章28函数与方程

§2.8函数与方程数学RA（理）第二章函数与基本初等函数I基础知识题型分类思想方法练出高分基础知识·自主学习难点正本疑点清源要点梳理1．函数的零点(1)函数零点的定义对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使成立的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．(2)几个等价关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与有交点⇔函数y＝f(x)有．(3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数y＝f(x)在区间内有零点，即存在c∈(a，b)，使得，这个也就是f(x)＝0的根．f(x)＝0x轴零点f(a)·f(b)0(a，b)f(c)＝0c1．函数的零点不是点，是方程f(x)＝0的根；基础知识题型分类思想方法练出高分基础知识·自主学习难点正本疑点清源要点梳理2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a0)的图象与零点的关系Δ0Δ＝0Δ0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a0)的图象与x轴的交点，无交点零点个数______(x1,0)(x2,0)(x1,0)2102．函数零点的存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，而不能判断函数的不变号零点，而且连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分条件，而不是必要条件．基础知识题型分类思想方法练出高分基础知识·自主学习难点正本疑点清源要点梳理3.二分法(1)定义：对于在区间[a，b]上连续不断且的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间，使区间的两个端点逐步逼近，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．f(a)·f(b)0一分为二零点3．利用图象交点的个数判断函数的零点：画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．基础知识题型分类思想方法练出高分基础知识·自主学习难点正本疑点清源要点梳理(2)给定精确度ε，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下：①确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)0，给定精确度ε；②求区间(a，b)的中点c；③计算f(c)；(ⅰ)若f(c)＝0，则c就是函数的零点；(ⅱ)若f(a)·f(c)0，则令b＝c(此时零点x0∈(a，c))；(ⅲ)若f(c)·f(b)0，则令a＝c(此时零点x0∈(c，b))．④判断是否达到精确度ε：即若|a－b|ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复②③④.3．利用图象交点的个数判断函数的零点：画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．基础知识题型分类思想方法练出高分题号答案解析1234基础知识·自主学习基础自测－12，－13CC3基础知识题型分类思想方法练出高分【例1】判断下列函数在给定区间上是否存在零点．(1)f(x)＝x2－3x－18，x∈[1,8]；(2)f(x)＝log2(x＋2)－x，x∈[1,3]．思维启迪解析探究提高题型分类·深度剖析题型一函数零点的判断基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析题型一函数零点的判断第(1)问利用零点的存在性定理或直接求出零点，第(2)问利用零点的存在性定理或利用两图象的交点来求解．思维启迪解析探究提高【例1】判断下列函数在给定区间上是否存在零点．(1)f(x)＝x2－3x－18，x∈[1,8]；(2)f(x)＝log2(x＋2)－x，x∈[1,3]．基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析题型一函数零点的判断思维启迪解析探究提高【例1】判断下列函数在给定区间上是否存在零点．(1)f(x)＝x2－3x－18，x∈[1,8]；(2)f(x)＝log2(x＋2)－x，x∈[1,3]．解(1)方法一∵f(1)＝12－3×1－18＝－200，f(8)＝82－3×8－18＝220，∴f(1)·f(8)0，故f(x)＝x2－3x－18，x∈[1,8]存在零点．方法二令f(x)＝0，得x2－3x－18＝0，x∈[1,8]．∴(x－6)(x＋3)＝0，∵x＝6∈[1,8]，x＝－3∉[1,8]，∴f(x)＝x2－3x－18，x∈[1,8]存在零点．基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析题型一函数零点的判断思维启迪解析探究提高【例1】判断下列函数在给定区间上是否存在零点．(1)f(x)＝x2－3x－18，x∈[1,8]；(2)f(x)＝log2(x＋2)－x，x∈[1,3]．(2)方法一∵f(1)＝log23－1log22－1＝0，f(3)＝log25－3log28－3＝0，∴f(1)·f(3)0，故f(x)＝log2(x＋2)－x，x∈[1,3]存在零点．方法二设y＝log2(x＋2)，y＝x，在同一直角坐标系中画出它们的图象，从图象中可以看出当1≤x≤3时，两图象有一个交点，因此f(x)＝log2(x＋2)－x，x∈[1,3]存在零点．基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析题型一函数零点的判断求解函数的零点存在性问题常用的办法有三种：一是用定理，二是解方程，三是用图象．值得说明的是，零点存在性定理是充分条件，而并非是必要条件．思维启迪解析探究提高【例1】判断下列函数在给定区间上是否存在零点．(1)f(x)＝x2－3x－18，x∈[1,8]；(2)f(x)＝log2(x＋2)－x，x∈[1,3]．基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析变式训练1函数f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是()A．(－2，－1)B．(－1,0)C．(0,1)D．(1,2)解析∵f′(x)＝2xln2＋30，∴f(x)＝2x＋3x在R上是增函数．而f(－2)＝2－2－60，f(－1)＝2－1－30，f(0)＝20＝10，f(1)＝2＋3＝50，f(2)＝22＋6＝100，∴f(－1)·f(0)0.故函数f(x)在区间(－1,0)上有零点．B基础知识题型分类思想方法练出高分【例2】若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0,1]时，f(x)＝x，则函数y＝f(x)－log3|x|的零点个数是________．题型分类·深度剖析题型二函数零点个数的判断思维启迪解析答案探究提高基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析题型二函数零点个数的判断函数零点的个数⇔方程解的个数⇔函数y＝f(x)与y＝log3|x|交点的个数．思维启迪解析答案探究提高【例2】若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0,1]时，f(x)＝x，则函数y＝f(x)－log3|x|的零点个数是________．基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析题型二函数零点个数的判断由题意知，f(x)是周期为2的偶函数．思维启迪解析答案探究提高【例2】若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0,1]时，f(x)＝x，则函数y＝f(x)－log3|x|的零点个数是________．在同一坐标系内作出函数y＝f(x)及y＝log3|x|的图象，如下：观察图象可以发现它们有4个交点，即函数y＝f(x)－log3|x|有4个零点．基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析题型二函数零点个数的判断思维启迪解析答案探究提高【例2】若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0,1]时，f(x)＝x，则函数y＝f(x)－log3|x|的零点个数是________．由题意知，f(x)是周期为2的偶函数．在同一坐标系内作出函数y＝f(x)及y＝log3|x|的图象，如下：观察图象可以发现它们有4个交点，即函数y＝f(x)－log3|x|有4个零点．4基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析题型二函数零点个数的判断对函数零点个数的判断方法：(1)结合零点存在性定理，利用函数的单调性、对称性确定函数零点个数；(2)利用函数图象交点个数判断方程根的个数或函数零点个数．思维启迪解析答案探究提高【例2】若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0,1]时，f(x)＝x，则函数y＝f(x)－log3|x|的零点个数是________．4基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析变式训练2(2012·天津)函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0,1)内的零点个数是()A．0B．1C．2D．3解析因为f′(x)＝2xln2＋3x20，所以函数f(x)＝2x＋x3－2在(0,1)上递增，且f(0)＝1＋0－2＝－10，f(1)＝2＋1－2＝10，所以有1个零点．B基础知识题型分类思想方法练出高分【例3】已知关于x的二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0.(1)若方程有两根，其中一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m的范围；(2)若方程两根均在区间(0,1)内，求m的范围．题型分类·深度剖析题型三二次函数的零点问题思维启迪解析探究提高基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析设出二次方程对应的函数，可画出相应的示意图，然后用函数性质加以限制．思维启迪解析探究提高题型三二次函数的零点问题【例3】已知关于x的二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0.(1)若方程有两根，其中一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m的范围；(2)若方程两根均在区间(0,1)内，求m的范围．基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析思维启迪解析探究提高题型三二次函数的零点问题【例3】已知关于x的二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0.(1)若方程有两根，其中一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m的范围；(2)若方程两根均在区间(0,1)内，求m的范围．解(1)由条件，抛物线f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1与x轴的交点分别在区间(－1,0)和(1,2)内，如图(1)所示，得f0＝2m＋10，f－1＝20，f1＝4m＋20，f2＝6m＋50.⇒m－12，m∈R，m－12，m－56.即－56m－12.基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析思维启迪解析探究提高题型三二次函数的零点问题【例3】已知关于x的二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0.(1)若方程有两根，其中一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m的范围；(2)若方程两根均在区间(0,1)内，求m的范围．(2)抛物线与x轴交点均落在区间(0,1)内，如图(2)所示列不等式组f00，f10，Δ≥0，0－m1.⇒m－12，m－12，m≥1＋2或m≤1－2，－1m0.即－12m≤1－2.基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析对二次函数的零点问题，可以采用根与系数的关系和判别式解决；比较复杂的题目，可利用二次函数的性质结合图象寻求条件．思维启迪解析探究提高题型三二次函数的零点问题【例3】已知关于x的二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0.(1)若方程有两根，其中一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m的范围；(2)若方程两根均在区间(0,1)内，求m的范围．基础知识题型分类思想方法练出高分变式训练3关于x的一元二次方程x2－2ax＋a＋2＝0,当a为何实数时：(1)有两不同正根；(2)不同两根在(1,3)之间；(3)有一根大于2，另一根小于2；(4)在(1,3)内有且只有一解．题型分类·深度剖析解设f(x)＝x2－2ax＋a＋2，Δ＝4a2－4(a＋2)＝4(a2－a－2)＝4(a－2)(a＋1)．(1)由已知条件Δ0，x1＋x2＝2a0，x1·x2＝a＋20，解得a2.(2)由已知条件Δ0，1a3，f10，f30，解得2a115.(3)由已知条件f(2)0，解得a2.基础知识题型分类思想方法练出高分变式训练3关于x的一元二