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§2.9函数的应用数学RA（理）第二章函数与基本初等函数I基础知识题型分类思想方法练出高分基础知识·自主学习难点正本疑点清源要点梳理1．几类函数模型及其增长差异(1)几类函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)＝ax＋b(a、b为常数，a≠0)反比例函数模型f(x)＝kx＋b(k，b为常数且k≠0)二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)指数函数模型f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a0且a≠1)对数函数模型f(x)＝blogax＋c(a,b,c为常数，b≠0，a0且a≠1)幂函数模型f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)1．要注意实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域．基础知识题型分类思想方法练出高分基础知识·自主学习难点正本疑点清源要点梳理(2)三种函数模型的性质函数性质y＝ax(a1)y＝logax(a1)y＝xn(n0)在(0，＋∞)上的增减性单调单调单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x的增大逐渐表现为与平行随x的增大逐渐表现为与平行随n值变化而各有不同值的比较存在一个x0，当xx0时，有logaxxnax递增递增y轴x轴1．要注意实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域．基础知识题型分类思想方法练出高分基础知识·自主学习难点正本疑点清源要点梳理2．解函数应用问题的步骤(四步八字)(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；(3)解模：求解数学模型，得出数学结论；(4)还原：将数学问题还原为实际问题的意义．2．解决函数应用问题重点解决以下问题(1)阅读理解、整理数据：通过分析、画图、列表、归类等方法，快速弄清数据之间的关系，数据的单位等等；(2)建立函数模型：关键是正确选择自变量将问题的目标表示为这个变量的函数，建立函数的模型的过程主要是抓住某些量之间的相等关系列出函数式，注意不要忘记考察函数的定义域；基础知识题型分类思想方法练出高分基础知识·自主学习难点正本疑点清源要点梳理以上过程用框图表示如下：(3)求解函数模型：主要是研究函数的单调性，求函数的值域、最大(小)值，计算函数的特殊值等，注意发挥函数图象的作用；(4)回答实际问题结果：将函数问题的结论还原成实际问题，结果明确表述出来．基础知识题型分类思想方法练出高分题号答案解析12345基础知识·自主学习基础自测78℃BD2500A基础知识题型分类思想方法练出高分【例1】某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y(万元)与年产量x(吨)之间的函数关系式可以近似地表示为y＝x25－48x＋8000，已知此生产线年产量最大为210吨．(1)求年产量为多少吨时,生产每吨产品的平均成本最低,求最低成本；(2)若每吨产品平均出厂价为40万元,那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？思维启迪解析探究提高题型分类·深度剖析题型一二次函数模型基础知识题型分类思想方法练出高分【例1】某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y(万元)与年产量x(吨)之间的函数关系式可以近似地表示为y＝x25－48x＋8000，已知此生产线年产量最大为210吨．(1)求年产量为多少吨时,生产每吨产品的平均成本最低,求最低成本；(2)若每吨产品平均出厂价为40万元,那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？题型分类·深度剖析题型一二次函数模型(1)根据函数模型，建立函数解析式．(2)求函数最值．思维启迪解析探究提高基础知识题型分类思想方法练出高分【例1】某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y(万元)与年产量x(吨)之间的函数关系式可以近似地表示为y＝x25－48x＋8000，已知此生产线年产量最大为210吨．(1)求年产量为多少吨时,生产每吨产品的平均成本最低,求最低成本；(2)若每吨产品平均出厂价为40万元,那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？题型分类·深度剖析题型一二次函数模型思维启迪解析探究提高解(1)每吨平均成本为yx(万元)．则yx＝x5＋8000x－48≥2x5·8000x－48＝32，当且仅当x5＝8000x，即x＝200时取等号．∴年产量为200吨时，每吨平均成本最低，最低为32万元．基础知识题型分类思想方法练出高分【例1】某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y(万元)与年产量x(吨)之间的函数关系式可以近似地表示为y＝x25－48x＋8000，已知此生产线年产量最大为210吨．(1)求年产量为多少吨时,生产每吨产品的平均成本最低,求最低成本；(2)若每吨产品平均出厂价为40万元,那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？题型分类·深度剖析题型一二次函数模型思维启迪解析探究提高(2)设可获得总利润为R(x)万元，则R(x)＝40x－y＝40x－x25＋48x－8000＝－x25＋88x－8000＝－15(x－220)2＋1680(0≤x≤210)．∵R(x)在[0,210]上是增函数，∴x＝210时，R(x)有最大值为－15(210－220)2＋1680＝1660.∴年产量为210吨时，可获得最大利润1660万元．基础知识题型分类思想方法练出高分【例1】某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y(万元)与年产量x(吨)之间的函数关系式可以近似地表示为y＝x25－48x＋8000，已知此生产线年产量最大为210吨．(1)求年产量为多少吨时,生产每吨产品的平均成本最低,求最低成本；(2)若每吨产品平均出厂价为40万元,那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？题型分类·深度剖析题型一二次函数模型二次函数是常用的函数模型，建立二次函数模型可以求出函数的值域或最值．解决实际中的优化问题时，一定要分析自变量的取值范围．利用配方法求最值时，一定要注意对称轴与给定区间的关系：若对称轴在给定的区间内，可在对称轴处取最值，在离对称轴较远的端点处取另一最值；若对称轴不在给定的区间内，最值都在区间的端点处取得．思维启迪解析探究提高基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析变式训练1某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系是y＝3000＋20x－0.1x2(0x240，x∈N*)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是()A．100台B．120台C．150台D．180台解析设利润为f(x)万元，则f(x)＝25x－(3000＋20x－0.1x2)＝0.1x2＋5x－3000(0x240，x∈N*)．令f(x)≥0，得x≥150，∴生产者不亏本时的最低产量是150台．c基础知识题型分类思想方法练出高分【例2】诺贝尔奖发放方式为每年一发，把奖金总额平均分成6份，奖励给分别在6项(物理、化学、文学、经济学、生理学和医学、和平)为人类作出最有益贡献的人，每年发放奖金的总金额是基金在该年度所获利息的一半，另一半利息作基金总额，以便保证奖金数逐年增加．假设基金平均年利率为r＝6.24%.资料显示：1999年诺贝尔奖金发放后基金总额约为19800万美元．设f(x)表示第x(x∈N*)年诺贝尔奖发放后的基金总额(1999年记为f(1)，2000年记为f(2)，…，依次类推)．(1)用f(1)表示f(2)与f(3)，并根据所求结果归纳出函数f(x)的表达式；(2)试根据f(x)的表达式判断网上一则新闻“2009年度诺贝尔奖各项奖金高达150万美元”是否为真，并说明理由．(参考数据：1.03129＝1.32)题型分类·深度剖析题型二指数函数模型思维启迪解析探究提高基础知识题型分类思想方法练出高分【例2】诺贝尔奖发放方式为每年一发，把奖金总额平均分成6份，奖励给分别在6项(物理、化学、文学、经济学、生理学和医学、和平)为人类作出最有益贡献的人，每年发放奖金的总金额是基金在该年度所获利息的一半，另一半利息作基金总额，以便保证奖金数逐年增加．假设基金平均年利率为r＝6.24%.资料显示：1999年诺贝尔奖金发放后基金总额约为19800万美元．设f(x)表示第x(x∈N*)年诺贝尔奖发放后的基金总额(1999年记为f(1)，2000年记为f(2)，…，依次类推)．(1)用f(1)表示f(2)与f(3)，并根据所求结果归纳出函数f(x)的表达式；(2)试根据f(x)的表达式判断网上一则新闻“2009年度诺贝尔奖各项奖金高达150万美元”是否为真，并说明理由．(参考数据：1.03129＝1.32)题型分类·深度剖析题型二指数函数模型从所给信息中找出关键词，增长率问题可以建立指数函数模型．思维启迪解析探究提高基础知识题型分类思想方法练出高分【例2】诺贝尔奖发放方式为每年一发，把奖金总额平均分成6份，奖励给分别在6项(物理、化学、文学、经济学、生理学和医学、和平)为人类作出最有益贡献的人，每年发放奖金的总金额是基金在该年度所获利息的一半，另一半利息作基金总额，以便保证奖金数逐年增加．假设基金平均年利率为r＝6.24%.资料显示：1999年诺贝尔奖金发放后基金总额约为19800万美元．设f(x)表示第x(x∈N*)年诺贝尔奖发放后的基金总额(1999年记为f(1)，2000年记为f(2)，…，依次类推)．(1)用f(1)表示f(2)与f(3)，并根据所求结果归纳出函数f(x)的表达式；(2)试根据f(x)的表达式判断网上一则新闻“2009年度诺贝尔奖各项奖金高达150万美元”是否为真，并说明理由．(参考数据：1.03129＝1.32)题型分类·深度剖析题型二指数函数模型解(1)由题意知，f(2)＝f(1)(1＋6.24%)－12f(1)·6.24%＝f(1)(1＋3.12%)，f(3)＝f(2)(1＋6.24%)－12f(2)·6.24%＝f(2)(1＋3.12%)＝f(1)(1＋3.12%)2，∴f(x)＝19800(1＋3.12%)x－1(x∈N*)．思维启迪解析探究提高基础知识题型分类思想方法练出高分【例2】诺贝尔奖发放方式为每年一发，把奖金总额平均分成6份，奖励给分别在6项(物理、化学、文学、经济学、生理学和医学、和平)为人类作出最有益贡献的人，每年发放奖金的总金额是基金在该年度所获利息的一半，另一半利息作基金总额，以便保证奖金数逐年增加．假设基金平均年利率为r＝6.24%.资料显示：1999年诺贝尔奖金发放后基金总额约为19800万美元．设f(x)表示第x(x∈N*)年诺贝尔奖发放后的基金总额(1999年记为f(1)，2000年记为f(2)，…，依次类推)．(1)用f(1)表示f(2)与f(3)，并根据所求结果归纳出函数f(x)的表达式；(2)试根据f(x)的表达式判断网上一则新闻“2009年度诺贝尔奖各项奖金高达150万美元”是否为真，并说明理由．(参考数据：1.03129＝1.32)题型分类·深度剖析题型二指数函数模型(2)2008年诺贝尔奖发放后基金总额为f(10)＝19800(1＋3.12%)9＝26136，故2009年度诺贝尔奖各项奖金为16·12f(10)·6.24%≈136(万美元)，与150万美元相比少了约14万美元，是假新闻．思维启迪解析探究提高基础知识题型分类思想方法练出高分【例2】诺贝尔奖发放方式为每年一发，把奖金总额平均分成6份，奖励给分别在6项(物理、化学、文学、经济学、生理学和医学、和平)为人类作出最有益贡献的人，每年发放奖金的总金额是基金在该年度所获利息的一半，另一半利息作基金总额，以便保证奖金数逐年增加．假设基金平均年利率为r＝6.24%.资料显示：1999年诺贝尔奖金发放后基金总额约为19800万美元．设f(x)表示第x(x∈N*)年诺贝尔奖发放后的基金总额(1999年记为f(1)，2000年记为f(2)，…，依次类