KleinGordan方程

Klein-Gordan方程0),(),(),(12222222trcmtrtrtc0),(),(222trcmtr0),(),(222trcmtr0),(),(ˆˆ22trcmtrppttmc**22i0j**2imj0jt1936，Pauli和Weisskopf：Klein-Gordan方程本质上不是单粒子方程，应视为自旋为零的标量粒子的场方程。对场方程进行量子化处理，将态函数（c数）转换成量子力学中的算符（q数）。0),(),(),(12222222trcmtrtrtcktkbtkaAtrrkrkde),(e),(),(i*i解为，其傅里叶展开为),(tr无穷多个谐振子（自由度），“粒子化”。带回原方程，得0)(dd2422222acmkcta0)(dd*242222*2bcmkctb),(trKlein-Gordan方程是场方程，要描写粒子性，需离散化（量子化、二次量子化）ktkbtkaAtrrkrkde),(e),(),(i*i二次量子化krkkrkkktbtaAtri†ie)(ˆe)(ˆ),(ˆttmcq**22i)()(ˆ),(ˆ†kktatakk)()(ˆ),(ˆ†kktbtbkk这样，应该将Klein-Gordan方程视为场方程，而不是简单地将其视作单粒子方程就是场粒子的电荷密度，负概率的困难不复存在了。但至此，负能量的问题尚未解决。粒子的湮灭算符)(ˆtak反粒子的产生算符)(ˆ†tbk五、电磁场中的Klein-Gordan方程质量m，自旋0，电荷q电磁场标势，矢势ΦA电磁场中的带电粒子AqppˆˆqΦttii0),(),()ˆ)(ˆ(22trcmtrqApqApqAppˆˆ),(AΦA)i,i(AqqΦtc0),(),(ˆˆ22trcmtrpp),(),()i)(i(22trcmtrqAxqAxg电磁场中的Klein-Gordan方程作业：推导出电磁场中Klein-Gordan方程在非相对论极限下的表示形式。AqppqΦEE量子力学§2Dirac方程一、方程的引入42222cmcpE狄拉克2mcpcE2ˆˆmcpcHHtˆi,与坐标无关mpE22),(2),(i22trmtrt0),(),(222trcmtr不协变概率解释薛定谔形式的方程，可纳入量子力学框架。2ˆimcpct2imczyxczyx2332211imcxxxctEi不可能是简单的数。,,,3212332211iimcxxxct方程是洛伦兹协变的，为厄米算符Hˆ2ˆˆmcpcH2ˆˆˆimcpct狄拉克方程应满足的条件：（1）对自由粒子42222cmcpE（2）连续方程、概率解释（3）洛伦兹协变对（1），就是要与Klein-Gordan方程相容0),(),(),(12222222trcmtrtrtc22ˆˆˆˆˆˆiimcpcmcpctt22ˆˆˆˆˆˆiimcpcmcpctt22222ˆˆˆˆˆˆmcpcmcpct422322222ˆˆˆˆˆiˆˆcmxmcxxctiiijjii22222222ˆˆˆˆˆi2ˆˆˆˆ1cmxmcxxtciiijiijji0),(),(),(12222222trcmtrtrtcijijji2ˆˆˆˆ0ˆˆˆˆii1ˆ2iiˆˆ†ˆˆ†反对易厄米算符反对易，模为1都是矩阵ˆ,ˆ,ˆ,ˆ321本征值为11ˆ21ˆ2i0ˆˆˆˆiiˆˆˆˆii)ˆˆˆtr()ˆ(trii)ˆtr(i0)ˆ(tri0)ˆ(tr同理都是偶数维的矩阵ˆ,ˆ,ˆ,ˆ321最低为矩阵44取法不唯一，一般取：0ˆˆ0ˆiiiII00ˆ0110ˆ1泡利表象0ii0ˆ21001ˆ1),(),(),(),(),(4321trtrtrtrtr),(),(),(),(),(*4*3*2*1†trtrtrtrtrDirac旋量2332211ˆˆˆˆiimcxxxctˆˆii2mcxctii††2†††ˆˆiimcxctiiˆˆii†2††mcxctii††2†††ˆˆiimcxctiiiixctˆi)(i††定义：†*ˆ†cj则：0jt连续性方程0†狄拉克方程不存在负概率问题二、连续性方程三、Dirac方程的协变形式mcxtciiiˆˆˆi定义：ˆ0γˆˆii2mcxctiiiiγˆˆ0ˆˆ0iiiγIIγ000)(3210,γ,γ,γγγ0i00mcxγxγii狄拉克矩阵费曼符号（FeynmanSlashNotation）矢量算符)ˆ,ˆ(ˆ0AAAAˆAγgAγˆˆAγAγˆˆ003210ˆˆˆˆˆAAAAA特别地xγiixγtcγ0γtcγ0Dirac方程0i00mcxγxγii0)ˆ(mcpγ0)i(mc0)ˆ(mcp四、矩阵的性质（代数）γγˆ0γiiγˆˆ（1）0†0γγ厄米算符††ˆˆiiγ††ˆˆiˆˆiiˆˆiγ反厄米算符（2）νννgγγγγ21)(2γ0γγγγνν0imcγ4γγ2ˆˆˆimcpct（3）00†)(γγγγ0†0)(γγ†00000)(γγγγγ†iγ0γγγγννiiγγγγ00iiiγγγγγγγ0000（4）321055iγγγγγγ定义：055γγγγ由狄拉克矩阵可构成16个线性独立的积四重积：3210γγγγ32105iγγγγγ三重积：γγ5二重积：νγγ一重积：γ零重积：11个4个6个4个1个狄拉克群有16个一维表示和一个四维表示狄拉克矩阵取为矩阵的理由44五、Dirac粒子的自旋0)ˆ(mcp2ˆˆˆimcpct对自由粒子，角动量守恒prLˆˆˆkjiijkijkpreˆˆkjiijkprLeˆˆˆ]ˆˆˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[2mcpcLHL]ˆˆ,ˆ[pcL]ˆˆ,eˆˆ[llkjiijkpcpr]ˆ,ˆˆ[eˆljiklijkpprcjliklijkpprcˆ]ˆ,ˆ[eˆjilklijkpcˆ)i(eˆkjiijkpceˆˆipcˆˆi0轨道角动量不守恒粒子的总角动量中，应包含与轨道角动量无关的成分pcHLˆˆi]ˆ,ˆ[设这部分较动量为Sˆ则应有：pcHSˆˆi]ˆ,ˆ[取ˆ00ˆ2ˆS0ˆˆ0ˆiii2ˆˆˆmcpcHII00ˆIImcppcHjjjj000ˆˆˆˆ0ˆ222ˆˆˆˆmcpcpcmcjjjjˆ00ˆˆˆˆˆ2ˆˆˆˆˆ00ˆ2]ˆ,ˆ[2222mcpcpcmcmcpcpcmcHSjjjjjjjjˆ00ˆˆˆˆˆ2ˆˆˆˆˆ00ˆ2]ˆ,ˆ[2222mcpcpcmcmcpcpcmcHSjjjjjjjjiijjjjjjjjiiimcpcpcmcmcpcpcmcHSˆ00ˆˆˆˆˆ2ˆˆˆˆˆ00ˆ2]ˆ,ˆ[2222iijjijjiijjijjiimcpcpcmcmcpcpcmcˆˆˆˆˆˆˆˆ2ˆˆˆˆˆˆˆˆ222220ˆ)ˆˆˆˆ(ˆ)ˆˆˆˆ(02jijjijijjipcpcjijjiijjipcˆ0)ˆˆˆˆ()ˆˆˆˆ(02jkijkkijkpcˆ0ˆi2ˆi202jkkijkpcˆ0ˆˆ0ikjijkpcˆˆiˆˆi]ˆ,ˆ[pcHSpcˆˆipcHSˆˆi]ˆ,ˆ[pcHLˆˆi]ˆ,ˆ[取狄拉克粒子的总角动量SLJˆˆˆ则0]ˆ,ˆ[HJ守恒量Sˆ是粒子的与轨道角动量无关的角动量，粒子的固有属性粒子的自旋角动量ˆ2ˆ00ˆ2ˆS在Dirac理论中，电子的自旋不再像非相对论量子力学中那样是人为引入的量，而是Dirac方程的自然要求，是在理论中自然出现的。对狄拉克粒子，定义一个新物理量：||ˆˆˆppS||ˆˆ2pp螺旋度（Helicityoperator）||ˆˆ2ˆppHpˆ,ˆˆˆˆ,ˆˆ2mcpcppcpˆ,ˆˆ)ˆˆ)(ˆ()ˆ)(ˆˆ(ppcpcp0ˆˆˆˆ0ˆˆ00ˆˆppppcˆ00ˆˆppppcˆˆ00ˆˆ0ˆˆˆˆ00)