动态和混合态

纯态：可以用希尔伯特空间的一个矢量描写的量子态。混合态：不能用希尔伯特空间的一个矢量描写的量子态。∑==kiiiip1||ˆψψρ11=∑=kiip)ˆˆtr(|ˆˆ|ρρAnAnAn==∑∑=jjijiapW2|||ψ∑=jiiaa||ˆ|ρ∑=nmmnnm,||ˆρρ=nm|ˆ|ρ∑=iiiimnnpm||ψψρ若混合态的参与态是两两正交的ijjiδψψ=|∑==kiiiip1||ˆψψρ=jjjpψψρ||ˆ=jjjpψψρ||ˆ一般：∑==kiiiip1||ˆψψρ厄米算符，本征函数族完备=αααϕρϕρ||ˆαββαδϕϕ=|1||1=∑=αααϕϕ=βααβϕρϕρ|ˆ|=ββαϕρϕ||αββδρ=ρϕϕραααˆ||ˆ1=∑=∑==1||ˆγγγγϕρϕρ密度算符的自然展开若混合态的参与态是两两正交的密度算符在坐标表象中的表示′=′xxxx|ˆ|ρρ∑′=iiiixpx||ψψ对于纯态′=′xxxx|ˆ|ρρ′=xx||ψψ∑⋅⋅′=iiiixpx)()(*ψψ)()(*xxψψ⋅′=),(xx′=ρ对角元)()(*xxxxψψρ⋅=坐标空间的概率密度(密度算符!)动量表象中的纯态′=′pppp|ˆ|ρρ)()(*ppϕϕ⋅′=′=pp||ψψ对角元)()(*ppppϕϕρ⋅=∑==kiiiip1||ˆψψρ1.纯态||ˆψψρ=(1)厄米性ρψψρˆ||ˆ1†==∑=kiiiip但并不是可观测力学量！ρˆ(2)幺迹性1)ˆtr(=ρ证明：)ˆtr(ρ∑=nnn||ψψ∑=nnnψψ||=ψψ|1=(3)幂等性=)ˆtr(2ρ1)ˆtr(=ρ|||ˆ2ψψψψρ=||ψψ=ρˆ=0)1ˆ(ˆ=−ρρ纯态密度算符的本征值只可能是0或1三、密度矩阵的性质(4)正定性（任意态的期待值是非负的）ϕρϕ|ˆ|对任意态ϕ|=ϕψψϕ||2|||=ψϕ0≥2.密度矩阵的性质（混合态）(1)厄米性∑==kiiiip1||ˆψψρ11=∑=kiipρρˆˆ†=(3)幺迹性1)ˆtr(=ρ=)ˆtr(ρ∑∑niiiinpn||ψψ∑∑=niiiipnnψψ||∑=iiiipψψ|1==∑iip(2)正定性(4)对混合态1)ˆtr(2ρ纯态有幂等性1)ˆtr()ˆtr(2==ρρ此性质为系统是纯态还是混合态的判据0|ˆ|≥ψρψ)ˆtr(2ρ∑∑∑=nijjjjiiinppn|||ψψψψ∑∑=ijjijiijppψψψψ||1|||2≠jijiψψ，时∑∑=ijjjiipp2|||ψψ1=∑jjp而所以1|||2=∑∑jjjjjippψψ1)ˆtr(2ρ=1)ˆ(tr1)ˆ(tr22ρρ纯态混合态证明：)ˆˆtr(ρρ⋅=∑===kiiiimnnpmnm1|||ˆ|ψψρρ*nmmnρρ=1)(tr=mnρ∑=nmmnnm,||ˆρρ∑==kiiiimnnpm1||ψψρ∑==kiniimicpc1*=imimcψ|1=∑iip1||2=∑mmic3.密度算符的矩阵元的含义表象=nfnFn||ˆ∑==kiininnpc12||ρpopulation0≠mnρ混合态下出现态与态的相干效应m|n|混合态在量子态的布居n|混合态下测量的的概率nfFˆ解：=+1122|ϕ−=−1122|ϕ||ˆ+++=ϕϕρ−−==−−−111121||ˆϕϕρ=111121()11221122⋅=（1）例：泡利表象中，的两个本征矢量为和。求：（1）电子自旋的本征态的密度矩阵；（2）它们在表象中的密度矩阵。1±=xσxσˆ=+01χ=−10χzσˆ的本征态1±=xσ=′+01|ϕ=′−10|ϕ=′+0001ˆρ=′−1000ˆρ利用表象变换由（1）得出（2）：−=111122ˆU=+1122|ϕ−=−1122|ϕ=−1ˆU−1111221ˆˆˆˆ−++=′SSρρ−⋅⋅−=111122111121111122=0001（2）表象下xσˆ例：设和是电子自旋算符的两个本征态。对下面两个态，求它们的密度矩阵及自旋个分量的平均值。+=−+χχχ|23|21|(1)==−+43|41|21PPχχ(2)解：=+01|χ()xxSSˆˆtrρ===333141||ˆχχρ=−10|χ(1)=2321|χ43=()0ˆˆtr==yySSρ()4ˆˆtr−==zzSSρ⋅=01102333141tr+χ−χzSˆ==−+43|41|21PPχχ(2)∑±==′iiiip||ˆχχρ=+01|χ=300141()xxSSˆˆtrρ=0=()0ˆˆtr==yySSρ()4ˆˆtr−==zzSSρ⋅=01102300141tr=−10|χ+=−+χχχ|23|21|(1)==−+43|41|21PPχχ(2)解：=+01|χ=−10e|iδχ()xxSSˆˆtrρ=||ˆxx=ρ(1)=δχie2321|δcos43=()δρsin43ˆˆtr==yySS()4ˆˆtr−==zzSSρ=−3e3e3141iiδδ⋅=−011023e3e3141triiδδ前面的解0=δ==−+43|41|21PPχχ(2)=+01|χ=−10e|iδχ∑±==′iiiip||ˆχχρ=300141与无关δ()xxSSˆˆtrρ=0=()0ˆˆtr==yySSρ()4ˆˆtr−==zzSSρ⋅=−011023e3e3141triiδδ||ˆχχρ==′χχα|e|iρχχρˆ||ˆ=′′=′=21|ccχ位相的不定性消除=21|ccχ实际上，表象下zSˆ=21i2i1eeδδaa0,021aa=δi21eaa12δδδ−=12221=+aa()*2*121ˆcccc，=ρ=*22*12*21*11cccccccc与相对位相有关==−+222211||aPaPχχ但对混合态：==−+222i211e||aPaPδχχρρ′=ˆˆ电子的极化密度电子的自旋，密度矩阵22×zyxaaaIaσσσρˆˆˆˆ3210+++=σˆ0⋅+=aIa1)ˆ(tr=ρ120=a210=ayzxxaaaaσσσσρˆiˆiˆˆˆ3210+−+=⋅）Iax1(tr)ˆˆ(tr=⋅σρ12a=xxσσρ=⋅)ˆˆ(tr=xaσ1=σˆP设)ˆ(21ˆσρ⋅+=PI−+−+=3212131ii121PPPPPP1)ˆtr(2≤ρ1232221≤++PPP作业Block球四、密度算符的运动方程海森堡绘景中，态矢量不含时间。∑=iiHiiHHp||ˆψψρ与时间无关薛定谔绘景中，密度算符是含时的∑=iiSiiSStptt|)()(|)(ˆψψρ)ˆˆtr(ˆρAA=二绘景下结果相同运动方程∑∂∂=∂∂iiSiiSStptttt|)()(|i)(ˆiψψρ∑∂∂=iiSiiStptt|)()(|iψψ∑∂∂+iiSiiSttpt|)(i)(|ψψ()∑=iiSiiSStptH|)()(|ˆψψ()∑−+iSiSiiSHtptˆ)|()(|ψψHttHSSˆ)(ˆ)(ˆˆ⋅−⋅=ρρ[])(ˆ,ˆtHSρ=[])(ˆ,ˆ)(ˆitHttSSρρ=∂∂∑∂∂=∂∂iiSiiSStptttt|)()(|i)(ˆiψψρ密度算符的运动方程刘维方程(Liouvilleequation)、主方程(Masterequation)]ˆ,ˆ[ˆddiHFFtHHH=海森伯方程[])(ˆ,ˆ)(ˆitHttSSρρ=∂∂力学量平均值随时间的变化)ˆˆtr(SρSAttA⋅∂∂=∂∂)ˆˆtr(ρAA=)ˆˆtr(AtSS⋅∂∂=ρ)ˆ)](ˆ,ˆtr([i1AtHSS⋅=ρ()AHtAtHSSSSˆˆ)(ˆˆ)(ˆˆtri1⋅⋅−⋅⋅=ρρ()AHtHAtSSSSˆˆ)(ˆˆˆ)(ˆtri1⋅⋅−⋅⋅=ρρ()]ˆ,ˆ[)(ˆtri1HAtSS⋅=ρ())(ˆ]ˆ,ˆ[tri1tHASSρ⋅=]ˆ,ˆ[i1HAS=]ˆ,ˆ[iHAAtS=∂∂海森伯绘景下形式不变)ˆˆtr(ρFF=薛定谔绘景下（）与时间无关ASˆ五、约化密度矩阵设系统由1、2两部分组成⊗nmηξ||系统的纯态可写为∑⊗=mnnmmncηξψ|||1||2=∑mnmnc系统的密度矩阵∑==kiiiip1||ˆψψρ11=∑=kiip当然也是整个系统的力学量)1(ˆF设是只与子系统1有关的力学量)1(ˆF整个系统的一组基矢可取为{}{}=nmmnηξϕ|||子系统2的一组基矢{}nη|子系统1的一组基矢{}mξ|∑==kiiiip1||ˆψψρ∑===kiniiimmmnmp1,||||||ˆ||βαβαβαηξψψηξηξρηξρ对基矢组{}{}=nmmnηξϕ|||||||||||ˆ,1ββαβααηξηξψψηξηξρ=∑∑=nnmkiniiimmp||||,1,ββαβααηξρηξ=∑∑=nnmkinmm())1()1(ˆˆtrFFρ=∑′′′′′′=αααηξρηξmmmF||ˆˆ||)1(∑∑′′′′′′=ααααααηξρηξηξηξmmmmmmF||ˆ||||ˆ||)1(∑∑′′′=mmmmmmFαααξηρηξξξ||ˆ|||ˆ|)1(∑∑′′′=mmmmmmFFαααξηρηξξξ||ˆ|||ˆ|)1()1(∑=αααηρηρ|ˆ|ˆ)1(定义：)ˆ(tr)2(ρ=对子系统2的基矢取迹子系统1空间的算符，子系统1的约化密度算符。∑′′′=mmmmmmFFξρξξξ|ˆ||ˆ|)1()1()1(∑=mmmFξρξ|ˆˆ|)1()1(())1()1((1)ˆˆtrρF=子系统1中的关系。对纯态||||||||ˆ,ββαβααηξηξψψηξηξρ=∑nnmnmm=′′′∑∑αβαβαβαααηηξηξψψηξηξηρ||||||||ˆ,)1(nnmnmm||||||,nnmnmmξηξψψηξξααα=∑||,*nnmnmmccξξααα=∑∑形式与混合态密度矩相同解：=101221|ψ||ˆψψρ=()1012101241⋅==101200001012202241例：有一个由一个电子和一个质子构成的双粒子系统。在两粒子的自旋空间，其非耦合表象的基矢可由两粒子自旋基矢的直