密度矩阵线性谐振子的相干态

§1线性谐振子的相干态第2章密度矩阵一、湮灭算符的本征态)ˆiˆ(2ˆ†pxaµωα−=线性谐振子)ˆiˆ(2ˆpxaµωα+=设=zzza||ˆaaNˆˆˆ†==nnnN||ˆ占有数表象=∑∞=ncznn||0=∑∞=naczann|ˆ|ˆ0−=∑∞=1|1nncnn+=∑∞=+nncnn|101=∑∞=nzcnn|0−=1||ˆnnna++=1|1|ˆ†nnna湮灭算符产生算符=+∑∑∞=∞=+nzcnncnnnn||1001zcncnn=++11nncnzc11+=+01!cnzcnzcnnn==−=∑∞=ncnzznn|!|00归一化1|=zz∑∑∞=∞=ncnzmcmznnmm|!|!000*0*1|||!!2000*=∑∑∞=∞=nmcnzmzmnnm1|||!!2000*=∑∑∞=∞=nmcnzmzmnnm1||!||0202=∑∞=nncnz1||e20||2=⋅cz2||210ezc−==∑∞=−nnzznnz|!e|0||212Glauber相干态二、相干态的性质1.=−0|ee|†2ˆ||21azzz=∑∞=0|)ˆ(!10|e†0ˆ†nnazazn=∑∞=0|)ˆ(!1†0nnnazn=∑∞=nznnn|!10=∑∞=0|)ˆ(!10|e†0ˆ†nnnazazn=∑∞=nnznnn|!!10=∑∞=−−nznnnzazz|!1e0|ee0||21ˆ||212†2=z|2.不是粒子数算符本征态，但在态下，平均粒子数是确定的z|Nˆz|=zNzn|ˆ|=zaaz|ˆˆ|†=zzzz||*2||z==zzza||ˆ3.但在态下，（）的本征态出现的概率：Nˆz|Hˆ∑==0||nnncz!e2||21nzcnzn−=!||e||2||22nzcPnznn−==!)(e2nnn−=泊松分布4.位置分布的概率)ˆˆ(21ˆ†aax+=αaxaˆˆ2ˆ†−=α=xxxx||ˆxαξ==−0|ee||†2ˆ||21azzxzx=−−0|ee|ˆˆ2||212azxzzxα=−−0|ee||ˆˆ2||212azxzzxzxα]ˆ,ˆˆ[]ˆ,ˆ2[†azazazazxz−+=−α]ˆ,ˆ[†2aaz−=2z=221ˆˆ2ˆˆ2eeeezazxzazxz−−−=αα=−−−0|ee|ee|ˆˆ221||2122azxzzzxzxα=−−0|e|eˆ221||2122xzzzxα=−−0|ee221||2122xzxzzα2221410eπ)(0|xxxαµωϕ−==22221221||2141eeeeπ|ξξµωξ−−−=zzzz2222(2121||2141eeπ）zξzz−−+−=µω形状相似高斯分布ϕρie=z设位置分布的概率221221||21412222eeπ|ξξµωξ−−−=zzzzϕξρϕρρµωcos222cos21222eeπ+−−−=ξϕξρϕρµωcos22cos221222eeπ+−−=ξ2)cos2(21eπϕρξµω−−=2)cos||2(21eπϕξµω⋅⋅−−=zϕϕξρρρµωξi22i22e221e2121212eeπ|+−−−=ξzϕϕξρρρi22i22e221e2121ee−−+−−−⋅ξ2)cos||2(212eπ|ϕξµωξ⋅⋅−−=zz2221410eπ)(0|xxxαµωϕ−==而基态2eπ0|212ξµωξ−=形状、大小相同，整体位置移动。5.相干态都是最小不确定态+==zaazzxzx||2|ˆ|†21µω)(2*21zz+=µω)(2*21zzx+=µω−==zaazzpzp||2i|ˆ|†21µω)(2i*21zz−=µω+⋅==zaazzxzx|)(|2|ˆ|2†22µω()1)(22*++=zzµω−⋅−==zaazzpzp|)(|2|ˆ|2†22µω()1)(22*−−⋅−=zzµω6.不同z值的相干态一般不正交=α||1z设，=β||2z=ααα||ˆa=βββ||ˆa⋅=−−0|eeee|0|†2*2ˆ||21ˆ||21aaββααβα⋅=−−0|ee|0ee†*22ˆˆ||21||21aaβαβα()1)(22*2++=zzxµω()1)(22*2−−⋅−=zzpµω)(2*21zzx+=µω)(2i*21zzp−=µω222)(xxx−=∆µω2=222)(ppp−=∆2µω=22241)()(=∆⋅∆px最小不确定态最接近经典的量子态⋅=−−0|ee|0eee|ˆˆ||21||21*†*22aaαββαβαβαβααβ*22||21||21e+−−=一般不等于零7.有限个相干态是线性无关的任意m个相干态kz|∑==mkkkzd0||ξ设：0|0=∑=mkkkzzd0|=ξ若：⋅=−−0|ee|0ee|†*22ˆˆ||21||21aaβαβαβαβαβα*†*]ˆ,ˆ[=aaCABCBABAeˆ21ˆˆˆ21ˆˆˆˆeeeeee==−+CABBAˆˆˆˆˆeeeee=8.全部相干态是线性相关的0|0=∑=mkkkzzdkkzzzzkzz*22||21||21e|+−−=z的函数，对不同zk线性无关。所以：0=kdmk,,3,2,1=m个相干态线性无关kz|ϕρiez=设：ϕρρddd2⋅=z∫⋅⋅zzzm2d|∫∫∑∞+++−∞==0π20)i(1210dede|!12ϕρϕρnmnmnρnn对任意m值：=∑∞=−nnzznnz|!e|0||2129.全部相干态是完备的ϕρηξiiez=+=设：ϕρηξ,,,实数ϕρρηξddddd2⋅=⋅=z∫⋅zzz2d||=∑∞=−nnzznnz|!e|0||212∫⋅⋅zzzm2d|∫∫∑∞+++−∞==0π20)i(1210dede|!12ϕρϕρnmnmnρnn0deπ20)i(=∫+ϕϕnm0d|2=⋅⋅∫zzzm全体相干态是线性相关的。∫∫∑∞−+−∞⋅⋅=0)(iπ20,eedd|!!12ϕρρϕρρnmnmnmnmnm∫∫∑∫∞−+−∞⋅⋅=⋅0)(iπ20,2eedd|!!1d||2ϕρρϕρρnmnmnmnmnmzzzmnnmδϕϕπ2ed)(iπ20=⋅−∫!21ed0122nn=⋅∫∞+−ρρρπ||πd||2==⋅∑∫nnnzzz1d||π12=⋅∫zzz完备的全体相干态是线性相关的，又是完备的。超完备性！三、相干态表象全部相干态是完备的=zzza||ˆ{}z|相干态表象{}z|相干态表象对任意态ψ|∫⋅=zzz2d||π1|ψψ∑=nnnzzψψ|||=∑∞=−mmzzmmz|!e|0||212=∑∞=−nmmznzmnmz|!)(e|0,*||212∑∞=−=0*||21!)(e2nnznz=∑∞=−ψψ|!)(e|0*||212nnzznnz在相干态上的展开系数ψ|z|∫⋅=zzz2d||π1|ψϕψϕ态矢量的标积=∑∞=−ψψ|!)(e|0*||212nnzznnz力学量的矩阵元′′⋅′=′∑∞=′′′−−nAnnnzzzAznnnnzz|ˆ|!!)()(ee|ˆ|0,*||21||2122),(ee*||21||2122zzAzz′=′−−′′⋅′=′∑∞=′′nAnnnzzzzAnnnn|ˆ|!!)()(),(0,**代数关系∫′⋅′′=zzzBzz2d||ˆ|π1|ψϕ=ψϕ|ˆ|B)(zψ=∫⋅=zzz2*d)()(π1ψϕ∫′⋅′′=zzzBzz2d||ˆ|π1|ψϕ∫′⋅′′=zzzBzz2d)(|ˆ|π1)(ψϕ相干态表象下的产生与湮灭算符设=ψϕ|ˆ|†a=ψϕ|ˆ||†azz=zzza||ˆ因为=ψϕ||*zzz所以)()(*zzzψϕ==ψϕ|ˆ|†a=ψψ||ˆ*†za即或)()(ˆ*†zzzaψψ=相干态表象下，是一个相乘算符†ˆa*†ˆza=zzzzzz′+′−−=′*22||21||21e|又′′=′zzzzaz||ˆ|zzzzz′+′−−′=*22||21||21e′∂∂+=zzzz|)2(*湮灭算符的矩阵元=ψϕ|ˆ|a若=ψϕ|ˆ||azz∫′⋅′′=zzzaz2d||ˆ|π1ψ∫′⋅′′∂∂+=zzzzzz2*d||)2(π1ψ∂∂+=ψ|)2(*zzz∂∂+=ψϕ|)2(|*zzzz)()2()(*zzzzψϕ∂∂+==ψϕ|ˆ|a*†ˆza=)2(ˆ*zza∂∂+=相干态表象下的湮灭与产生算符四、压缩态1.位移算符=−0|ee|†2ˆ||21azzz=−−0|eeeˆˆ||21*†2azazz=−0|eˆˆ*†azazazazzDˆˆ*†e)(ˆ−=设=0|)(ˆ|zDz则