相对论量子力学

第5章相对论量子力学符号与约定四维时空：)3,2,1,0(,x矢量的逆变分量四维矢量：3210xxxxx*3*2*1*0†*)(,)(,)(,)(~xxxxxxzyxct有时也写成：rctrxx,,0),,,(~3210xxxxx3210xxxxxzyxct(与原点的)间隔222222zyxtcS3210xxxx)3,2,1,0(,x矢量的协变分量时间t空间),,(zyxr写法而已，坐标为实变量。rctx,1000010000100001g度规张量3210xxxxgg3210xxxxg3210xxxxνννxgxxgxννxg爱因斯坦惯例：重复指标求和希腊字母1~4拉丁字母1~3时空间隔xxS233221100xxxxxxxx)(22222zyxtcννxgxS2gxxS~2指标的升降),(pcEpzyxpppcEppppp/3210四动量：),(pcEp有时也写成：zyxpppcEppppp/32103210pppp两矢量的标量积zyxaaaaaaaaa03210),(0aaazyxbbbbbbbbb03210),(0bbba、b的标量积babababa00标量、洛伦兹变换下的不变量对四动量pppppppp00222pcE22cm42222cmcpE狭义相对论能量动量关系梯度),,(zyxx),1(tc),1(tcxννννxggxxx22221tc达朗伯算符如：电磁场的四维势),(AA而电磁场张量则为AAF正常洛伦兹变换ννxxxx间隔不变xxxxgxxxgx~~22SSννννxgxxgxννννxgxxgxgxxxgx~~~gg~1detg因为1det正常洛伦兹变换1det齐次洛伦兹变换群转置对称，16个方程中只有10个独立正常洛伦兹变换群是一个6参数的矩阵群彭加勒群（Poincarégroup）、洛伦兹群正常洛伦兹变换群是一个6参数的矩阵群两坐标系的相对取向三个参数（如欧拉角）两参照系的相对运动方向三个参数（如速度的三个分量）若“运动”参照系中坐标轴取向与“静止”系相同，“运动”系沿z轴以速度相对“静止”系运动：v只有一个独立参数，四维空间的“定轴转动”。cosh00sinh01000010sinh00coshcvtanhγc2)/(11coshvγsinh32103210000100001000xxxxγγγγxxxx11ln21粒子的快度§1Klein-Gordan方程一、方程的引入mpE22tEiiˆpp),(2),(i22trmtrt自由粒子的薛定谔方程推广42222cmcpE),()(),(42222222trcmctrt22221tcKlein-Gordan方程0),(),(),(12222222trcmtrtrtc),1(tcx0),(),(222trcmtr不满足洛伦兹协变要求取iˆp)ˆ,i1()i,i(ptctc22cmpp22ˆˆpp0),(),(ˆˆ22trcmtrpp方程有平面波解)iiexp()(iexp),(trkAEtrpAtrkpE方程的几种写法0),(),(),(12222222trcmtrtrtc0),(),(222trcmtr0),(),(222trcmtr0),(),(ˆˆ22trcmtrpp二、面临的问题0),(),(222trcmtr42222cmcpE)(iexp),(EtrpAtr4222cmcpE（1）“负能解”问题E跃迁不断进行，系统崩溃！（2）概率解释问题0),(),(222*trcmtr0),(),(*222*trcmtr0),(),(*222*trcmtr0),(),(**trtr0j**AjA：任意常数**Aj概率流密度ttmc**2i0jt连续性方程的形式。概率密度?tctcAj**011**AjmA2i**2imc0jttmc**22i（3）状态的描写方式问题Klein-Gordan方程中，对时间是二阶导数。完全描写体系的状态？),(tr（4）对氢原子，解与实验结果不符概率守恒定律?三、非相对论极限下的Klein-Gordan方程4222cmcpE212222)1()(cmpmcmpmc222非相对论cv222cmp)(iexp),(EtrpAtrtmpmcrpA)2(iiexp22tmctr2ie),(0),(),(),(12222222trcmtrtrtctmctrmcttrtrt2i2e),(i),(),(tmcttrmcttrtrt2i22222e),(i),(),(tmctrmcttrmc2i22e),(i),(itmctrcmttrmcttr2i242222e),(),(2i),(kEmc2tmctrcmttrmcttrtrt2i24222222e),(),(2i),(),(),(),(),(i2trmctrEttrktmctrcmttrmctrt2i242222e),(),(2i),(tmctrtr2i22e),(),(0),(),(),(12222222trcmtrtrtc0eee2i222i222i2i222tmctmctmccmcmtm0ee2i22i2itmctmctm222imt自由粒子非相对论薛定谔方程**2imjttmc**22i与薛定谔理论中相同tmctrmcttrtrt2i2e),(i),(),(tmctmctmctmcmcmcmc2222i*2ii2i*2e)i(ee)i(e2i2imcttmctrmc2i2e),(i*222i2imcmc**与薛定谔理论概率密度的定义形式相同tmctrmctrt2i*2*e),(i),(tmctrtr2ie),(),(四、正能解和负能解0),(),(222trcmtr)(iexp),(EtrpAtr42222cmcpE),(),(itrEtrtttmc**22i*2mcE4222cmcpE这里，负能量与负概率表现出相关性。负概率与负能量不同，前者源于对时间的二阶导数；后者源于相对论能量动量关系，在相对论性波动方程中普遍存在。一方面：找到了一个洛伦兹协变的Klein-Gordan方程。另一方面：量子力学基本原理经过实验检验，面临困境。“貌似合理”状态的描写、概率解释等问题1936，Pauli和Weisskopf：Klein-Gordan方程本质上不是单粒子方程，应视为自旋为零的标量粒子的场方程。对场方程进行量子化处理，将态函数（c数）转换成量子力学中的算符（q数）。0),(),(),(12222222trcmtrtrtcktkbtkaAtrrkrkde),(e),(),(i*i解为，其傅里叶展开为),(tr无穷多个谐振子（自由度），“粒子化”。带回原方程，得0)(dd2422222acmkcta0)(dd*242222*2bcmkctb),(trKlein-Gordan方程是场方程，要描写粒子性，需离散化（量子化、二次量子化）ktkbtkaAtrrkrkde),(e),(),(i*i二次量子化krkkrkkktbtaAtri†ie)(ˆe)(ˆ),(ˆttmcq**22i)()(ˆ),(ˆ†kktatakk)()(ˆ),(ˆ†kktbtbkk由此，应该将Klein-Gordan方程视为场方程，而不是简单地视作单粒子方程就是场粒子的电荷密度，负概率的困难不复存在了。但至此，负能量的问题尚未解决。反粒子的产生算符)(ˆ†tbk粒子的湮灭算符)(ˆtak