量子力学平行等价表示

)(ˆ)(ˆˆ)(ˆˆ†tFtUFtUF′==′=′ψψ|)(ˆ|tU绘景量子力学平行、等价的表示薛定谔绘景海森伯绘景),(ˆ),(ˆˆ00†ttUttUU====)(|)()|,(ˆ)(|00†ttttUtSSHψψψ),(ˆˆ),(ˆˆ00†ttUFttUFSH=]ˆ,ˆ[)ˆ(iˆddiHFtFFtHHSHH+∂∂=相互作用绘景=∂∂)(|)(|itHttSSSψψ)(ˆˆˆ10tHHHSSS+=0ˆi00e),(ˆˆHtttUU−===)(|e)(|0ˆittSHtIψψ00ˆiˆieˆeˆHtSHtIFF−==∂∂)(|)(|i1tHttIIIψψ]ˆ,ˆ[)ˆ(iˆddi0HFtFFtIII+∂∂=222ˆ212ˆˆxpHωµµ+=例题：谐振子求海森堡绘景下坐标算符与动量算符。解：tHtHHxxˆiˆieˆeˆ−=tHtHHppˆiˆieˆeˆ−=tptxxHωµωωsinˆcosˆˆ+=txtppHωµωωsinˆcosˆˆ−=利用运动方程求解：]ˆ,ˆ[ˆddiHFFtHH=]ˆ,ˆ[!1eˆe)(0ˆˆBAiBiiAA∑∞=−=]ˆ,ˆ[ˆddiHxxtHH=]ˆ,ˆ[ˆddiHpptHH=]ˆ212ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[222xpxHxHHHH⋅+=µωµµpHxHHˆi]ˆ,ˆ[=i]ˆ,ˆ[=pxHHxHpHHˆi]ˆ,ˆ[2⋅−=µω经典哈密顿正则方程qHppHq∂∂−=∂∂=,海森伯方程]ˆ,ˆ[ˆddiHxxtHH=)ˆ(ˆi)]ˆ(,ˆ[pfppfx∂∂=222ˆ212ˆˆxpHωµµ+=pHHˆi∂∂=xHptpHxtHHHHˆˆˆdd,ˆˆˆdd∂∂−=∂∂=µpxtHHˆˆdd=xptHHˆˆdd2⋅−=µω与经典正则方程形式相同tBtAxHωωsincosˆ+=tAtBpHωµωωµωsincosˆ−=0=t时xtxHˆ)0(ˆ==ptpHˆ)0(ˆ==tptxxHωµωωsinˆcosˆˆ+=txtppHωµωωsinˆcosˆˆ−=tpxtHHdˆd1ˆdd22µ=)ˆ(12xH⋅−=µωµ0ˆˆdd222=⋅+xxtHHω02=+xxω经典简谐振动2220ˆ212ˆˆxpHωµµ+=例题：谐振子处于的第n个本征态0ˆHnnnEnHnω)21(ˆ)0(0+==t=0时刻，突然给系统加上微扰xHˆˆε=′HHH′+=ˆˆˆ0求t时刻系统能量取值及相应概率。解：ωω)21ˆ()ˆˆˆˆ(21ˆ††0+=+=NAAAAH)ˆˆ(ˆ†AAH+=′βωµεβ21=mnmmEωδ)21()0(+=)(ˆ)(itψHtt=∂∂ψitattEiinie)()(−∑=ψ微扰近似求解：tEiititaie)()(ψ=iHmHmi′=′ˆ)1(,1,1imimmm+−++=δδβ)(||e)(dd0)(itaiHmtatiitEEmim′=∑=−在表象下()的表示0ˆH)(tψmiAAmHmi)ˆˆ(†+=′β薛定谔方程在表象下的表示0ˆH反复迭代。逐级近似求解（一）薛定谔绘景)1(,1,1imimmimmH+−++=′δδβ[])(e1)(ei)(dd1i1itamtamtatmtmtm+−−++−=ωωβ零级近似[]))e1(1)1e()(,1i,1i)1(nmtnmtmnmmmta+−−−++−−=δδωβδωωnmmnmta,)0(|)(δ==)(||e)(dd0)(itaiHmtatiitEEmim′=∑=−忽略微扰，即视0ˆ→′H0)(dd)0(=tatm一级近似[])(e1)(ei)(dd)0(1i)0(1i)1(tamtamtatmtmtm+−−++−=ωωβ[]nmtnmtmm,1i,1ie1ei+−−++−=δδβωω高级近似[])(e1)(ei)(dd)1(1i)1(1i)(tamtamtatkmtkmtkm−+−−−++−=ωωβ（二）海森堡绘景+=mmmH|)21(|ˆ0ω++=1|1|ˆ†mmmAS−=1||ˆmmmAS=mtmtHH|e)(|ˆi()=0|ˆ!1|†mSAmm表象0ˆH薛定谔绘景下海森堡绘景下()=)(0|)(ˆ!1)(|†ttAmtmHmHH→)(||tmmH态矢量不随时间变化===nttSH|)0(|)(|ψψ22)0()()()(ntmttmPHHHHm==ψ=)0(|nHt时刻处于第m个本征态()的概率ω)21(+=mEm]ˆ,ˆ[)ˆ(iHAAtHH=∂∂]ˆ,ˆ[]ˆˆ,ˆ[††AAAAAHHHHHβω−=βω+=AHˆ]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[0HAHAHH′+=[])()0(ˆeˆitfAAHtH+=−ω[]1e)(i−−=ttfωωβ湮灭算符不是力学量，为什么会满足海森堡方程？[])()0(ˆeˆitfAAHtH+=−ω[]1e)(i−−=ttfωωβ())(0)(ˆ)0(!1)()0(†ttAnmtmnHmHHHH=())(0)0(ˆ)0(0!1)(0)0(tAntnHnHHHH=()=)(0|)(ˆ!1)(|†ttAmtmHmHH[])()0(ˆe)(ˆitfAtAHtH+=−ω())(0)()(ˆe)0(0!1)(0)0(ittftAntnHnHtHHH−=ω())(0)0(0)(!1ttfnHHn−=())(0)0(0)(!1)(0)0(ttfntnHHnHH−=1)(0)(0=ttHH())(0)0()0()(0tmmtHHHmH∑=()∑=mHHnttfm22)(0)0(0)(!12)()(0)0(0e2tHHtf=()2)(21e)(!1)(0)0(tfnHHtfntn−−=())(0)(ˆ)0(!1)()0(†ttAnmtmnHmHHHH=[])()0(ˆe)(ˆitfAtAHtH+=−ω())(0)(ˆ)0(!1)()0(†ttAnmtmnHmHHHH=[])()0(ˆe)(ˆitfAtAHtH+=−ω())(0)()0(ˆe)0(!1)()0(*†ittfAnmtmnHmHtmHHH+=ω()())(0)0(ˆ)()!(!!)0(e!1†*itAtfimimnmHimHmiiHtm−∑−=ω())0]([!!)0()0(ˆimnimnnnAHHimH+−+−=−nim−())0]([!!)0(ˆ)0(†imnimnnAnHimHH+−+−=−∑∑=→miimi0)()(≥−=nmnmnmi,0,0∑=−−−+−−⋅−=miiimntftimHHtfimnimimtfmntmn02]|)(|[)!()!(!!)]([e!!e)()0(2)|(|21ω≥−=nmnmnmi,0,0())(0)0]([)!(!)()!(!!e!10*itimnimnntfimimmHHmiiitm+−+−⋅−=∑=ω()())(0)0(ˆ)()!(!!)0(e!1)()0(†*itAtfimimnmtmnHimHmiiHtmHH−∑−⋅=ω()2)(21e)(!1)(0)0(tfnHHtfntn−−=（三）相互作用绘景′=∂∂)()(|itHttIIIψψ]ˆ,ˆ[ˆi0HFFtII=∂∂==ntUtUtII|)0,(ˆ)0()|0,(ˆ)(|IIψψ∑∫∫∫∫∞=′′′+=−12I1321I0102010)(ˆ)(ˆ)(ˆdddd)i1(1)0,(ˆnttnIIttttttnntHtHtHtttttUn∫∫∫′′+′+≈tttIItIttHttHttH00221120111)d(ˆ)d(ˆ)i1()d(ˆi11=)()|0,(ˆ|†0ttUSIψψ0ˆi0e)0,(ˆHttU−=00ˆiˆieˆeˆHtSHtIFF−=)0,(ˆtUI时间演化算符0†0ˆˆˆˆUHUHSI′=′00ˆiˆieˆeHtSHtH−′=CCBˆˆeˆeξξ−=]ˆ,ˆ[!1eˆe)(0ˆˆBAiBiiAA∑∞=−=tωξi=21ˆˆˆ†+=AAC)ˆˆ(ˆˆ†AAHBS+=′=βBBCˆ]ˆ,ˆ[)0(=]ˆ,ˆ[)1(BC[]]ˆ,ˆ[,ˆ]ˆ,ˆ[)()1(BAABAnn=+)ˆˆ(†AA−=βBBCˆ]ˆ,ˆ[)2(=)ˆˆ(]ˆ,ˆ[†)3(AABC−=β……………………BBCmˆ]ˆ,ˆ[)2(=)ˆˆ(]ˆ,ˆ[†)12(AABCm−=+β]ˆ,ˆ[!ˆ)(0BCiHiiiI∑∞==′ξ+−+++−++=)(!3)(!2)()(†3†2††AAAAAAAAξξξβ)ee(ii†ωtωtAA−+=β[]−−−+−−+−+−+−+++−−−+−+−=−−−2)1e(2)1(i)ee(21)cos1)(12(2)1e(2)2)(1(1)1e(1)1e(1|)(|2iii2i22iinnnnttnnnnnnnnntttttttIωωωωωωωωωβωβψ∫∫∫′′+′+≈=tttIItIttHttHttHtU0022112011I1)d(ˆ)d(ˆ)i1()d(ˆi11)0,(ˆ)ee()(ˆii†ωtωtIAAtH−+=′β==ntUtUtII|)0,(ˆ)0()|0,(ˆ)(|IIψψ能量取的概率幅ω)21(+=mEm)(|tnIψ