中央电大高等数学基础形成性考核册解析

高等数学基础作业1第1章函数第2章极限与连续（一）单项选择题⒈下列各函数对中，（C）中的两个函数相等．A.2)()(xxf，xxg)(B.2)(xxf，xxg)(C.3ln)(xxf，xxgln3)(D.1)(xxf，11)(2xxxg分析：判断函数相等的两个条件（1）对应法则相同（2）定义域相同A、2()()fxxx，定义域|0xx；xxg)(，定义域为R定义域不同，所以函数不相等；B、2()fxxx，xxg)(对应法则不同，所以函数不相等；C、3()ln3lnfxxx，定义域为|0xx，xxgln3)(，定义域为|0xx所以两个函数相等D、1)(xxf，定义域为R；21()11xgxxx，定义域为|,1xxRx定义域不同，所以两函数不等。故选C⒉设函数)(xf的定义域为),(，则函数)()(xfxf的图形关于（C）对称．A.坐标原点B.x轴C.y轴D.xy分析：奇函数，()()fxfx，关于原点对称偶函数，()()fxfx，关于y轴对称yfx与它的反函数1yfx关于yx对称，奇函数与偶函数的前提是定义域关于原点对称设gxfxfx，则gxfxfxgx所以gxfxfx为偶函数，即图形关于y轴对称故选C⒊下列函数中为奇函数是（B）．A.)1ln(2xyB.xxycosC.2xxaayD.)1ln(xy分析：A、22ln(1)ln1yxxxyx，为偶函数B、coscosyxxxxxyx，为奇函数或者x为奇函数，cosx为偶函数，奇偶函数乘积仍为奇函数C、2xxaayxyx，所以为偶函数D、ln(1)yxx，非奇非偶函数故选B⒋下列函数中为基本初等函数是（C）．A.1xyB.xyC.2xyD.0,10,1xxy分析：六种基本初等函数（1）yc（常值）———常值函数（2）,yx为常数——幂函数（3）0,1xyaaa———指数函数（4）log0,1ayxaa———对数函数（5）sin,cos,tan,cotyxyxyxyx——三角函数（6）sin,1,1,cos,1,1,tan,cotyarcxyarcxyarcxyarcx——反三角函数分段函数不是基本初等函数，故D选项不对对照比较选C⒌下列极限存计算不正确的是（D）．A.12lim22xxxB.0)1ln(lim0xxC.0sinlimxxxD.01sinlimxxx分析：A、已知1lim00nxnx2222222211limlimlim1222101xxxxxxxxxxxB、0limln(1)ln(10)0xx初等函数在期定义域内是连续的C、sin1limlimsin0xxxxxxx时，1x是无穷小量，sinx是有界函数，无穷小量×有界函数仍是无穷小量D、1sin1limsinlim1xxxxxx，令10,txx，则原式0sinlim1ttt故选D⒍当0x时，变量（C）是无穷小量．A.xxsinB.x1C.xx1sinD.2)ln(x分析；lim0xafx，则称fx为xa时的无穷小量A、0sinlim1xxx，重要极限B、01limxx，无穷大量C、01limsin0xxx，无穷小量x×有界函数1sinx仍为无穷小量D、0limln(2)=ln0+2ln2xx故选C⒎若函数)(xf在点0x满足（A），则)(xf在点0x连续。A.)()(lim00xfxfxxB.)(xf在点0x的某个邻域内有定义C.)()(lim00xfxfxxD.)(lim)(lim00xfxfxxxx分析：连续的定义：极限存在且等于此点的函数值，则在此点连续即00limxxfxfx连续的充分必要条件00000limlimlimxxxxxxfxfxfxfxfx故选A（二）填空题⒈函数)1ln(39)(2xxxxf的定义域是|3xx．分析：求定义域一般遵循的原则（1）偶次根号下的量0（2）分母的值不等于0（3）对数符号下量（真值）为正（4）反三角中反正弦、反余弦符号内的量，绝对值小于等于1（5）正切符号内的量不能取0,1,22kk然后求满足上述条件的集合的交集，即为定义域)1ln(39)(2xxxxf要求2903010xxx得3331xxxx或－求交集3－1－3定义域为|3xx⒉已知函数xxxf2)1(，则)(xfx2-x．分析：法一，令1tx得1xt则22()11fttttt则2fxxx法二，(1)(1)111fxxxxx所以()1fttt⒊xxx)211(lim．分析：重要极限1lim1xxex，等价式10lim1xxxe推广limxafx则1lim(1)fxxaefxlim0xafx则1lim(1)fxxafxe1122211lim(1)lim(1)22xxxxexx⒋若函数0,0,)1()(1xkxxxxfx，在0x处连续，则ke．分析：分段函数在分段点0x处连续000limlimxxxxfxfxfx00100limlim0limlim1xxxxxfxxkkkfxxe所以ke⒌函数0,sin0,1xxxxy的间断点是0x．分析：间断点即定义域不存在的点或不连续的点初等函数在其定义域范围内都是连续的分段函数主要考虑分段点的连续性（利用连续的充分必要条件）0000limlim1011limlimsin0xxxxfxxfxx不等，所以0x为其间断点⒍若Axfxx)(lim0，则当0xx时，Axf)(称为0xx时的无穷小量．分析：000lim(())lim()lim0xxxxxxfxAfxAAA所以Axf)(为0xx时的无穷小量（三）计算题⒈设函数0,0,e)(xxxxfx求：)1(,)0(,)2(fff．解：22f，00f，11fee⒉求函数21lgxyx的定义域．解：21lgxyx有意义，要求2100xxx解得1020xxx或则定义域为1|02xxx或⒊在半径为R的半圆内内接一梯形，梯形的一个底边与半圆的直径重合，另一底边的两个端点在半圆上，试将梯形的面积表示成其高的函数．解：DAROhEBC设梯形ABCD即为题中要求的梯形，设高为h，即OE=h，下底CD＝2R直角三角形AOE中，利用勾股定理得2222AEOAOERh则上底＝2222AERh故2222222hSRRhhRRh⒋求xxx2sin3sinlim0．解：000sin3sin33sin3333limlimlimsin2sin2sin22222xxxxxxxxxxxxxxx＝133122⒌求)1sin(1lim21xxx．解：21111(1)(1)111limlimlim2sin(1)sin(1)sin(1)11xxxxxxxxxxx⒍求xxx3tanlim0．解：000tan3sin31sin311limlimlim3133cos33cos31xxxxxxxxxxx⒎求xxxsin11lim20．解：22222200011(11)(11)limlimlimsin(11)sin(11)sinxxxxxxxxxxxx020lim0sin111(11)xxxxx⒏求xxxx)31(lim．解：1143331111(1)[(1)]1lim()lim()limlim33311(1)[(1)]3xxxxxxxxxxxexxxexexxx⒐求4586lim224xxxxx．解：2244442682422limlimlim54411413xxxxxxxxxxxxx⒑设函数1,111,1,)2()(2xxxxxxxf讨论)(xf的连续性，并写出其连续区间．解：分别对分段点1,1xx处讨论连续性（1）1111limlim1limlim1110xxxxfxxfxx所以11limlimxxfxfx，即fx在1x处不连续（2）221111limlim2121limlim111xxxxfxxfxxf所以11limlim1xxfxfxf即fx在1x处连续由（1）（2）得fx在除点1x外均连续故fx的连续区间为,11,高等数学基础作业2第3章导数与微分（一）单项选择题⒈设0)0(f且极限xxfx)(lim0存在，则xxfx)(lim0（C）．A.)0(fB.)0(fC.)(xfD.0cvx⒉设)(xf在0x可导，则hxfhxfh2)()2(lim000（D）．A.)(20xfB.)(0xfC.)(20xfD.)(0xf⒊设xxfe)(，则xfxfx)1()1(lim0（A）．A.eB.e2C.e21D.e41⒋设)99()2)(1()(xxxxxf，则)0(f（D）．A.99B.99C.!99D.!99⒌下列结论中正确的是（C）．A.若)(xf在点0x有极限，则在点0x可导．B.若)(xf在点0x连续，则在点0x可导．C.若)(xf在点0x可导，则在点0x有极限．D.若)(xf在点0x有极限，则在点0x连续．（二）填空题⒈设函数0,00,1sin)(2xxxxxf，则)0(f0．⒉设xxxfe5e)e(2，则xxfd)(lndxxx5ln2．⒊曲线1)(xxf在)2,1(处的切线斜率是21k⒋曲线xxfsin)(在)1,4π(处的切线方程是)41(2222xy⒌设xxy2，则y)ln1(22xxx⒍设xxyln，则yx1（三）计算题⒈求下列函数的导数y：⑴xxxye)3(xxexexy212323)3(⑵xxxylncot2xxxxyln2csc2⑶xxyln2xxxxy2lnln2⑷32cosxxyx4)2(cos3)2ln2sin(xxxxyxx⑸xxxysinln2xxxxxxxy22sincos)(ln)21(sin⑹xxxylnsin4xxxxxylncossin43⑺xxxy3sin2xxxxxxxy2233ln3)(sin)2(cos3⑻xxyxlntanexxexeyxx1costan2⒉求下列函数的导数y：⑴21exy2112xxeyx⑵3coslnx