数学建模算法与应用综合评价与决策方法

基础部数学教研室第14章综合评价与决策方法数学建模算法与应用基础部数学教研室3/116数学建模评价方法大体上可分为两类，其主要区别在确定权重的方法上。一类是主观赋权法，多数采取综合咨询评分确定权重，如综合指数法、模糊综合评判法、层次分析法、功效系数法等。另一类是客观赋权，根据各指标间相关关系或各指标值变异程度来确定权数，如主成分分析法、因子分析法、理想解法（也称TOPSIS法）等。基础部数学教研室4/116数学建模目前国内外综合评价方法有数十种之多，其中主要使用的评价方法有主成分分析法、因子分析、TOPSIS、秩和比法、灰色关联法、熵权法、层次分析法、模糊评价法、物元分析法、聚类分析法、价值工程法、神经网络法等。基础部数学教研室5/116数学建模目前已有许多解决多属性决策的排序法，如理想点法、简单线性加权法、加权平方和法、主成分分析法、功效系数法、可能满意度法、交叉增援矩阵法等。本节介绍多属性决策问题的理想解法，理想解法亦称为TOPSIS法，是一种有效的多指标评价方法。这种方法通过构造评价问题的正理想解和负理想解，即各指标的最优解和最劣解，通过计算每个方案到理想方案的相对贴近度，即靠近正理想解和远离负理想解的程度，来对方案进行排序，从而选出最优方案。14.1理想解法基础部数学教研室6/116数学建模设多属性决策方案集为12{,,,}mDddd，衡量方案优劣的属性变量为1,,nxx，这时方案集D中的每个方案id（1,,im）的n个属性值构成的向量是1[,,]iinaa，它作为n维空间中的一个点，能唯一地表征方案id。14.1.1方法和原理基础部数学教研室7/116数学建模正理想解*C是一个方案集D中并不存在的虚拟的最佳方案，它的每个属性值都是决策矩阵中该属性的最好值；而负理想解0C则是虚拟的最差方案，它的每个属性值都是决策矩阵中该属性的最差值。在n维空间中，将方案集D中的各备选方案id与正理想解*C和负理想解0C的距离进行比较，既靠近正理想解又远离负理想解的方案就是方案集D中的最佳方案；并可以据此排定方案集D中各备选方案的优先序。基础部数学教研室8/116数学建模用理想解法求解多属性决策问题的概念简单，只要在属性空间定义适当的距离测度就能计算备选方案与理想解的距离。TOPSIS法所用的是欧氏距离。至于既用正理想解又用负理想解是因为在仅仅使用正理想解时有时会出现某两个备选方案与正理想解的距离相同的情况，为了区分这两个方案的优劣，引入负理想解并计算这两个方案与负理想解的距离，与正理想解的距离相同的方案离负理想解远者为优。基础部数学教研室9/116数学建模TOPSIS法的具体算法如下（1）用向量规划化的方法求得规范决策矩阵设多属性决策问题的决策矩阵()ijmnAa，规范化决策矩阵()ijmnBb，其中21mijijijibaa，1,2,,im，1,2,,jn.（14.1）14.1.2TOPSIS法的算法步骤基础部数学教研室10/116数学建模（2）构造加权规范阵()ijmnCc设由决策人给定各属性的权重向量为12[,,,]Tn，则ijjijcwb，1,2,,im，1,2,,jn.（14.2）基础部数学教研室11/116数学建模（3）确定正理想解*C和负理想解0C设正理想解*C的第j个属性值为*jc，负理想解0C第j个属性值为0jc，则正理想解*max,,min,,ijijijicjccj为效益型属性为成本型属性1,2,,jn.（14.3）负理想解0min,,max,,ijijijicjccj为效益型属性为成本型属性1,2,,jn.（14.4）基础部数学教研室12/116数学建模（4）计算各方案到正理想解与负理想解的距离备选方案id到正理想解的距离为**21()niijjjscc，1,2,,im.（14.5）备选方案id到负理想解的距离为0021()niijjjscc，1,2,,im.（14.6）基础部数学教研室13/116数学建模（5）计算各方案的排序指标值（即综合评价指数）*00*/()iiiifsss，1,2,,im.（14.7）（6）按*if由大到小排列方案的优劣次序。基础部数学教研室14/116数学建模例14.1研究生院试评估。为了客观地评价我国研究生教育的实际状况和各研究生院的教学质量，国务院学位委员会办公室组织过一次研究生院的评估。为了取得经验，先选5所研究生院，收集有关数据资料进行了试评估，表14.1是所给出的部分数据。14.1.3示例基础部数学教研室15/116数学建模表14.1研究生院试评估的部分数据ji人均专著1x（本/人）生师比2x科研经费3x（万元/年）逾期毕业率4x（%）10.1550004.720.2660005.630.4770006.740.910100002.351.224001.8基础部数学教研室16/116数学建模解第一步，数据预处理数据的预处理又称属性值的规范化。属性值具有多种类型，包括效益型、成本型和区间型等。这三种属性，效益型属性越大越好，成本型属性越小越好，区间型属性是在某个区间最佳。基础部数学教研室17/116数学建模在进行决策时，一般要进行属性值的规范化，主要有如下三个作用：（1）属性值有多种类型，上述三种属性放在同一个表中不便于直接从数值大小判断方案的优劣，因此需要对数据进行预处理，使得表中任一属性下性能越优的方案变换后的属性值越大。基础部数学教研室18/116数学建模（2）非量纲化，多属性决策与评估的困难之一是属性间的不可公度性，即在属性值表中的每一列数具有不同的单位（量纲）。即使对同一属性，采用不同的计量单位，表中的数值也就不同。在用各种多属性决策方法进行分析评价时，需要排除量纲的选用对决策或评估结果的影响，这就是非量纲化。基础部数学教研室19/116数学建模（3）归一化，属性值表中不同指标的属性值的数值大小差别很大，为了直观，更为了便于采用各种多属性决策与评估方法进行评价，需要把属性值表中的数值归一化，即把表中数值均变换到[0，1]区间上。此外，还可在属性规范时用非线形变换或其它办法，来解决或部分解决某些目标的达到程度与属性值之间的非线性关系，以及目标间的不完全补偿性。基础部数学教研室20/116数学建模常用的属性规范化方法有以下几种。（1）线性变换原始的决策矩阵为()ijmnAa，变换后的决策矩阵记为()ijmnBb，1,,im，1,,jn。设maxja是决策矩阵第j列中的最大值，minja是决策矩阵第j列中的最小值。若jx为效益型属性，则max/ijijjbaa.（14.8）基础部数学教研室21/116数学建模采用上式进行属性规范化时，经过变换的最差属性值不一定为0，最佳属性值为1。若jx为成本型属性，则max1/ijijjbaa（14.9）采用上式进行属性规范时，经过变换的最佳属性值不一定为1，最差属性值为0。基础部数学教研室22/116数学建模（2）标准0－1变换为了使每个属性变换后的最优值为1且最差值为0，可以进行标准0－1变换。对效益型属性jx，令minmaxminijjijjjaabaa，（14.10）对成本型属性jx，令maxmaxminjijijjjaabaa.（14.11）基础部数学教研室23/116数学建模由上式可知，当燃料耗尽，结构质量抛弃完时，便只剩卫星质量pm，从而最终速度的数学模型为0()(1)lnpmvtum.（6.12）（6.12）式表明，当0m足够大时，便可使卫星达到我们所希望它具有的任意速度。例如，考虑到空气阻力和重力等因素，估计要使10.5vkm/s才行，如果取3ukm/s，0.1，则可推出0/50pmm，即发射1吨重的卫星大约需50吨重的理想火箭。基础部数学教研室24/116数学建模（3）区间型属性的变换有些属性既非效益型又非成本型，如生师比。显然这种属性不能采用前面介绍的两种方法处理。基础部数学教研室25/116数学建模设给定的最优属性区间为0*[,]jjaa，'ja为无法容忍下限，ja为无法容忍上限，则00''00****1()/(),,1,,1()/(),,0,.jijjjjijjjijjijijjjjjijjaaaaaaaaaabaaaaaaa若若若其它（14.12）变换后的属性值ijb与原属性值ija之间的函数图形为一般梯形。当属性值最优区间的上下限相等时，最优区间退化为一个点时，函数图形退化为三角形。基础部数学教研室26/116数学建模设研究生院的生师比最佳区间为[5,6]，'22a，212a。表14.1的属性2的数据处理见表14.2(程序略)。表14.2表14.1的属性2的数据处理ji生师比2x处理后的生师比151261370.83334100.3333520基础部数学教研室27/116数学建模（4）向量规范化无论成本型属性还是效益型属性，向量规范化均用下式进行变换21mijijijibaa，1,,im，1,,jn.（14.13）它与前面介绍的几种变换不同，从变换后属性值的大小上无法分辨属性值的优劣。它的最大特点是，规范化后，各方案的同一属性值的平方和为1，因此常用于计算各方案与某种虚拟方案（如理想点或负理想点）的欧氏距离的场合。基础部数学教研室28/116数学建模（5）标准化处理在实际问题中，不同变量的测量单位往往是不一样的。为了消除变量的量纲效应，使每个变量都具有同等的表现力，数据分析中常对数据进行标准化处理，即ijjijjaabs，1,2,,im，1,2,,jn，（14.14）其中11mjijiaam，211()1mjijjisaxm，1,2,,jn。基础部数学教研室29/116数学建模表14.1中的数据经标准化处理后的结果见表14.3（程序略）。表14.3表14.1数据经标准化的属性值表ji人均专著1x生师比2x科研经费3x逾期毕业率4x1-0.9741-0.3430-0.19460.22742-0.762300.09160.65373-0.33880.34300.37771.174740.72001.37201.2362-0.909551.3553-1.3720-1.5109-1.1463基础部数学教研室30/116数学建模我们首先对表14.1中属性2的数据进行最优值为给定区间的变换。然后对属性值进行向量规范化，计算结果见表14.4（程序略）。表14.4表14.1的数据经规范化后的属性值ji人均专著1x生师比2x科研经费3x逾期毕业率4x10.06380.5970.34490.454620.12750.5970.41390.541730.25500.49750.48290.648140.57380.1990.68980.222550.765100.02760.1741基础部数学教研室31/116数学建模第二步，设权向量为[0.2,0.3,0.4,0.1]w，得加权的向量规范化属性矩阵见表14.5。表14.5表14.1的数据经规范化后的加权属性值ji人均专著1x生师比2x科研经费3x逾期毕业率4x10.01280.17910.13800.045520.02550.17910.16560.054230.05100.14930.19310.064840.11480.05970.27590.022250.153000.01100.0174基础部数学教研室32/116数学建模第三步，由表14.5和式（14.3）和式（14.4），得正理想解*[0.1530,0.1791,0.2759,0.0174]C；负理想解0[0.0128,0,0.0110,0.0648]C。基础部数学教研室33/116数学建模第四步，分别用式（14.5）和式（14.6）求各方案到正理想解的距离*is和负理想解的距离0is，列于表14.6。表14.6距离值及综合指标值*is0is*if10.19870.2204