一种变权系数的区间数组合预测模型

统计与决策２０11年第23期（总第347期）ΔU=∫t=0∞e-ρt[A(t)c(t)]1-θ1-θL(t)dt-∫t=0∞e-ρt[PˉA(t)c(t)]1-θ1-θL(t)dt在这样的均衡状态，经济体可以通过治理污染，提高环境质量来提高总体福利，减少无效率的生产和消费，以达到帕累托有效。2.3环境与经济增长谁优先在不存在环境污染的情况下，稳定的经济增长将是Ramsey-Cass-Koopmans模型下的均衡增长，经济系统将达到帕累托最优。在存在污染时，如果污染对消费的折扣的变化率超过技术变化率时，经济的增长将是没有意义的，在经过环境的折扣后，经济增长并不能使有效消费增加，不能带来家庭福利的提升。当环境污染对消费的折扣的变化率小于技术变化水平时，经济将达到一个比经典Ramsey-Cass-Koop-mans模型更低的均衡水平，这样的均衡不是帕累托最优，整个社会可以通过治理环境来提升社会的福利总水平。通常，居民对污染的厌恶程度与消费水平相关，低消费水平的国家对污染的厌恶程度低于高收入国家。社会发展之初，非环境消费给家庭带来的边际效用比较大，环境对有效消费的折扣变化也不明显，因此许多国家在发展初期都容易忽略环境问题的影响，当经济发展到一定水平后，非环境消费给家庭带来的边际效用递减趋势明显，环境对有效消费的折扣变化开始大幅提升，居民和政府开始控制经济发展对环境的破坏；当经济发展到比较高水平时，非环境消费的边际效用快速下降，环境的微小恶化将引起有效消费的大幅度减少，因此，居民和政府更倾向于治理环境提升效用，而不是增加非环境消费。本文的结论与经济发展现状较为相符，“先发展经济，在控制污染，再治理污染”的发展路径确实有其合理性。但是，本文还认为，必须将污染对消费折扣的比率控制在技术进步变化水平之内；否则，发展将得不偿失。参考文献：[1]DavidRomer.AdvancedMacroeconomics[M].上海：上海财经大学出版社,2001.[2]陈超，王海建.环境外在性与“干中学”内生经济增长[J].预测,2002,21(2).[3]何一农，胡适耕.环境污染、内生人口增长与经济增长模型[J].华中科技大学学报（自然科学版）,2004，32(9).[4]胡远波，杨丽乔，李连庆，李上红.考虑环境污染的随机经济增长模型[J].应用数学,2005,18(增).[5]王海建.资源环境约束之下的一类内生经济增长模型[J].预测,1999,18(4).（责任编辑/亦民）一种变权系数的区间数组合预测模型袁宏俊a，胡凌云b，杨桂元a（安徽财经大学a.统计与应用数学学院；b.管理科学与工程学院，安徽蚌埠233030）摘要：文章针对实际值序列和预测值序列均为区间数的组合预测问题，引入了相关系数和诱导有序加权平均算子的概念；将区间数的左右端点看作时间序列，分别建立了两端点的变权系数多目标最优组合预测模型，并通过偏好系数转化为单目标最优化模型。实例分析表明，所提出的方法在区间数预测误差指标上明显优于其它区间组合预测方法。关键词：组合预测；区间数；变权系数；相关系数；诱导有序加权平均算子中图分类号：O212文献标识码：A文章编号：1002-6487（2011）23-0034-04基金项目：国家自然科学基金资助项目（71071002）；国家社科青年项目（11CJY080）；安徽省教育厅人文社会科学研究资助项目（2011sk177）；安徽财经大学科研项目（ACKYQ1151ZC）作者简介：袁宏俊（1978-），男，安徽庐江人，硕士，副教授，研究方向：预测和决策分析。0引言1969年，Bates.J.M.和Granger.C.W.J.首次系统研究组合预测理论和方法[1]。由于组合预测模型能更加有效地提高预测的精度和稳定性，所以一直是国内外预测界研究的热点课题之一，并取得了大量的研究成果[1～3]，但是这些方法一般都是针对预测值和实际值均为实数值的情形。文献[4]采用区间数描述组合预测的系数，将确定组合预测系数转化成一个线性规划问题求解。文献[5]运用三角模糊数确定组合预测模型的权重，以组合预测误差平方和最小为目标函数建立线性规划模型求解。文献[6]提出了两种区间预测准确度分析的方法，通过估计预测结果的平均区间误差平方和及平均相对区间误差和，比较了不同预测方法的优劣。文献[7～理论新探34统计与决策２０11年第23期（总第347期）10]提出了基于各种不同最优准则下的区间组合预测方法。本文将在现有文献的基础上，提出一种新的变权系数的区间数组合预测方法,将区间数的左右端点作为考虑问题的出发点，通过引入相关系数和IOWA算子,分别建立两端点的变权系数多目标最优组合预测模型并转化为单目标最优模型实现求解；并用实例对该方法的效率进行验证。1基本概念定义1若X͂=[]x-,x+，x-x+，式中x-,x+∈R，则称X͂为一区间数。令c=(x-+x+)2，r=(x+-x-)2，则X͂的另一种等价表示形如X͂=(c,r)，其中c,r分别称为区间数X͂的区间中点和区间半径。特别地，当x-=x+时，区间数X͂退化为普通实数。定义2设预测对象的实际区间数为X͂t=[]x-t,x+t=()ct,rt;t=1,2,⋯,N。组合预测区间数序列为X͂̂t=[]x̂-t,x̂+t=[ct,rt]；t=1,2,⋯,N。分别记δt=ct-ĉt、σt=rt-r̂t为t时刻的组合预测区间数X͂̂t和实际区间数X͂t的区间位置误差及区间长度误差，则称MSEP=∑t=1Nδ2tN=∑t=1N(ct-ĉt)2NMSEL=∑t=1Nσ2tN=∑t=1N(rt-r̂t)2N分别为平均区间位置误差平方和及平均区间长度误差平方和；并且称平均区间误差平方和为MSEI=MSEP+MSEL=∑t=1N(ct-ĉt)2+∑t=1N(rt-r̂t)2N定义3令εt=||ct-ĉt(rt+r̂t)为t时刻的组合预测区间数X͂̂t和实际区间数X͂t的相对误差，则称MRIE=∑t=1NεtN=∑t=1N(||ct-ĉt(rt+r̂t))N为平均区间相对误差和。设某社会经济现象的指标序列的实际区间数为{}X͂t=[x-t,x+t]=(ct,rt),t=1,2,⋯,N，有m种可行的单项预测方法对其进行预测，X͂it=[x-it,x+it]=(cit,rit)为第i种预测方法第t时刻的单项预测区间数，其中t=1,2,⋯,N；i=1,2,⋯m。设L=(l1,l2,⋯,lm)T为m种单项预测在组合预测中的加权系数向量，它满足∑i=1mli=1；li0 ；i=1,2,⋯,m。定义4设(v1,a1),(v2,a2),⋯,(vn,an)为n个二维数组，令IOWAW((v1,a1),(v2,a2),⋯,(vn,an))=∑i=1nwiav-index(i)其中W=(w1,w2,⋯,wn)T是与IOWAW有关的加权向量，满足∑i=1nwi=1，wi0(i=1,2,⋯,n),v-index(i)是v1,v2,⋯,vn中按从大到小的顺序排列的第i个大的数的下标，则称IOWAW是n维诱导有序加权平均算子(inducedorderedweightedaveragingoperator)，简称为IOWA算子，vi称为ai的诱导值。IOWA算子实际是对诱导值v1,v2,⋯,vn按从大到小的顺序排序后所对应的a1,a2,⋯,an中的数进行有序加权平均，wi与数ai的大小和位置无关，而是与其诱导值所在的位置有关。定义5称a-it，a+it分别为第i种预测方法第t时刻的单项预测区间数的左精度和右精度，其中a-it=ìíîïï1-||(x-t-x-it)/x-t||(x-t-x-it)/x-t10||(x-t-x-it)/x-t1a+it=ìíîïï1-||(x+t-x+it)/x+t||(x+t-x+it)/x+t10||(x+t-x+it)/x+t1显然a-it∈[]0,1；a+it∈[]0,1；i=1,2,⋯,m；t=1,2,⋯,N。把单项预测区间数的左精度a-it看成单项预测区间数左端点x-it的诱导值，可构成m个二维数组a-1t,x-1t),(a-2t,x-2t),(⋯,(a-mt,x-mt)，把单项预测区间数的右精度a+it看成单项预测区间数右端点x+it的诱导值，可构成另外m个二维数组(a+1t,x+1t),(a+2t,x+2t),⋯,(a+mt,x+mt)。定义6称x̂-a-index(t)为第t时刻由单项预测区间数的左精度序列a-1t,a-2t,⋯,a-mt所产生的预测区间数的左端点IO-WA算子组合预测值，称x̂+a-index(t)为第t时刻由单项预测区间数的右精度序列a+1t,a+2t,⋯,a+mt所产生的预测区间数的右端点IOWA算子组合预测值，其中x̂-a-index(t)=IOWAL((a-1t,x-1t),(a-2t,x-2t),⋯,(a-mt,x-mt))=∑i=1mlix-a-index(it)x̂+a-index(t)=IOWAL((a+1t,x+1t),(a+2t,x+2t),⋯,(a+mt,x+mt))=∑i=1mlix+a-index(it)由定义6可知预测区间数的左右端点IOWA算子组合预测值x̂-a-index(t)，x̂+a-index(t)是与单项预测区间数的左右端点在各个时点上的预测左右精度的大小密切相关。定义7称R-，R+分别为左端点IOWA算子组合预测值序列与实际区间数左端点序列的相关系数和右端点IO-WA算子组合预测值序列与实际区间数右端点序列的相关系数，即R-=∑t=1N(x-t-xˉ-)(x̂-a-index(t)-x̂ˉ-)∑t=1N(x-t-xˉ-)2∑t=1N(x̂-a-index(t)-x̂ˉ-)2R+=∑t=1N(x+t-xˉ+)(x̂+a-index(t)-x̂ˉ+)∑t=1N(x+t-xˉ+)2∑t=1N(x̂+a-index(t)-x̂ˉ+)2理论新探35统计与决策２０11年第23期（总第347期）其中：xˉ-=1N∑t=1Nx-t，x̂ˉ-=1N∑t=1Nx̂-a-index(t)xˉ+=1N∑t=1Nx+t，x̂ˉ+=1N∑t=1Nx̂+a-index(t)定义8e-t=x-t-xˉ-，e+t=x+t-xˉ+，ê-a-index(t)=x̂-a-index(t)-x̂ˉ-，ê+a-index(t)=x̂+a-index(t)-x̂ˉ+，则称e-t、e+t分别为实际区间数的左端点对其算术平均数在第t时刻的离差和右端点对其算术平均数在第t时刻的离差，称ê-a-index(t)、ê+a-index(t)分别为左端点IOWA算子组合预测值对其算术平均数在第t时刻的离差和右端点IOWA算子组合预测值对其算术平均数在第t时刻的离差。令：e-a-index(it)=x-a-index(it)-xˉ-a-index(it)，e+a-index(it)=x+a-index(it)-xˉ+a-index(it)其中，xˉ-a-index(it)=1N∑t=1Nx-a-index(it)，xˉ+a-index(it)=1N∑t=1Nx+a-index(it)，则有：ê-a-index(t)=x̂-a-index(t)-x̂ˉ-=∑i=1mlix-a-index(it)-1N∑t=1N∑i=1mlix-a-index(it)=∑i=1mli(x-a-index(it)-1N∑t=1Nx-a-index(it))=∑i=1mlie-a-index(it)同理有：ê+a-index(t)=x̂+a-index(t)-x̂ˉ+=∑i=1mlie+a-index(it)定义9称E-ij，E+ij分别为第i种与第j种单项预测方法IOWA算子组合预测值对其算术平均数在第t时刻的左离差序列的协方差和右离差序列的协方差，其中E-ij=∑t=1Ne-a-index(it)e-a-index(jt)，E+ij=∑t=1Ne+a-index(it)e+a-index(jt)，(i,j=