一种基于主客观权重信息集成的多属性群决策林国光

统计与决策２０16年第12期·总第456期一种基于主客观权重信息集成的多属性群决策林国光,宋海洲(华侨大学数学科学学院,福建泉州362021)摘要：针对一种在属性权重和决策者权重完全未知且属性值为定值的多属性群决策问题。文章基于离差最大化思想提出了一种可对多种主观和多种客观权重信息进行集成的最优化组合赋权方法求解属性的集成权重,计算各方案的综合属性值,以求属性的集成权重的方法去求解决策者的集成权重。给出了一个数值例子说明该方法的实用性和有效性。关键词：离差最大化;属性权重;决策者权重;最优组合赋权;多属性群决策中图分类号：C934文献标识码：A文章编号：1002-6487（2016）12-0070-04基金项目：中央高校基本科研业务费专项资金资助项目(10HZR26)；福建省自然科学基金资助项目(2011J05005)作者简介：林国光（1988—），男，广东廉江人，硕士研究生，研究方向：运筹优化、决策学。（通讯作者）宋海洲（1971—），男，江西会昌人，副教授，研究方向：运筹优化、决策学。0引言多属性群决策在决策科学中占有着非常重要的地位,被广泛应用于各领域。在多属性群决策问题中,一个关键的问题是如何合理地确定属性权重和决策者权重,因为属性权重和决策者权重的合理性对方案排序的准确性有着非常重要的影响。权重的确定方法大致可分为两大类:主观赋权法和客观赋权法[1]。主观赋权法是指基于决策者(或专家组)的知识经验或偏好对各属性的重要性进行比较、赋值和计算得出其权重的方法。目前求解主观权重方法主要有:层次分析法(AHP法)[2]、偏好比率法[3]、专家调查法(Delphi法)[4]等。客观赋权法是指基于各方案评价指标值的客观数据的差异而确定各指标的权重的方法。目前求解客观权重的方法有:主成分分析法[5]、熵值法[6]、离差最大化方法[7]等。目前获取多属性群决策的属性权重和决策者权重一般有以下三种情形[8]:(1)属性权重和决策者权重都假设已知[9]；(2)属性权重假设已知而决策者权重未知[10]；(3)决策者权重假设已知而属性权重未知[11]。很少有研究属性权重和决策者权重都未知情形下的群决策。本文针对一种在属性权重和决策者权重都未知情形下的多属性群决策,提出一种基于离差最大化思想可对多种主观和多种客观权重信息进行集成的最优化组合赋权方法求解每个决策者对属性的集成权重和决策者的集成权重。最后给出一个数值例子说明该方法的实用性和有效性。1确定属性的集成权重为了描述方便,设M={12m},T={12t},N={12n},iÎMkÎTjÎN。对于某个多属性群决策问题,设其方案集为A={A1A2Am}(m³2),属性集合为U={u1u2un}(n³2)。决策者集合为D={d1d2dt}(t³2)。设x(k)ij是决策者dk对于已知方案Ai在属性uj下的属性值,Xk=(x(k)ij)m´n是决策者dk给出的决策矩阵。设w(k)′jw(k)′′j和w(k)jc分别表示决策者dk对第j个属性的主观权重,客观权重和集成权重。设λ′kλ′′k和λkc分别表示决策者dk的主观权重,客观权重和集成权重。表1比率标度表ui比uj的相对偏好ui很强ui(中间程度)ui强ui(中间程度)ui较强ui(中间程度)ui稍强ui(中间程度)ui同等重要uj与ui时比率标度5.04.54.03.53.02.52.01.51.0相对应的倒数1.1基于偏好比率法确定属性的主观权重首先我们定义了两个属性之间的相对重要性比率标度(见表1),在这种比率标度下,如果一个属性对评价结果的边际贡献率比另一个属性大一倍,那么该属性的重要性程度应该比另一属性稍强,这种判断比较是符合实际的。其次为了模型计算的方便,不妨设对各属性的重要性比较有排序u1≽u2≽≽un,其中“≽”表示重要性大于等于。设a(k)ij(ijÎN)是决策者dk对属性ui与属性uj进行比较的比率标度值,则我们可以建立如下模型求解各属性的主观权重。方法应用DOI:10.13546/j.cnki.tjyjc.2016.12.02170统计与决策２０16年第12期·总第456期(M-1)ìíîïïïïïïïïïïïïa(k)11w(k)′1+a(k)12w(k)′2+a(k)13w(k)′3++a(k)1nw(k)′n=nw(k)′1a(k)22w(k)′2+a(k)23w(k)′3++a(k)2nw(k)′n=(n-1)w(k)′2a(k)n-1n-1w(k)′(n-1)+a(k)n-1nw(k)′n=2w(k)′(n-1)w(k)′1+w(k)′2++w(k)′n=10£w(k)′i£1iÎNkÎT(1)求解模型(M-1)得到决策者dk对属性的主观权重向量为W′k=(w(k)′1w(k)′2w(k)′n)。1.2基于离差最大化方法确定属性的客观权重我们采用了离差最大化方法确定属性的客观权重：首先把决策矩阵Xk=(x(k)ij)m´n转化为规范化决策矩阵Rk=(r(k)ij)m´n,其中r(k)ij=x(k)ijx(k)+jx(k)+j=max1£i£m{x(k)ij}jÎJbiÎMjÎNkÎT(2)r(k)ij=x(k)-jx(k)ijx(k)-j=min1£i£m{x(k)ij}jÎJciÎMjÎNkÎT(3)其中式(2)中J表示收益型属性,(3)式中J表示成本型属性.对于属性uj与决策者dk而言,方案Ai与其它所有方案之间的离差可表示为Sijk=ål=1m(r(k)ij-r(k)lj)2w(k)′′jiÎMjÎNkÎT(4)对于属性uj与决策者dk而言,所有方案与其它方案的总离差可表示为Sjk=åi=1mSijk=åi=1mål=1m(r(k)ij-r(k)lj)2w(k)′′jjÎNkÎT(5)基于离差最大化思想,属性的权重向量应使所有属性对所有方案的总离差尽可能大。为此,可以构造如下最优化模型(M-2)ìíîïïïïMax Sk=åj=1nåi=1mål=1m(r(k)ij-r(k)lj)2w(k)′′js.t.  åj=1n(w(k)′′j)2=1w(k)′′j³0kÎT(6)求解模型(M-2)并进行归一化处理,易得到决策者dk的属性uj的客观权重为w(k)′′j=åi=1mål=1m(r(k)ij-r(k)lj)2åj=1nåi=1mål=1m(r(k)ij-r(k)lj)2jÎNkÎT(7)1.3基于离差最大化的最优组合赋权方法确定属性的集成权重基于离差最大化思想,考虑所有方案与其它方案的总离差越大越好。现将p1种主观权重和p2种客观权重信息进行集成,即令w(k)jc=ås=1p1α(k)sw(k)′sj+åt=1p2β(k)tw(k)′′tjjÎNkÎT,α(k)sβ(k)t分别表示决策者dk对第s种主观权重和第t种客观权重的信任度,w(k)′sjw(k)′′tj分别表示对决策者dk和属性uj而言的第s种主观权重和第t种客观权重。则可以构造如下最优化模型(M-3)ìíîïïïïïïïïïïïïMax Sk=åj=1nåi=1mål=1m(r(k)ij-r(k)lj)2w(k)jc           =åj=1nåi=1mål=1m(r(k)ij-r(k)lj)2(ås=1p1α(k)sw(k)′sj+åt=1p2β(k)tw(k)′′tj)s.t.    ås=1p1(α(k)s)2+åt=1p2(β(k)t)2=1        α(k)sβ(k)t³0s=12p1;t=12p2;kÎT(8)为了求解模型(M-3),构造以ξ为拉格朗日因子的拉格朗日函数L(α(k)sβ(k)tξ),简记L。即有L=åj=1nåi=1mål=1m(r(k)ij-r(k)lj)2(ås=1p1α(k)sw(k)′sj+åt=1p2β(k)tw(k)′′tj)+ξ2(ås=1p1(α(k)s)2+åt=1p2(β(k)t)2-1)(9)函数L分别对α(k)sβ(k)tξ求一阶偏导数有ìíîïïïïïïïïïïïï¶L¶α(k)s=åj=1nåi=1mål=1m(r(k)ij-r(k)lj)2w(k)'sj+ξα(k)s=0¶L¶β(k)t=åj=1nåi=1mål=1m(r(k)ij-r(k)lj)2w(k)′′tj+ξβ(k)t=0¶L¶ξ=12(ås=1p1(α(k)s)2+åt=1p2(β(k)t)2-1)=0(10)解得α(k)s=åj=1nåi=1mål=1m(r(k)ij-r(k)lj)2w(k)′sjås=1p1[åj=1nåi=1mål=1m(r(k)ij-r(k)lj)2w(k)′sj]2+åt=1p2[åj=1nåi=1mål=1m(r(k)ij-r(k)lj)2w(k)′′tj]2(11)β(k)t=åj=1nåi=1mål=1m(r(k)ij-r(k)lj)2w(k)′′tjås=1p1[åj=1nåi=1mål=1m(r(k)ij-r(k)lj)2w(k)′sj]2+åt=1p2[åj=1nåi=1mål=1m(r(k)ij-r(k)lj)2w(k)′′tj]2(12)为了使权重向量Wck=(w(k)1cw(k)2cw(k)nc)满足0£w(k)jc£1åj=1nwjc(k)=1,可以对α(k)sβ(k)t进行归一化处理,得α(k)*s=åj=1nåi=1mål=1m(r(k)ij-r(k)lj)2w(k)′sjås=1p1åj=1nåi=1mål=1m(r(k)ij-r(k)lj)2w(k)′sj+åt=1p2åj=1nåi=1mål=1m(r(k)ij-r(k)lj)2w(k)′′tj(13)β(k)*t=åj=1nåi=1mål=1m(r(k)ij-r(k)lj)2w(k)′′tjås=1p1åj=1nåi=1mål=1m(r(k)ij-r(k)lj)2w(k)′sj+åt=1p2åj=1nåi=1mål=1m(r(k)ij-r(k)lj)2w(k)′′tj(14)方法应用71统计与决策２０16年第12期·总第456期所以可以求得决策者dk的属性uj的集成权重w(k)jc=ås=1p1α(k)*sw(k)′sj+åt=1p2β(k)*tw(k)′′tjjÎNkÎT(15)2确定决策者的集成权重对决策者dk而言,各方案的综合属性值为yik=åj=1nr(k)ijw(k)jciÎMkÎT(16)因为有t个决策者,分别计算他们对各方案的综合属性值,可以形成群综合决策矩阵Y=(yik)m´t=æèççççççççççöø÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷y11y12y1ky1ty21y22y2ky2tyi1yi2yikyitym1ym2ymkymtm´t(17)采用离差最大化方法来确定决策者客观权重思想是:若所有方案在属性dk下的属性值差异越小,则说明属性dk对方案的决策和排序所起的作用就越小,属性dk应赋予一个相对较小的权重;反之,若所有方案在属性dk下的属性值差异越大,则说明属性dk对方案的决策和排序所起的作用就越大,属性dk应赋予一个相对较大的权重。下面类似以求属性的集成权重的方法求解决策者dk的集成权重。类似利偏好比率法求解决策者的主观权重向量λ′=(λ′1λ′2λ′t)。利用规范化公式zik=yiky+ky+j=max1£i£m{yik}iÎMkÎT(18)把群综合决策矩阵Y=(yik)m´t转化为规范化决策矩阵Z=(zik)m´t。类似利用离差最大化方法求解决策者dk的客观权重λ′′k=åi=1mål=1m(zik-zlk)2åk=1tåi=1mål=1m(zik-zlk)2kÎT(19)类似利用离差最大化思想,考虑所有方案与其它方案的总离差越大越好。现将q1种主观权重和q2种客观权重信息进行集成,即令λkc=åw=1q1γwλ′