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第卷第期系统工程理论与实践年月文章编号：中图分类号：文献标志码：区间灰数群决策中决策者和属性权重确定方法闫书丽口，刘思峰，方志耕，吴利丰河南科技大学数学与统计学院，洛阳南京航空航天大学经济与管理学院，南京摘要研究区间灰数信息的多属性群决策中决策者和属性的权重问题为解决决策者给出的属性值蕴含的客观权重和主观权重冲突的问题，利用各方案与理想方案间的灰色关联度和极大熵原理建立规划模型求出属性的客观权重，并结合主观权重求得属性的综合权重；基于群体意见的一致性要求和信息分布的特点，依据极大熵思想及各决策者关于方案的综合指标值与群体综合指标均值间的灰色关联度建立模型求出各决策者的权重在此基础上提出了区间灰数信息的群集结方法算例验证了此方法较于其他方法更加合理关键词群决策；属性权重；决策者权重；灰色关联；极大熵，引言多属性群决策问题作为群决策的一类代表性问题，主要解决具有多个属性的有限方案的排序问题，在工程、经济、管理、军事等领域有着广泛的应用，是一个很重要的研究方向在群体决策过程中，决策者根据自己的知识、经验对方案的各个属性进行价’如何将具有不同偏好的各个决策者的决策信息进行汇总，得到一致化的决策结果，众多学者进行了深入研究在多属性群决策研究中，确定决策者和属性的权重占有重要地位，目前关于这方面的研究有很多关于决策者权重的研究有：文献利用方法得到决策者的权重从而进行信息的集结；文献采用投影法则确定各决策者的权重；文献根据各决策者的评价值与群体平均评价值的接近度对决策者赋权关收稿日期资助项目：国家社科基金重大项目（国家社科重点项目（国家自然科学基金南京航空航天大学引进人才基金作者简介：闫书丽（，女汉，河南安阳人，讲师，博士研究方向：决策分析灰色系统理论等，刘思峰（，男，汉河南平舆人，教授博士生导师，研究方向：灰色系统理论，数量经济学等第期闫书丽，等：区间灰数群决策中决策者和属性权重确定方法于属性权重的研究已有很多，大致分为主观赋权法和客观赋权法主观赋权法是人们研究较早、较成熟的方法，是决策者根据自己的知识、经验主观判断得到，常用方法有法和法，结果具有很大的主观随意性而客观赋权法主要根据原始数据之间的关系确定权重’结果具有较强的数学理论依据群体决策下属性权重的确定方法有文献以群体不一致性最小为目标采用规划模型求解属性的权重文献根据离差最大思想求解属性权重文献提出了一种基于区间直觉模糊值摘最大化的权重确定方法；文献以各决策者的评价值与群体评价偏差最小为原则建立规划模型计算属性的权重但根据巳有信息得到的客观权重有时会出现与实际重要程度不符的情况，因此，主、客观赋权法均具有一定的局限性，在此基础上，学者们基于不同视角提出了主客观综合赋权法文献根据数据方差比例确定属性的客观权重，并与主观确定的权重按照不同比例进行集成文献提出以属性评价值的熵作为数据稳定性的度量并由该熵值确定属性客观权重的方法，同时依据群决策者对于属性的主观偏好值的稳定性及其平均值之间的关系给出了属性的主观权重，采用偏好系数求得属性的综合权重综上，现有研究存在以下问题：目前的群决策方法要么假定属性权重已知，对决策者权重进行研究，要么假定决策者权重已知，对属性的权重进行研究，极少有同时研究决策者权重和属性权重的文献；各决策者主观给定的属性权重可能与属性值蕴含的客观信息有冲突；决策者权重的研究基本上是基于群体意见一致性为目标，但为了追求意见上的一致而往往忽略了部分评价者对结果的影响，这显然是片面的；在现实决策过程中，决策者关于属性的评价值往往不是一个确定的值，越来越多的决策者采用区间灰数的形式描述不确定的属性值区间灰数与常用的区间数存在着本质的差异，区间数是不确定信息旳取值区间，整个区间上信息取值机会均等而区间灰数是某信息覆盖集合（区间）上只知道取值范围而不知其确切值的实数，信息覆盖集合依赖于信息的获得，通过信息的补充，真值在整个信息覆盖集合（区间）上的取值分布会越来越明朗化，不仅仅是服从均匀分布本文计对区间灰数信息的此类群决策问题，根据灰色关联度和极大熵原理建立规划模型求出各属性的客观权重，并与决策者主观给定的权重值进行集成，得出属性综合权重从群体意见一致性和信息分布两方面确定决策者的权重’并根据各个方案的综合属性值对方案进行排序问题描述将多属性群决策问题描述为三元组队，，其中，为决策者集，决策者权重为，，…，，，…，为方案集，为属性集，《表示决策者赋予属性的权重值，决策者给出的评价矩阵为，表示决策者对方案关于属性的评价值价信息为区间灰数，咤其中，分别为区间灰数的下限和上限规范化后为规范化方法见文献关于区间灰数的相关概念如下定义丨’】设为区间灰数，其中则有，当且仅当二且■定义设则—区间灰数的真值在取值区间上的位置未知，会随着信息的获得逐渐显化但在仅有上下限的信息下，假设区间的中点为最有可能发生的值（核，则根据灰数的核进行排序，在两个灰数的核相等时，考虑到真值在区间范围过大时在每一点发生可能性都很小，根据各灰数的下限大小进行判断定义设若…、‘则当时，若则—属性权重的确定方法本文针对各决策者主观给出属性权重和属性值的前提下，寻求更加符合决策者心理的属性权重值在实2374 系统工程理论与实践第卷际决策中据属性值得到的客观权重值的大小可能与决策者主观赋予的权重值大小正好相反，即各决策者给出的属性价值和权重值之间可能存在一定的冲突为了协调两者的冲突在寻求客观权重的基础上集成决策者给出的主观权重，并构造属性的主客观综合赋权法基于灰色关联的客观权重极大熵模型综合国内外学者对属性权重的客观模型的研究可以看出：大多数学者都是基于差异性进行属性客观赋权而对属性的重要性的判断并不能仅仅依据其属性值区分度，而更重要的是由其事理逻辑的本身所决定的如在决策中某极重要的属性在被评对象间差异性很小，则不能片面地认为此属性没有其他属性重要如何根据已有信息充分挖掘属性的重要程度’使得得出的结果更加符合事理逻辑，更加合理是极其重要的本文考虑到灰色关联方法的基本思想是根据序列几何形状的相似程度来判断其联系是否紧密，形状越接近’相应序列之间的关联度就越大在评价矩阵中属性元素之间的内在关联性意味着属性之间的关联信息的存在一定程度上反映了价序列中各属性元素相对重要程度基于此思想，首先构造最优方案求得各待评方案与最优方案在各个属性下的关联系数定义称砖为第个决策者给出的评价矩阵中的最优方案，其中，，，，定义设为参考序列为行为序列’则巧’’§为均）与泞在点的关联系数，为分辨系数，另外，在决策问题中，熵理论已经得到了广泛应用，依照现代熵的观点，任何系统除了受到外部约束外，内部总有一定的自由导致系统内的各元素处于最丰富的状态下目前，利用熵思想求解属性的权重取得了很多成果根据极大熵准则，在已有信息的基础上，认为权重熵值达到最大且满足约束条件所得到的权重值比较合理从专家赋予的属指标值所含信息量，通过极大熵来挖掘出属性的客观权重信息根据上述关于事物本质发展过程的熵的思想，结合灰色关联理论，建立更加合理的符合事理逻辑的权重确定模型在权重熵值最大化的目标函数下，同时满足以下三个约束条件：各属性的权重值之和为属性权重大小约束各属性在各方案下与最优方案的关联系数占总方案的关联系数的比例反映了不同属性在方案之间的变动的内在显著性，一定程度上反映了各个属性的重要程度，根据比例的最大值和最小值确定各属性的权重取值区间属性权重方差波动约束各属性权重的方差取值区间由各属性在各方案下与最优方案的关联系数占总方案的关联系数比例的方差最大值和最小值确定即以此构建基于关联系数比例的属性权重的极大熵模型如下：—亡对—’。…⑴’、⑧，《—定理模型必有最优解说明由于模型为单目标规划问题且由目标函数和各约束条件的实际意义可知该模型可行域存在、有界根据最优解存在定理（任意可行域有界的单目标规划一定可以在其可行域上达到最优可知模型必有最优解此模型能够较好地基于事理逻辑的视角，充分地反映被价对象与最优对象关于评价指标间重要性关联程度’为属性权重的判定提供了一种新的思路灰色关联与传统的统计关联不同，统计关联是针对大样本量的随机变量间的关联关系，关联公式体现的是两两比较的思路，满足对称性而灰关联针对的第期闫书丽’等：区间灰数群决策中决策者和属性傾确定方法是小样本，是将各因素统一置于系统之中进行比较与分析，体现了系统的整体性特征此方法相对统计关联分析更加全面系统地描述了被评对象与参考对象关于各属性点的关联程度，应用于属性权重求解更加适合属性的综合权重为了解决决策者给出的主观权重与评价信息所含权重信息的冲突分别给予两者不同的调节系数对这两者进行一定的协调，得到相对合理的综合权重为属性的综合权重为决策者主观给定的权重为属性的客观权重其中，￡，：的大小选取基于最后的裁定者对主观判断和客观结果的偏好若偏好主观判断，则若偏好客观结果，则“若对主观判断和客观结果无特殊偏好，一般取基于群体意见一致性和信息分布的专家权重的确定在群体决策中，满足专家意见一致性的结果往往是最可靠的根据上节关于关联度的分析按照各方案在引入决策者权重后的综合指标值与群体综合指标均值之间关联度最大得到各专家价的一致性将群决策的综合评价方案序列作为参考序列，各专家的综合评价方案序列作为比较序列，求各专家价值与群体专家评价值的关联度则评价者关于各方案的综合指标值为：专家群体关于各方案的综合指标均值为：定义称各专家意见与群体专家意见在每个方案灰色关联系数为乏③，、（为分辨系数各专家意见与群体意见的关联度为—爪“—为了保证决策意见的一致性，按照各方案在弓入专家权重的综合指标值与群体综合指标值关联度最大的原则建立决策者求纏型±、入■■■确保各决策者均参与决策，为临界值，一般可取，其数值建议设为”忐若单个专家与群体的关联度越大，则对应的专家的权重越大但若一味追求专家意见的一致性，忽略部分专家的有意义的不同意见，可能会出现“羊群效应”，得到的结果可能会不合理甚至发生失真为了防止追求意见上的一致而忽略了部分评价者对结果的影响，需要根据决策系统本身含有的信息对专家权重进行赋值而信息不全的决策系统权重本身具有一定的不确定性，文献指出，计量不确定性的最合适的标尺是熵熵最大就是事物状态的丰富程度（混乱程度、复杂程度）自动达到最大值，事物总是在约束下争取最大的自由权依照极大熵准则建立模型为—±—、，■■，系统工程理论与实践第卷为了确保专家权重在满足一致性的基础上满足决策系统的不确定性，将（式和（式转化为单目标规划问题如下：—、；；：其中，表示两个目标之间的平衡系数通过对专家权重的调整考虑到目标函数间公平竞争，一般取“和中为临界值，一般可取，其数值设定参考集结方法与步骤在确定了各决策者关于各属性的综合权重和决策者权重后’多属性群体决策的步骤如下：步骤对各个决策矩阵进行规范化处理步骤确定各决策者给出的决策矩阵中所包含的客观权重值，并与主观权重值进行综合集成（按照第节雄步骤确定决策者权重（按照第节方法步骤第个方案的群体评价值为土根据的大小对各方案进行优劣排序综上，基于灰色关联和极大熵原理的多属性群决策方法有以下两个特点：确定属性权重时考虑了决策者给出的主观权重与评价值蕴含客观权重的冲突；分析决策者权重时，不仅考虑了群体的一致性，又考虑了信息的不确定性因素算例分析为便于比较，采用文献中的案例进行分析某高校在年终考核时欲对三位领导者（教授副教授、进行大众满意度评价现由大众组成的三个团体：教师研究员、大学生而作为决策者进行评价评价属性包括：领导九履行力’工作方式，打分在到之间，决策者对被评对象的打分用区间灰数表示，各决策者给出的评价矩阵和属性权重向量如下“，，「，，，“，，，，，，“，“，，，，，，，，，，试对各领导者进行评价一计算结果及分析步骤按照文献中的规范化方法得到各决策者的规范评价矩阵如下：““，，，“，，“，，第期闫书丽，等区间灰数群决策中决策者和属性权重确定方法■“，步骤按照式⑷求出属性的客观权重并与各决策者给定的属性主观权重值集成，确定出综合权重向量为（取，，步骤按照式（确定出决策者的权重向量为：步骤按照式（得到各方案的群体评价值分别为：由