因素状态值为模糊数的变权综合决策方法

第２６卷第５期２０１４年１０月军械工程学院学报ＪｏｕｒｎａｌｏｆＯｒｄｎａｎｃｅＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇＣｏｌｌｅｇｅＶｏｌ.２６Ｎｏ.５Ｏｃｔ．２０１４ｄｏｉ：１０.３９６９／ｊ.ｉｓｓｎ.１００８-２９５６.２０１４.０５.０１６因素状态值为模糊数的变权综合决策方法胡皓，李德清，赵娜，张红艳（军械工程学院基础部，河北石家庄　０５０００３）摘要：对因素权重为实数、因素状态值为模糊数的多因素不确定性决策问题，由实数型状态变权向量导出模糊数状态变权向量，得出模糊数变权公式，建立模糊数变权综合决策模型，最后给出一个应用模糊数变权综合决策模型的实例．关键词：模糊数；变权；模糊数状态变权向量；综合决策中图分类号：Ｏ１５９　　　　文献标识码：Ａ　　　　文章编号：１００８-２９５６（２０１４）０５-００７５-０４ＶａｒｉａｂｌｅＷｅｉｇｈｔｓＳｙｎｔｈｅｓｉｓＤｅｃｉｓｉｏｎＭａｋｉｎｇＢａｓｅｄｏｎＦｕｚｚｙＮｕｍｂｅｒｓＨＵＨａｏ，ＬＩＤｅ-ｑｉｎｇ，ＺＨＡＯＮａ，ＺＨＡＮＧＨｏｎｇ-ｙａｎ（ＢａｓｉｃＣｏｕｒｓｅｓＤｅｐａｒｔｍｅｎｔ，ＯｒｄｎａｎｃｅＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇＣｏｌｌｅｇｅ，Ｓｈｉｊｉａｚｈｕａｎｇ　０５０００３，Ｃｈｉｎａ）Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｗｉｔｈｒｅｓｐｅｃｔｔｏｔｈｅｐｒｏｂｌｅｍｏｆｄｅｃｉｓｉｏｎｍａｋｉｎｇｉｎｖｏｌｖｉｎｇｍｕｌｔｉｐｌｅｆａｃｔｏｒｕｎｃｅｒｔａｉｎｔｙｉｎｗｈｉｃｈｔｈｅｆａｃｔｏｒｗｅｉｇｈｔｓａｒｅｒｅａｌｎｕｍｂｅｒｓａｎｄｔｈｅｓｔａｔｅｖａｌｕｅｓａｒｅｆｕｚｚｙｎｕｍｂｅｒｓ，ｓｔａｔｅｖａｒｉａｂｌｅｖｅｃｔｏｒｏｆｆｕｚｚｙｎｕｍｂｅｒｓｉｓｉｎｄｕｃｅｄｂｙｔｈｅｓｔａｔｅｖａｒｉａｂｌｅｖｅｃｔｏｒｏｆｒｅａｌｎｕｍｂｅｒｓ，ａｎｄａｆｕｚｚｙｎｕｍｂｅｒｖａｒｉａｂｌｅｆｏｒｍｕｌａｉｓｐｒｏｐｏｓｅｄ．Ｓｉｍｕｌｔａｎｅｏｕｓｌｙ，ａｖａｒｉａｂｌｅｗｅｉｇｈｔｓｙｎｔｈｅｓｉｓｄｅｃｉｓｉｏｎｍａｋｉｎｇｍｏｄｅｌｂａｓｅｄｏｎｆｕｚｚｙｎｕｍｂｅｒｓｉｓｅｓｔａｂｌｉｓｈｅｄ．Ｆｉｎａｌｌｙ，ａｎｅｘａｍｐｌｅｉｓｇｉｖｅｎｔｏｉｌｌｕｓｔｒａｔｅｔｈｅｖａｌｉｄｉｔｙｏｆｔｈｉｓｄｅｃｉｓｉｏｎｍａｋｉｎｇｍｏｄｅｌ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｆｕｚｚｙｎｕｍｂｅｒ；ｖａｒｉａｂｌｅｗｅｉｇｈｔ；ｓｔａｔｅｖａｒｉａｂｌｅｖｅｃｔｏｒｏｆｆｕｚｚｙｎｕｍｂｅｒｓ；ｓｙｎｔｈｅｓｉｓｄｅｃｉｓｉｏｎｍａｋｉｎｇ　　模糊多因素决策是不确定性决策范畴中的重要研究内容．在模糊多因素决策中，加权综合模型是一种广为使用的决策模型．李洪兴教授在研究实数型变权综合时曾指出：无论属性状态值如何变化而权重总是以不变应万变的决策方法，有时很难得出科学的决策结果［１］．同样，对因素权重为实数，因素状态值为模糊数的决策问题而言，常权综合决策模型也存在着同样的问题．为此，笔者利用实数型变权综合决策的思想，先由实数型状态变权向量导出模糊数状态变权向量，然后由常权和状态变权向量建立模糊数的变权公式，最后利用模糊数变权建立模糊数变权综合决策模型．１　预备知识１.１　变权原理变权思想首先由汪培庄先生在文献［１］中提出．李洪兴教授基于因素空间理论对变权方法进行了系统的研究，给出了变权向量和状态变权向量的公理化定义［２］４７-５０．随后，许多学者对变权原理及其应用作了进一步的研究［３-５］．定义１　所谓一组惩罚（激励）型变权是指下述ｍ个映射ｗｊ∶［０，１］ｍ→［０，１］，（ｘ１，…，ｘｍ）｜→ｗｊ（ｘ１，…，ｘｍ）（ｊ＝１，…，ｍ）收稿日期：２０１３-０５-１７；修回日期：２０１４-０９-２３作者简介：胡皓（１９８２－），男，硕士，讲师．主要研究方向：模糊数学．满足３条公理：公理１　∑ｍｊ＝１ｗｊ（ｘ１，…，ｘｍ）＝１，公理２　ｗｊ（ｘ１，…，ｘｍ）关于每个变元连续，公理３　ｗｊ（ｘ１，…，ｘｍ）关于变元ｘｊ单调下降（增加）．　　记Ｘ＝（ｘ１，…，ｘｍ），称Ｗ（Ｘ）＝（ｗ１（Ｘ），…，ｗｍ（Ｘ））为惩罚（激励）型变权向量［２］４７．定义２　构作映射Ｓ∶［０，１］ｍ→［０，１］ｍ，Ｘ｜→Ｓ（Ｘ）＝（Ｓ１（Ｘ），…，Ｓｍ（Ｘ）），称Ｓ（Ｘ）为一个ｍ维惩罚（激励）型状态变权向量．如果满足公理４　ｘｉ＞ｘｊＳｉ（Ｘ）≤Ｓｊ（Ｘ）（Ｓｉ（Ｘ）≥Ｓｊ（Ｘ）），公理５　Ｓｊ（Ｘ）对每个变元连续，公理６　对任何常权向量Ｗ＝（ｗ１，…，ｗｍ），则Ｗ（Ｘ）＝（ｗ１Ｓ１（Ｘ），…，ｗｍＳｍ（Ｘ））／∑ｍｊ＝１ｗｊＳｊ（ｘ）＝Ｗ·Ｓ（Ｘ）／∑ｍｊ＝１ｗｊＳｊ（Ｘ）［６］４５６．　　定理１　如果映射Ｓ∶Ｘ｜→Ｓ（Ｘ）＝（Ｓ１（Ｘ），…，Ｓｍ（Ｘ））满足条件１）ｘｉ≥ｘｊＳｉ（Ｘ）≤Ｓｊ（Ｘ）（Ｓｉ（Ｘ）≥Ｓｊ（Ｘ）），２）Ｓｊ（Ｘ）对每个变元连续，３）Ｓｉ（Ｘ）关于ｘｉ严格单减（单增），但任意凸组合∑ｋ≠ｉｗｋＳｋ（Ｘ）关于ｘｉ非减（非增），则Ｓ（Ｘ）为一个ｍ维惩罚（激励）型状态变权向量［６］４５６-４５７．定理２　设映射Ｓ′∶［０，１］ｍ→（０，＋∞）ｍ，Ｘ｜→Ｓ′（Ｘ）＝（Ｓ′１（Ｘ），…，Ｓ′ｍ（Ｘ）），满足定义２的３条公理，令Ｓｊ（Ｘ）＝Ｓ′ｊ（Ｘ）／∑ｍｊ＝１Ｓｊ（Ｘ），则Ｓ（Ｘ）为ｍ维惩罚型状态变权向量［６］４５７．性质１　设映射Ｓ（ｉ）∶［０，１］ｍ→［０，１］ｍ，Ｘ｜→Ｓ（ｉ）（Ｘ）＝（Ｓ（ｉ）１（Ｘ），…，Ｓ（ｉ）ｍ（Ｘ）），满足定理１的条件，则凸组合∑ｍｉ＝１ｋｉＳ（ｉ）（Ｘ）（ｋｉ≥０）是ｍ维惩罚型状态变权向量［６］４５７．性质２　设Ｓ′（Ｘ）＝（Ｓ′１（Ｘ），…，Ｓ′ｍ（Ｘ）），Ｓ″（Ｘ）＝（Ｓ″１（Ｘ），…，Ｓ″ｍ（Ｘ）），如果他们均满足定理１的条件，那么他们的Ｈａｄａｍａｒｄ乘积Ｓ（Ｘ）＝Ｓ′（Ｘ）·Ｓ″（Ｘ）（Ｓ′１（Ｘ）·Ｓ″１（Ｘ），Ｓ′２（Ｘ）·Ｓ″２（Ｘ），…，Ｓ′ｍ（Ｘ）·Ｓ″ｍ（Ｘ））是ｍ维惩罚型状态变权向量［６］４５７．性质３　设Ｓ′（Ｘ）＝（Ｓ１（Ｘ），…，Ｓｍ（Ｘ））满足定理１的条件，则有１）如果函数ｆ∶［０，１］→［０，１］，ｔ→ｆ（ｔ）连续且单调减，则Ｓｆ（Ｘ）＝（ｆ（Ｓ１（Ｘ）），ｆ（Ｓ２（Ｘ）），…，ｆ（Ｓｍ（Ｘ）））是ｍ维激励型状态变权向量．２）如果函数ｆ∶［０，１］→［０，１］，ｔ→ｆ（ｔ）连续且单调增，则Ｓｆ（Ｘ）＝（ｆ（Ｓ１（Ｘ）），ｆ（Ｓ２（Ｘ）），…，ｆ（Ｓｍ（Ｘ）））是ｍ维惩罚型状态变权向量［６］４５７．１.２　模糊数及其运算法则定义３　实数域Ｒ上正则凸模糊集珦Ａ称为一个模糊数［７］２７．定理３　模糊集珦Ａ为模糊数当且仅当其隶属函数ｆ珦Ａ（ｘ）＝Ｌ珦Ａ（ｘ），１，Ｒ珦Ａ（ｘ烅烄烆），　ａ１≤ｘ＜ａ２，ａ２≤ｘ＜ａ３，ａ３≤ｘ＜ａ４，式中：Ｌ珦Ａ（ｘ）为增函数，右连续；Ｒ珦Ａ（ｘ）为减函数，左连续［７］３５-３７．若ａ１≥０，则称珦Ａ为非负模糊数．为叙述方便，简记为珦Ａ＝［ａ１，ａ２，ａ３，ａ４；Ｌ珦Ａ（ｘ），Ｒ珦Ａ（ｘ）］．若珦Ａ为梯形模糊数，则简记为珦Ａ＝［ａ１，ａ２，ａ３，ａ４］．模糊数是表达模糊信息及决策者模糊偏好的重要方法．其中梯形模糊数形式简单、运算方便，能够充分表达语言值所蕴含的模糊信息，因而在实际应用中被很多学者所采用．本文也选择梯形模糊数给出模糊数变权综合模型．下面给出梯形模糊数的运算法则以及关于模糊数的可能度定义．设非负梯形模糊数珦Ａ＝［ａ１，ａ２，ａ３，ａ４］，珟Ｂ＝［ｂ１，ｂ２，ｂ３，ｂ４］，规定运算法则：１）加法：珦Ａ＋珟Ｂ＝［ａ１＋ｂ１，ａ２＋ｂ２，ａ３＋ｂ３，ａ４＋ｂ４］；２）减法：珦Ａ－珟Ｂ＝［ａ１－ｂ４，ａ２－ｂ３，ａ３－ｂ２，ａ４－ｂ１］；３）乘法：珦Ａ·珟Ｂ＝［ａ１·ｂ１，ａ２·ｂ２，ａ３·ｂ３，ａ４·ｂ４］；４）数乘：ｋ珦Ａ＝［ｋａ１，ｋａ２，ｋａ３，ｋａ４］（ｋ∈Ｒ＋）；５）除法：珦Ａ／珟Ｂ＝［ａ１／ｂ４，ａ２／ｂ３，ａ３／ｂ２，ａ４／ｂ１］（ｂ１＞０）；６）单调性运算：设ｆ（ｘ）为［０，１］上的单调增函数，定义模糊数函数珟ｆ（珦Ａ）＝［ｆ（ａ１），ｆ（ａ２），ｆ（ａ３），ｆ（ａ４）］；若ｆ（ｘ）为［０，１］上的单调减函数，则定义模糊数函数珟ｆ（珦Ａ）＝［ｆ（ａ４），ｆ（ａ３），ｆ（ａ２），ｆ（ａ１）］．定义４　设有２个模糊数珦Ａ，珟Ｂ，定义珦Ａ＞珟Ｂ的６７军械工程学院学报　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　２０１４　可能度为Ｐ（珦Ａ＞珟Ｂ）＝（１＋（ｓ－珦Ａ－ｓ－珟Ｂ）＋（ｓ＋珦Ａ－ｓ＋珟Ｂ）｜ｓ－珦Ａ－ｓ－珟Ｂ｜＋｜ｓ＋珦Ａ－ｓ＋珟Ｂ｜）／２．（１）　　当Ｐ（珦Ａ＞珟Ｂ）＜１２时，认为珦Ａ珟Ｂ；当Ｐ（珦Ａ＞珟Ｂ）＞１２时，认为珦Ａ珟Ｂ；当Ｐ（珦Ａ＞珟Ｂ）＝１２时，认为珦Ａ＝珟Ｂ［８］．２　模糊数变权综合模型２.１　模糊数状态变权向量设因素的模糊数状态向量为珟Ｘ＝（珦Ａ（１），珦Ａ（２），…，珦Ａ（ｎ）），其中，珦Ａ（ｉ）＝［ａｉ１，ａｉ２，ａｉ３，ａｉ４］（ｉ＝１，２，…，ｎ）．　　由珟Ｘ可定义ｎ组惩罚型实数向量　　ｘｉＰ１＝（ａ１１，…，ａｉ－１１，ａｉ４，ａｉ＋１１，…，ａｎ１），　　ｘｉＰ２＝（ａ１２，…，ａｉ－１２，ａｉ３，ａｉ＋１２，…，ａｎ２），　　ｘｉＰ３＝（ａ１３，…，ａｉ－１３，ａｉ２，ａｉ＋１３，…，ａｎ３），　　ｘｉＰ４＝（ａ１４，…，ａｉ－１４，ａｉ１，ａｉ＋１４，…，ａｎ４），以及ｎ组激励型实数向量　　ｘｉＥ１＝（ａ１４，…，ａｉ－１４，ａｉ１，ａｉ＋１４，…，ａｎ４），　　ｘｉＥ２＝（ａ１３，…，ａｉ－１３，ａｉ２，ａｉ＋１３，…，ａｎ３），　　ｘｉＥ３＝（ａ１２，…，ａｉ－１２，ａｉ３，ａｉ＋１２，…，ａｎ２），ｘｉＥ４＝（ａ１１，…，ａｉ－１１，ａｉ４，ａｉ＋１１，…，ａｎ１）（ｉ＝１，２，…，ｎ）．定义５　设珟Ｘ＝（珦Ａ（１），珦Ａ（２），…，珦Ａ（ｎ））为模糊数向量，其中珦Ａ（ｉ）＝［ａｉ１，ａｉ２，ａｉ３，ａｉ４］，而Ｓ（Ｔ）＝（Ｓ１（Ｔ），…，Ｓｎ（Ｔ））为［０，１］ｎ上满足定理１条件的惩罚型状态变权向量．令~Ｓ（珟Ｘ）＝（珟Ｓ１（珟Ｘ），珟Ｓ２（珟Ｘ），…，珟Ｓｎ（珟Ｘ）），其中珟Ｓｉ（珟Ｘ）＝［Ｓｉ（ｘｉＰ１），Ｓｉ（ｘｉＰ２），Ｓｉ（ｘｉＰ３），Ｓｉ（ｘｉＰ４）］（ｉ＝１，２，…，ｎ），则称~Ｓ为由Ｓ导出的惩罚型模糊数状态变权向量．定义６　设珟Ｘ＝（珦Ａ（１），珦Ａ（２），…，珦Ａ（ｎ））为模糊数向量，其中珦Ａ（ｉ）＝［ａｉ１，ａｉ２，ａｉ３，ａｉ４］（ｉ＝１，２，…，ｎ），而Ｓ（Ｔ）＝（Ｓ１（Ｔ），…，Ｓｎ（Ｔ））为［０，１］ｎ上满足定理１条件的激励型状态变权向量．令~Ｓ（珟Ｘ）＝（珟Ｓ１（珟Ｘ），珟Ｓ２（珟Ｘ），…，珟Ｓｎ（珟Ｘ）），其中珟Ｓｉ（珟Ｘ）＝［Ｓｉ（ｘｉＥ１），Ｓｉ（ｘｉＥ２），Ｓｉ（ｘｉＥ３），Ｓｉ（ｘｉＥ４）］，则称~Ｓ为由Ｓ导出的激励型模糊数状态变权向量．２.２　模糊数变权公式及变权综合决策模型设Ｗ＝（ｗ１，ｗ２，…，ｗｎ）为因素的实数权向量，珟Ｘ＝（珦Ａ（１），珦Ａ（２），…，珦Ａ（ｎ））为因素的模糊数状态向量，珦Ａ（ｉ）＝［ａｉ１，ａｉ２，ａｉ３，ａｉ４］（ｉ＝１，２，…，ｎ），~Ｓ（珟Ｘ）＝（珟Ｓ１（珟Ｘ），~Ｓ２（珟Ｘ），…，~Ｓｎ（珟Ｘ））为惩罚（激励）型模糊数状态变权向量．考虑到变权介于［０，１］之间，而梯形模糊数的除法规定中ａ３／ｂ２和ａ４／ｂ１可能＞１，因此，令ｗ～′ｊ（珟Ｘ）＝［ｗ～１ｊ，ｗ～２ｊ，ｗ～３ｊ，ｗ～４ｊ］＝ｗｊ珟Ｓｊ（珟Ｘ）／∑ｎｉ＝１ｗｉ珟Ｓｉ（珟Ｘ）（ｊ＝１，２，…，ｎ），又置珦ｗｊ（珟Ｘ）＝［ｗ～１ｊ，ｗ～２ｊ，ｗ～３ｊ∧１，ｗ～４ｊ∧１］（ｊ＝１，２，…，ｎ），（２）则珦Ｗ（珟Ｘ）＝（珦ｗ１（珟Ｘ），珦ｗ２（珟Ｘ），…，珦ｗｎ（珟Ｘ））就是由Ｗ和~Ｓ（珟Ｘ）得到的惩罚（激励）型模糊数变权向量．最后，构造模糊数变权综合决策模型为Ｍ′（珟Ｘ）＝［ｍ１，ｍ２，ｍ３，ｍ４］＝∑ｎｊ＝１珦ｗｊ（珟Ｘ）珦Ａ（ｊ）．（３）　　考虑到笔者是在［０，１］上构造模糊数，因此决策结果也应该是［０，１