新型变权弱化缓冲算子的构造及其应用

统计与决策２０13年第22期·总第394期新型变权弱化缓冲算子的构造及其应用姚天祥1，顾红2，高红1（1.南京信息工程大学经济管理学院，南京210044；2.同济大学经济与管理学院，上海201804）摘要：根据灰色系统理论中的新息优先利用原则，在灰色系统缓冲算子三公理体系下，文章首次将变权缓冲算子的构造与单调函数联系起来,构造了一大类新型变权弱化缓冲算子，同时研究了它们的特性及多种内在关系，并利用实例来验证缓冲算子的实用性和有效性，结果表明新构造的缓冲算子能明显提高GM(1,1)模型在冲击扰动系统预测中的预测精度，消除了冲击扰动因素对原始数据的干扰。关键词：缓冲算子；弱化缓冲算子；灰色系统；单调函数中图分类号：N941.5文献标识码：A文章编号：1002-6487（2013）22-0075-03基金项目：国家自然科学基金面上项目(71171116)；教育部人文社会科学研究青年项目(09YJC630129)；江苏省高校哲学社会科学基金项目(09SJD630059)作者简介：姚天祥(1971-),男,河南新蔡人，博士，副研究员，研究方向:灰色系统理论。0引言缓冲算子理论作为解决由于冲击扰动系统的大量存在导致定量预测结果与直观的定性分析的结论不符的现象的有效途径之一，自从产生以来已经在许多领域得到了广泛的应用。刘思峰教授在20世纪80年代提出了缓冲算子的概念和定理，20世纪90年代在文献[1]中首先构建了缓冲算子的三公理系统。在文献[2]中王正新首次将变权的思想引入缓冲算子的构造中，定义了缓冲算子调节度来反映了缓冲算子对原始序列的作用强度，分别构造了变权弱化缓冲算子和变权强化缓冲算子，并研究了缓冲算子调节度与可变权重之间的关系。在此基础上，进一步完善了缓冲算子的公理体系，提出了第四条公理。文献[3]构造了新的变权缓冲算子并利用遗传算法探讨了缓冲算子的优化问题。文献[4]构造了几何变权弱化缓冲算子和几何变权强化缓冲算子并利用遗传算法探讨该类缓冲算子的优化问题。文献[5]和[6]首次将缓冲算子的构造与函数联系起来,分别构建了基于单调函数的弱化缓冲算子以及强化缓冲算子,从而为缓冲算子的构造开辟了新方向。本文在此基础上首次构造基于单调函数的新型弱化变权缓冲算子，首次将变权缓冲算子与函数联系起来，从而为解决冲击扰动数据序列在建模预测过程的干扰提供了一种新的方法。1基本概念公理1[7](不动点公理)设X为系统行为数据系列，D为序列算子，则D满足x(n)d=x(n)。公理2[7](信息充分利用公理)系统行为数据系列X中每一个数据x(k)(k=1,2,⋯,n)都应充分地参与序列算子作用的整个过程。公理3[7](解析化、规范化公理)任一x(k)d,(k=1,2,⋯,n)皆可由一个统一的x()k(k=1,2,⋯,n)的初等解析式表达。文献[7]给出了单调增长序列、单调衰减序列的定义。2弱化缓冲算子的构造定理4设X=(x(1),x(2),⋯,x(n))为系统原始行为数据序列，x(k)0，k=1,2,⋯,n，f为一严格单调递增函数，g为其反函数，f0。其缓冲序列为XD1=(x(1)d1,x(2)d1,⋯,x(n)d1)，其中x(k)d1=g{λf(x(k))+f(x(n))λ+1}则当X为单调增长序列、单调衰减序列和振荡序列时，D1都为弱化缓冲算子。证明容易验证，x(n)d1=g{λf(x(n))+f(x(n))λ+1}=x(n)所以，D1满足缓冲算子三公理，因而D1为缓冲算子。下面证明D1为弱化缓冲算子。(1)当X为单调增长序列时，即0x(k)x(k+1)⋯x(n)，因f为一严格单调递增函数，f0，g为其反函数，故有0f(x(k))f(x(k+1)⋯f(x(n))方法应用75统计与决策２０13年第22期·总第394期x(k)d1=g{λf(x(k))+f(x(n))λ+1}g{λf(x(k))+f(x(k))λ+1}=g{f(x(k))}=x(k)则x(k)d1x(k)，即当X为单调增长序列时，D1为弱化缓冲算子。(2)同理可证，当X为单调衰减序列时，D1为弱化缓冲算子。(3)当X为振荡序列时设ìíîx(l)=max{x(k)|k=1,2,⋯,n}x(h)=min{x(k)|k=1,2,⋯,n}由于x(l)x(n)，又因为f为一严格单调递增函数，f0，g为其反函数，故有x(l)d1=g{λf(x(l))+f(x(n))λ+1}g{λf(x(l))+f(x(l))λ+1}=g{f(x(l))}=x(l)所以x(l)d1x(l)。同理可证，x(h)d1x(h)。故X为振荡序列时，D1为弱化缓冲算子。定理5设X=(x(1),x(2),⋯,x(n))为系统原始行为数据序列，x(k)0，k=1,2,⋯,n，f为一严格单调递增函数，g为其反函数，f0。其缓冲序列为XD2=(x(1)d2,x(2)d2,⋯,x(n)d2)，其中x(k)d2=g{f1+λ(x(n))fλ(x(k))}则当X为单调增长序列、单调衰减序列和振荡序列时，D2都为弱化缓冲算子。证明容易验证，x(n)d2=g{f1+λ(x(n))fλ(x(n))}=x(n)所以，D2满足缓冲算子三公理，因而D2为缓冲算子。下面证明D2为弱化缓冲算子。（1）当X为单调增长序列时，即0x(k)x(k+1)⋯x(n)，因f为一严格单调递增函数，f0，g为其反函数，故有0f(x(k))f(x(k+1)⋯f(x(n))g{f1+λ(x(n))fλ(x(k))}g{f1+λ(x(n))fλ(x(k))}=g{f(x(k))}=x(k)x(k)d2=g{f1+λ(x(n))fλ(x(k))}x(k)则x(k)d2x(k)，即当X为单调增长序列时，D2为弱化缓冲算子。(2)同理可证，当X为单调衰减序列时，D2为弱化缓冲算子。(3)当X为振荡序列时设ìíîx(l)=max{x(k)|k=1,2,⋯,n}x(h)=min{x(k)|k=1,2,⋯,n}由于x(l)x(n)，又因为f为一严格单调递增函数，f0，g为其反函数x(l)d2=g{f1+λ(x(n))fλ(x(l))}g{f1+λ(x(l))fλ(x(l))}=g{f(x(l)}=x(l)所以x(l)d2x(l)。同理可证，x(h)d2x(h)。故X为振荡序列时，D2为弱化缓冲算子。定理6设X=(x(1),x(2),⋯,x(n))为系统原始行为数据序列，x(k)0，k=1,2,⋯,n，f为一严格单调递增函数，g为其反函数，f0。其缓冲序列为XD3=(x(1)d3,x(2)d3,⋯,x(n)d3)，其中x(k)d3=g{∑i=kn[λf(x(i))+(1-λ)f(x(n))]n-k+1}则当X为单调增长序列、单调衰减序列和振荡序列时，D3都为弱化缓冲算子。证明容易验证，x(n)d3=g{∑i=nn[λf(x(i))+(1-λ)f(x(n))]n-n+1}=x(n)所以，D3满足缓冲算子三公理，因而D3为缓冲算子。下面证明D3为弱化缓冲算子。（1）当X为单调增长序列时，即0x(k)x(k+1)⋯x(n)，因f为一严格单调递增函数，f0，g为其反函数，故有0f(x(k))f(x(k+1)⋯f(x(n))x(k)d3=g{∑i=kn[λf(x(i))+(1-λ)f(x(n))]n-k+1}g{()n-k+1[λf(x(k))+(1-λ)f(x(k))n-k+1}=g{f(x(k)}=x(k)则x(k)d3x(k)，即当X为单调增长序列时，D3为弱化缓冲算子。(2)同理可证，当X为单调衰减序列时，D3为弱化缓冲算子。(3)当D1为振荡序列时设ìíîx(l)=max{x(k)|k=1,2,⋯,h}x(h)=min{x(k)|k=1,2,⋯,n}由于x(l)x(n)，又因为f为一严格单调递增函数，f0，g为其反函数，故有x(l)d3=g{∑i=ln[λf(x(i))+(1-λ)f(x(n))]n-k+1}g{()n-l+1[λf(x(l))+(1-λ)f(x(l))n-l+1}=g{f(x(l)}=x(l)所以x(l)d3x(l)。同理可证，x(h)d3x(h)。故X为振荡序列时，D3为弱化缓冲算子。定理7设X=(x(1),x(2),⋯,x(n)为系统原始行为数据序列，x(k)0，k=1,2,⋯,n，f为一严格单调递增函数，g为其反函数，f0。其缓冲序列为方法应用76统计与决策２０13年第22期·总第394期XD4=(x(1)d4,x(2)d4,⋯,x(n)d4)，其中x(k)d4=g{∑i=kn[wif1-λ(x(i))*fλ(x(k))]∑i=knwi}则当X为单调增长序列、单调衰减序列和振荡序列时，D4都为弱化缓冲算子。证明容易验证，x(n)d4=g{∑i=nn[wif1-λ(x(i))*fλ(x(n))]∑i=nnwi}=g{f(x(n))}=x(n)所以，D4满足缓冲算子三公理，因而D4为缓冲算子。下面证明D4为弱化缓冲算子。（1）当X为单调增长序列时，即0x(k)x(k+1)⋯x(n)，因f为一严格单调递增函数，f0，g为其反函数，故有0f(x(k))f(x(k+1)⋯f(x(n))x(k)d4=g{∑i=kn[wif1-λ(x(i))*fλ(x(k))]∑i=knwi}=g{wkf1-λ(x(k))*fλ(x(k))+⋯+wnf1-λ(x(n))*fλ(x(k))∑i=knwi}g{∑i=knwif(x(k))∑i=knwi}=x(k)则x(k)d4x(k)，即当X为单调增长序列时，D4为弱化缓冲算子。(2)同理可证，当X为单调衰减序列时，D4为弱化缓冲算子。(3)当X为振荡序列时设ìíîx(l)=max{x(k)|k=1,2,⋯,n}x(h)=min{x(k)|k=1,2,⋯,n}由于x(l)x(n)，又因为f为一严格单调递增函数，f0，g为其反函数，故有x(l)d4=g{∑i=ln[wif1-λ(x(i))*fλ(x(l))]∑i=lnwi}=g{wlf1-λ(x(l))*fλ(x(l))+⋯+wnf1-λ(x(n))*fλ(x(l))∑i=knwi}g{∑i=lnwif(x(l))∑i=lnwi}=x(l)所以x(l)d4x(l)。同理可证，x(h)d4x(h)。故X为振荡序列时，D4为弱化缓冲算子。3实例分析采用文献[3]中某市1994~1998年乡镇企业总产值数据为算例，来验证本文构造的基于单调函数的变权弱化缓冲算子，建立在GM（1,1）模型，并利用所构造的缓冲算子作用于原始数据序列，并进行数值的预测。见表1。表1某市1994~1998年乡镇企业总产值年份总产值/（亿元）增长率（%）1994269.54—1995384.4542.601996474.6223.501997564.79191998597.65.80由表1知，乡镇企业总产值增长率分别为42.6%、23.5%、19%、5.8%，显然前半部分增长速度较快，后半部分增长速度比较慢，如果用此数据直接建模预测是不可取的。认真分析分析这种情况，主要是两个方面的原因：第一，受国家产业政策的影响，在乡镇企业发展过程中，国家给予了相当力度的政策倾斜，使得他们能够利用国家产业政策求得快速发展。第二，乡镇企业发展初期，由于刚刚起步，基数较小，因此乡镇企业进入的往往是一些规模小，效益好，发展快的行业。但是，经过二十年左右的发展，这种状况有了变化，国家逐步收回倾斜的产业政策，不再给予乡镇企业优惠政策，另外，乡镇企业自身经过这段时间的原始积累后，有了相当的积累，具备了一定的规模，因此保持初期的发展趋势已经不可能了。为了能够对乡镇企业的发展趋势作一个合理的预策，必须对其发展数据进行弱化处理。分别取λ=0.5，0.6，0.7三种情况，下面用弱化缓冲算子D1（其中g(x)=f(x)=x）作用于1994~1997年的数据，建立GM（1，1）模型，模拟1998年该乡镇企业的总产值