浅谈初中数学教学中如何培养学生合情推理能力

2012年安庆市数学学科教学论文评选参评论文浅谈初中数学教学中如何培养学生合情推理能力韩清华（潜山县痘姆中心学校246306）摘要：初中的数学课堂中要想有效地实施课堂教育教学，就需要最大程度地激发学生的求知欲望，努力培养学生演绎推理能力以及合情推理能力。数学发展史中的每一个重要发现，除演绎推理外，合情推理也起着重要作用。因此在课堂教学中，教师应该根据教材内容对学生进行合情推理能力的培养，这样不仅能够提高课堂教学质量，更重要的是有助于学生推理能力的培养和解题能力的提高。关键词：合情推理；归纳；类比；培养合情推理在数学中应用广泛，初中学生处于形象思维向抽象思维过渡的阶段。新的知识对他们而言具有很大的挑战性，如果不注重合情推理能力的培养，学生很可能会形成表面上听得懂，遇到实际问题却不会做；简单的题会，稍微变式题就不会的情况，作为一名数学教师，如何培养学生合情推理能力，找到培养和发展学生的合情推理的能力的方法。显得尤为重要。为此，我做了一些粗浅的探索，结合自己的教学实践，从以下几个方面阐述一下自己对这一理念的理解。1合情推理的涵义1、1什么是合情推理，合情推理是根据已有的事实和正确的结论（包括经验和实践结果），以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程。这种推理的途径是从观摩、实验入手，凭数学直觉，通过类比而产生联想，归纳而提出猜想，初中阶段合情推理常用的思维方法：归纳推理、类比推理。新课标中指出“学生通过义务阶段的数学学习，经历观察、实验、猜想、证明等数学活动，发展合情推理能力和初步演绎推理能力”。[1]在问题解决中，合情推理具有猜想和发现结论，探索和提供思路的作用，有利于创新意识的培养。1、2合情推理与演绎推理的关系演绎推理是根据自己已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程。数学建构主义认为：知识并非是主体对客体的被动的镜面式反映，而是一个主动的建构过程，学习者通过不断对各种信息的加工，转换，形成假设，所以合情合理是数学建构主体思维的关键步骤，也是必不可少的思维方法，它可以提供知识的深化，加速知识的迁移，能力的提升。1、3合情推理对学生发展的意义波利亚反复呼吁只要我们能承认数学过程中需要合情推理，需要猜想的话，数学教学中就必须有教猜想的地方，必须为发明做准备。或至少给一点发明的尝试。[2]虽然论证推理是数学的特殊标志，学生应当掌握。但是，合情推理是数学创造工作赖以进行的必须技能，为了在数学上取得真正成就，就得掌握合情推理，对于一般学生或以数学为业余爱好的学生，也必须学习和体验合情推理。因此，“既教证明，又教猜想”培养学生合情推理，已经到了刻不容缓的地步。2合情推理的基本特征合情推理是一种生动活泼的推理，它没有演绎推理严谨、严密等特征，但却有看自己独有的一些特征。2、1创新性合情推理的创新性是指推理的思路或推理的过程具有新颖性和突破性，这种创新性主要来源于合情推理过程中的直觉和灵感。直觉是一种思维形式，它是在丰富的知识与经验的基础上，在短时间内直观地把握事物的本质，瞬间做出判断的思维形式，心理学家的研究成果表明，直觉是直接觉察事物的心理活动，在合情推理的过程中，无论是类比联想，还是归纳联想，往往要借助于直觉思维。灵感也是一种思维形式。在合情推理中，这是一种重要的思维形式，灵感是经过长期思维后的瞬间顿悟，是思维信息迅速转化和急剧重组，形成新的信息系统，从而使思维出现新的突破。2、2经验性经验性表现为与本人原有的知识和经验密切相关。学生经过小学阶段的学习，已有了初步的解题经验，在新知的探究中，学生往往会根据自己的经验，来理解解答面临的新的问题。如在做行程问题的应用题时，就会想到画线段图，学习有理数减法时，会想到转化成加法等等。2、3自由性常表现为较少受逻辑规划严格约束和限制。以及数学表述的非形式化。所以说，合情推理是生动活泼的，正是有了不受束缚的思维，才有了大胆的猜想。但这种自由同时要受正确理论的制约，必须是相对的自由，是思维撞击的结果。2、4不确定性结论的不确定性，即合情推理的结果不能保证结论绝对正确。合情推理是从个别到普通的推理，是从特殊到一般的推理。有时还是从一个普通到另一个普通的推理。所以，合情推理的结果的正确与否，并不完全依赖于前提条件。再加上合情推理产生于学习者个人的联想、猜想，这就决定了合情推理的结论与条件之间并无必然性的联系。有时即使条件正确，由于推理者个人的原有认知结构的差异，有时还可能出现不正确的结论，因而通过合情推理而得到的结论还有待于理论和实践的检验、证明。例如：伟大的法国数学家费尔马从素数5、17、257、65537中得出，他们的一般形式是221n+1且它们的恰好等于1、2、3、4、的值，于是费尔马通过归纳，做出了大胆猜想，凡是形如221n+1的数都是素数，在过了多年的时间后，著名的数学家欧拉发现了当n=6时，225+1=641×6700417，显然，这不是素数，从而推翻了费尔马的猜想。可见，合情推理的结果不一定是正确的。3合情推理能力的培养途径在数学教学过程中，培养学生的合情推理能力，是新课标对教学过程提出的要求。也是时代对我们教育提出的要求。对于学生来说，数学不仅是掌握基础知识与基本技能，也是在教师引导和帮助下的一种经验积累的过程。如何在数学教学中培养学生的合情推理能力，我认为可以从以下几个方面做起：3、1带领学生“找规律”每年的中考，各省市都会出现“找规律”的题型，这其实也就是合情推理的应用。如2009年安徽省中考题：19、学校植物园沿路护栏纹部分设计成若干个全等菱形图案，每增加一个菱形图案，纹饰长度就增加dcm，如图所示，已知每个菱形图案的边长103cm，其一个内角为60度。（1）若d＝26,则该纹饰要231个菱形图案，求纹饰的长度Ｌ；（2）当d=20时，若保持（1）中纹饰长度不变，则需要多少个这样的菱形图案？2010年青岛中考第14题：如图，是用棋子摆成的图案，摆第1个图案需要7枚棋子，摆第2个图案需要19枚棋子，摆第3个图案需要37枚棋子，按照这样的方式摆下去，则摆第6个图案需要枚棋子，摆第n个图案需要枚棋子。2011年安徽中考第18题：在平面直角坐标系中，一蚂蚁从原点Ｏ出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位，其行走路线如下图所示。（1）填写下列各点的坐标：Ａ1（，）Ａ3（，），Ａ12（，）。（2）写出Ａn的坐标（n是正整数）这些都是在解决有关问题时渗透合情推理，在平时的教学中都涉及得比较多。如例1、有一串单项式：-x、2x2、-3x3、4x4、……-19x19、20x20（1）你能说出它们的规律是什么吗？（2）写出第n个，第（n+1）个单项式。例2、观察下面的几个算式：1+2+1＝41+2+3+2+1＝91+2+3+4+3+2+1＝161+2+3+4+5+4+3+2+1=25^根据你所发现的规律，请你直接写出下面式子的结果。1+2+3+……+99+100+99+……+3+2+1＝以上类似问题的解决都是通过观察、分析、猜想再不断验证，最后解决问题，发展学生的合情推理能力。3.2鼓励学生象数学家一样地提出猜想G、被利亚曾指出：数学的创造过程是与其他知识的创造过程一样的，在证明一个定理前，你先得猜想这个定理的内容，在你完全完全做出详细的证明之前，你先得猜想证明的思路，你要先把观察到的结果加以综合，然后加以类比，你得一次又一次地尝试。数学家的创造性成果是论证推理（演绎推理）即证明，但这个证明是通过合情推理，通过猜想而发现的。[3]合情推理与演绎推理是相辅相成的，在证明一个定理之前，先得猜想、发现一个命题的内容，在完全作出证明之前，先得不断检验、完善、修改所提出的猜想。在这一系列的过程中，需要充分运用的不是论证推理，而是合情推理，合情推理的实质是“发现——猜想”，牛顿早就说过：“没有大胆的猜想就做不出伟大的发现”。“先猜后证——这是大多数的发现之道。在解决问题时，合情推的的特征是不按逻辑程序去思考，但实际上是学生把自己的经验与逻辑推理的方法有机地整合进来的一种跳跃性的表现形式。因此在数学学习中，既要强调思维的严密性，结果的正确性，也要重视思维的直觉，探索性和发现性，即应重视数学合情推理能力的培养。例如：在七年级数学“幂的运算”性质的推导过程中，就常常会通过猜想来论证问题，解决问题。计算：22×23＝2×2×2×2×2＝25103×104=10×10×10×10×10×10×10＝107a2×a3＝a·a·a·a·a＝a5猜想：am·an？am+n怎么证明呢？再如：八年级数学“怎样判定三角形全等”这节的教学中，三角形全等的判定方法都是利用以下方式得出：操作构造问题情景——提出问题——解决问题——得出结论。这样通过设置n个密切相关而又各具特色的问题，使得探究过程自然如一而又不落欲套，有效地培养了学生的合情推理能力。3.3在讲课中通过类比得出结论，渗透合情推理类比推理具有以下三个特点：（1）类比是人们已经掌握了的事物的属性，推测正在研究的事物的属性，是以旧有的认识为基础，类比出新的结果。（2）类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性。（3）类比的结果是猜测性的，不一定可靠。但它却有发现的功能，在历史发展过程中，人类不断发现自然、征服自然，发明创造了不少有利于人类生存的工具。在教学过程中，我们也可以利用类比推理学习新的知识。例如：“二次根式——加减法”的教学中，合并同类的二次根式类比整式中合并同类项的方法，这符合学生的思维品质和认知规律，有效地提高学生的合情推理能力。再比如初中有理数的运算律的得出应是类比小学学习的运算律。初中分式性质与运算也是完全类似小学的分数的性质和运算。不等式的性质，解法及应用类比等式的性质，一元一次方程的解法与应用。通过观察猜想获得结论和法则。在学习矩形、菱形、正方形等四边形的性质和判定时类比平行四边形。初中许多结论和定理的给出都是类比，是发展学生合情推理的最好形式。比教科书真接给出结论更容易让学生接受，也更好地体现了新课标的要求。3.4让学生在熟悉的生活情境中动手操作，发展合情推理能力学校的数学教学活动除以教材内容为素材以外，还有很多活动也能有效地发展学生的合情推理能力。例如：在勾股定理的教学中设计在方格纸上通过计算面积的方法探索勾股定理活动，在问题设置上鼓励学生充分经历这一观察、归纳、猜想的过程，尝试求出三个正方形的面积，比较这三个正方形的面积，猜想得到三个正方形面积的关系。初步发现直角三角形三边存在的关系，再通过上述过程归纳出猜想，在学生动手做一做，试一试，想一想的过程中发展学生的合情推理能力。又如：在学习“由边长判定直角三角形”时，设计的实验：通过选择特定长度的绳子围成三角形，然后计算长度，度量角度，而后再取不同长度的绳子围成另一种特定边长的三角形，重复上面的步骤；这就是实验和问题有明显的“勾股”背景。这个实验从数和形两方面得到了直观印象，从而形成了数学思维，从潜移默化中培养了学生的合情推理能力。数学来源于生活，服务于生活，学生身边的数学，都是培养学生合情推理的素材，教学中要充分挖掘和利用。总之，数学是培养人推理能力的最佳途径，作为教师应要根据学科特点和学生实际，努力把握合情推理与演绎推理的结合点，积极鼓励学生进行推理能力的训练，主动发展他们的数学综合素质。面对新课程的挑战，我们要努力营造和谐的氛围，激发学生主动参与的兴趣，给学生创设主动参与的条件，让学生真正地参与到知识发生、发展的过程中，把合情推理能力的培养落实到数学课堂教学的各个具体环节中，从而达到学生整体素质的全面提高，为学生的终生发展打下良好的基础。参考文献：[1]全日制义务教育教学课程标准解决[M]北京：北京师范大学出版社，2002[2]Ｇ·波利亚怎样解题——数学教学法的新面貌[M]上海：上海科技教育出版社，2002[3]Ｇ·波利亚数学与猜想[M]北京：科学出版社，2001