重复灰色群决策问题研究宋捷

统计与决策２０16年第3期·总第447期重复灰色群决策问题研究宋捷1a，1c，姚天祥1b，1c，徐宁2，党耀国1a（1.南京信息工程大学a.中国制造业发展研究院；b.气象灾害预报预警与评估协同创新中心；c.经济管理学院，南京210044；2.南京航空航天大学经济与管理学院，南京，211100）摘要：在部分决策问题中，存在同样决策场景下对不同的方案做反复评估来得到最终决策的情况，文章重点研究了这种重复决策问题。确定了重复决策信息下区间灰数非线性“奖优罚劣”算子及使用优化模型确定指标权重模型，提出了根据从前决策者决策值与综合决策值间差异度确定决策者权重的方法，并建立了灰靶决策模型以确定最优决策。最后文章使用了一个实例算例说明了算法的有效性和可行性。关键词：灰色系统；群决策；权重；灰靶中图分类号：N94文献标识码：A文章编号：1002-6487（2016）03-0023-04基金项目：国家自然科学基金资助项目(71371098；71071077；71171116)；中央高校基本科研业务费专项资金资助(NC2012001；NZ2010006；NR2011009；NR2013015)；高校哲学社会科学重点研究基地重大项目(2012JDXM005)；中国制造业研究院开放课题（SK20140090-7）作者简介：宋捷（1982—），男，河北张家口人，博士，讲师，研究方向：不确定性决策、区域经济。0引言随着经济社会的发展进步，决策问题越来越复杂，单个决策者由于自身理性水平、知识和经验限制无法全面把握问题以做出有效决策，群决策受到了越来越广泛的关注。由于决策者知识结构、评判水平和个人偏好的不同，如何有效的通过每个决策者决策信息得到群决策结果是研究的重点。部分学者重点研究决策者信息的有效集结方法[1-3]，其中如文献[4]提出了一种蚁群聚类算法，将决策者的决策值转化为偏好矢量并由此进行聚类，文献[5]建立了基于灰色关联度决策者聚类方法，并在聚类基础上对决策者信息进行集结。文献[6]在定义序区间基础上研究了专家对方案序区间偏好信息的群决策方法。文献[7]提出了将专家偏好信息依次集结为虚拟专家，将群决策转化为两人决策问题以提高群体决策结果一致性的决策方法。部分学者重点研究群决策中专家权重的确定，文献[8]采用了主观赋权法。文献[9]定义了决策者的平均决策值为理想决策，并由在理想决策上的投影确定专家权重。文献[10]建立了最小化决策值间差异的非线性规划模型来确定决策者权重。灰靶决策也是一种对决策方案进行比较的灰色系统方法，灰靶决策由邓聚龙教授所创立，即在一组模式序列中，找出最靠近目标值的数据构建标准模式，各模式与标准模式构成灰靶，标准模式为靶心[11]，刘思峰教授等对灰靶决策进行了研究，基于欧氏距离定义了靶心距，并构建了s维球形灰靶[12]。文献[13]研究了三参数区间灰数的灰靶决策，文献[14]提出了多粒度语言灰靶决策模型。部分决策问题中，可能会在同样决策场景下对不同的方案做反复决策，比如公司定期招聘。本文重点研究了这种重复决策问题，充分利用了之前决策的信息来确定最优方案、确定决策者权重等，可以通过决策者权重大小督促决策者尽力提供更高质量的决策判断，并可以重复利用信息提高群决策的质量。1新的灰色群决策模型建立1.1决策原理和决策数据的标准化设重复灰色群决策问题决策指标集为u={u1u2...um}，第h次决策时的方案集为Ah={}Ah1Ah2...Ahn，决策群体集为E={}e1e2...eq(q³2)，其中es表示第s个决策者，第h次决策时其权重为λhs，且满足ås=1qλhs=1。决策者es方案Ahi在指标uj下的属性值为区间灰数，且ah.sij()⊗Î[]-ah.sijaˉh.sij。下面使用重复决策信息下区间灰数非线性“奖优罚劣”算子对数据进行标准化处理，令zhj=12nqhåk=1hås=1qåi=1n(-ak.sij+aˉk.sij)(j=12...m;s=12...q;k=12...h)，xh.*j为适中型指标的适中值，zh.'j=12æèöøminkminsmini-xk.sij+xh.*j，zh.''j=12()xh.*j+maxkmaxsmaxixˉk.sij(j=12...m;s=12...q;k=12...h)。若uj为效益型指标：理论新探DOI:10.13546/j.cnki.tjyjc.2016.03.00623统计与决策２０16年第3期·总第447期-rh.sij=ìíîïïïïïïïï(-ah.sij-zhj)3(maxkmaxsmaxiaˉk.sij-zhj)3-ahij³zhj-(-ah.sij-zhj)3(minkminsmini-ak.sij-zhj)3-ahijzhj(j=12...m;s=12...q;k=12...h)rˉh.sij=ìíîïïïïïïïï(aˉh.sij-zhj)3(maxkmaxsmaxiaˉk.sij-zhj)3aˉhij³zhj-(aˉh.sij-zhj)3(minkminsmini-ak.sij-zhj)3aˉhijzhj(j=12...m;s=12...q;k=12...h)若uj为成本型指标：-rh.sij=ìíîïïïïïïïï-(aˉh.sij-zhj)3(maxkmaxsmaxiaˉk.sij-zhj)3aˉhij³zhj(aˉh.sij-zhj)3(minkminsmini-ak.sij-zhj)3aˉhijzhj(j=12...m;s=12...q;k=12...h)rˉh.sij=ìíîïïïïïïïï-(-ah.sij-zhj)3(maxkmaxsmaxiaˉk.sij-zhj)3-ahij³zhj(-ah.sij-zhj)3(minkminsmini-ak.sij-zhj)3-ahijzhj(j=12...m;s=12...q;k=12...h)f1()ah.sij=ìíîïïïïïïïï(ah.sij-zh.'j)3(maxkmaxsmaxiak.sij-zh.'j)3x*j³ahij³zh.'j-(ah.sij-zh.'j)3(minkminsminiak.sij-zh.'j)3ahijzhj(j=12...m;s=12...q;k=12...h)f2()ah.sij=ìíîïïïïïïïï-(ah.sij-zh.''j)3(maxkmaxsmaxiak.sij-zh.''j)3-ahij³zhj(ah.sij-zh.''j)3(minkminsminiak.sij-zh.''j)3xh.*j-ahijzhj(j=12...m;s=12...q;k=12...h)如果aˉh.sij£xh.*j，则rh.sij()⊗Îéëùû-rhijrˉhij=éëùûf1()-ah.sijf1()aˉh.sij；如果-ah.sijxh.*j，则rh.sij()⊗Îéëùû-rhijrˉhij=éëùûf2()aˉh.sijf2()-ah.sij。如果-ah.sij£xh.*j且aˉh.sijxh.*j，则比较f1æèöø-ah.sij与f2()aˉh.sij，若f1æèöø-ah.sijf2()aˉh.sij，则rh.sij()⊗Îéëùû-rh.sijrˉh.sij=éëùûf2()aˉh.sij1；若f1æèöø-ah.sij£f2()aˉh.sij，则rh.sij()⊗Îéëùû-rh.sijrˉh.sij=éëùûf1()-ah.sij1使用以上变换对决策者es()s=12...q在第h次决策时的决策矩阵Xh.s(⊗)进行处理,可以得到标准化矩阵Rh.s()⊗=(rh.sij(⊗))n´m=æèçöø÷éëùû-rh.sijrˉh.sijn´m。其中rh.si=[]rh.si1(⊗)rh.si2(⊗)...rh.sim(⊗)(j=12...m;s=12...q;k=12...h)为对决策者es对方案Ahi的效果向量。1.2指标权重的确定取指标权重为ωh=()ωh1ωh2...ωhm，åj=1m(ωhj)2=1，下面根据总共h次决策的整体情况，综合建立优化模型。令算子Dk=6k2h(1+h)(2h+1)，(åk=1h6k2h(1+h)(2h+1)=1)，取minH()ωh=åk=1h(6k2h(1+h)(2h+1)åi=1nåj=1måt=1q-1(()-rk.stij--rk.st+1ij2+æèöørˉk.stij-rˉk.st+1ij2)ωhj)，其中s.t.åj=1m(ωhj)2=10£ωhj£1，构造拉格朗日函数为：L(ωh)=åk=1h(6k2h(1+h)(2h+1)åi=1nåj=1måt=1q-1(()-rk.stij--rk.st+1ij2+æèöørˉk.stij-rˉk.st+1ij2)ωhj)+λ(1-åj=1m(ωhj)2)根据极值条件¶L(ωh)¶ωh=0，¶L(ωh)¶λ=0，可以得到：ωhj=åk=1hæèççöø÷÷6k2h(1+h)(2h+1)åi=1nåt=1q-1æèçöø÷()-rh.stij--rh.st+1ij2+æèöørˉh.stij-rˉh.st+1ij24λ，1-åj=1mω2j=0。进而可以得到：λ=14åj=1mæèççöø÷÷åk=1héëêêùûúú6k2h(1+h)(2h+1)åi=1nåt=1q-1æèçöø÷()-rstij--rst+1ij2+æèöørˉstij-rˉst+1ij22（1）ωhj=åk=1héëêêùûúú6k2h(1+h)(2h+1)åi=1nåt=1q-1æèçöø÷()-rstij--rst+1ij2+æèöørˉstij-rˉst+1ij2åj=1mæèççöø÷÷åk=1héëêêùûúú6k2h(1+h)(2h+1)åi=1nåt=1q-1æèçöø÷()-rstij--rst+1ij2+æèöørˉstij-rˉst+1ij22(2)归一化后得到whj=ωhjåj=1mωhj，则可以得到指标权重wh=()wh1wh2...whm。1.3模型的确定取zhij(⊗)=ås=1qrh.sij(⊗)λh.s，可以得到规范化综合决策矩阵：Zh=()zhij(⊗)n´m=()[]-zhijzˉhijn´m（3）设zh.0j=max{}(-zkij+zˉkij)/2|1£i£n1£k£h(j=12...理论新探24统计与决策２０16年第3期·总第447期mh³2)，其所对应的决策值记为éëêùûú-zh'i0jzˉh'i0j，称：zh0={}zh'.01zh'.02...zh'.0m={}éëêùûú-zh'i01zˉh'i01éëêùûú-zh'i02zˉh'i02...éëêùûú-zh'i0mzˉh'i0m(4)为灰靶决策的最优效果向量，γhi=2-12éëêw1(-zhi1--zh'i01)2+w1(zˉhi1-zˉh'i01)2+...+ùûúwm(zˉhim-zˉh'i0m)212(5)为对象Ahi的群决策靶心距。群决策效果向量的靶心距γhi越小，则决策方案Ahi越优；反之，效果向量的靶心距γhi越大，则决策方案Ahi越差。1.4决策者权重的确定对群决策效果向量的靶心距γhi进行标准化处理，取γ͂hi=γhi-miniγhimaxiγhi-miniγhi，对决策者es()s=12...q在第h次决策时的标准化矩阵：Rh.s()⊗=(rh.sij(⊗))n´m=æèçöø÷éëùû-rh.sijrˉh.sijn´m（6）取ṙh.sj=max{}(-rkij+rˉkij)/2|1£i£n1£k£h(j=12...m)，其所对应的决策值记为éëêùûú-rh'i0