6一维定态的一般性质-自由粒子本征函数的规格化和箱归一化

§2-6一维定态的一般性质一维定态薛定谔方程为222()()()2dUxxExdx222()2()()0dxEUxxdx定理1：设是一维定态薛定谔方程的解，则它的复共轭也是该方程的一个解，且与对应同一能量本征值。)(x)(*x)(x证明：2222dUEdx上式两边取复共轭，且考虑到，则UU*22***22dUEdx定理得证。定理2：对于一维定态薛定谔方程，如果和是对应于同一个能量本征值的两个独立的解，则有1()x2()x1221()()()()xxxxc（与无关的常数）x证明：1122()0EUx2222()0EUx上面两式两边分别乘以和，然后相减，得211221012210ddx1221c定理得证。定理3：对于一维定态薛定谔方程，能级的简并度最大为2。证明：设对于同一能量本征值，存在三个独立的波函数，则12211c13312c2122111331()()0cc1221322131()()0cccc令，则2213cc1101131c即312213ccc2112333cccc与假设矛盾。定理得证。定理4：对一维束缚定态，所有能级都不简并。证明：设对于同一能量本征值，存在两个独立的波函数，则1221c对束缚态：x12,0所以0c121212112lnlnlnlncc112c两者代表同一个量子态，因此能级不简并。定理得证。定理5：一维束缚态的本征函数可以是实数。证明：由定理1得，和都是薛定谔方程的解。由定理4得，它们最多相差一常数因子，即*c*取复共轭**c所以21ciec取，则0*即本征函数可以取实数。定理得证。*cc2c定理6：设势能具有空间反演不变性，即。若是一维定态薛定谔方程的一个解，则也一定是对应同一个能量本征值的另一个解。)()(xUxU)(x)(x证明：222()()()2dUxxExdx222()()()2dUxxExdx222()()()2dUxxExdx考虑到，得)()(xUxU作代换，则xx定理得证。定理7：对于一维定态问题，假设势能具有空间反演不变性，则任一个属于能量本征值的束缚态都有确定的宇称。证明：由定理4和定理6，得)()(xcx作代换，则xx2()()()xcxcx21c1c1c)()(xx偶宇称；1c()()xx奇宇称。定理得证。定理8：如图所示，在一维情况下，若在点不连续，且、有限，则在点及仍连续。()Ux0x1U2U0x证明：001()(0)UxUxU002()(0)UxUxU22()0EU00xxdx对上式作运算，得0000()()xxdxxx0022()0xxEUdx00()()xx0000()()0xxdxxx00()()xx第一项第二项所以又因为所以定理得证。§2-7自由粒子本征函数的规格化和箱归一化一、自由粒子波函数的规格化二、本征函数的箱归一化§2-7自由粒子本征函数的规格化和箱归一化自由粒子是在运动过程中不受外力作用的粒子，即。()0Ur一、自由粒子波函数的规格化1．一维情况222()()2dxExdx22()()0Exx0E首先，讨论的情况。2E令，则2()()0xx1()xxe2()xxe方程的解故方程无解。（动能不能小于零）显然，0x当时，0x当时，不能满足波函数有限性的要求；2不能满足波函数有限性的要求；12Ek令，则2()()0xkx两个特解1()ikxxe2()ikxxe0E其次，讨论的情况。若的取值范围选为从负无穷到正无穷，则两式统一成kikxkcex)(它是能量的本征函数，相应的能量本征值为222kEk由于取值连续，所以能量本征值可以连续取值。除基态外能量本征值二度简并。kk显然，表示动量。0k表示粒子向右运动；0k表示粒子向左运动。由于给出的不是平方可积的波函数，无法使用归一化条件，即()kx22kdxcdx)(2)(exp)()(22*kkcdxxkkicdxxxkk考虑到通常情况下，要对无限扩展的平面波进行所谓的规格化，也就是将其规格化为函数。于是，得到规格化常数12c规格化（“归一化”）后的波函数为ikxkex21)(/21)(ipxpex或容易验证，上式也是动量算符的本征函数。2．三维情况),,(),,(22222222zyxEzyxzyxzyxEEEEzyxzyx)()()(),,(321221122222222332()()2()()2()()2xyzdxExdxdxExdydzEzdz222222222222kkkkEzyxk)exp()2(1)(2/3rkirk或22ppErpirpexp)2(1)(2/3二、本征函数的箱归一化1．一维情况在上述限制下，粒子是不可能处于箱外的，故箱外的波函数为零。在箱内，设粒子动量或动能算符的本征函数仍为/)(ipxpcex因为粒子出现在箱的两端处的概率相同，所以)()(LLpp此即所谓周期性条件。1/2Lipe有22cos1sin0pLpL若限定粒子在的范围内运动，则它的波函数是归一化的。当L的值很大时，可作为粒子在无穷大范围内运动的一个近似。],[LLpLn0,1,2,npnnL2222222nnpEnL显然，动量和能量的本征值都是断续的。显然，随着箱尺度的增大，能级的间距变小。当时，能级的间距趋向于零，或者说能级变成连续的，这正与自由粒子能量本征值是连续的相吻合。L归一化LLppLcdxxxnn12)()(2*Lc2/1/21)(xippnneLx自由粒子的能量本征函数在无穷远处不为零，这种状态称为非束缚态。箱中的粒子的能量本征函数在无穷远处为零，这种状态称为束缚态。一般说来，连续谱对应非束缚态，而断续谱对应束缚态。2．三维情况2222222()22xyznnnxyzpEnnnL3/21()exp(2)nyznnnnirprL,2,1,0,,zyxnnn