高一函数概念及基本性质

高一数学函数1§3.1函数的概念一.【知识要点】（一）函数的有关概念设A，B是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个x，在集合B中都有唯一确定的数)(xf和它对应，那么就称BAf:为从集合A到集合B的函数，记作)(xfy，xA其中x叫自变量，x的取值范围A叫做函数)(xfy的定义域；与x的值相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合Axxf|)(（B）叫做函数y=f(x)的值域.函数符号)(xfy表示“y是x的函数”，有时简记作函数)(xf.(1)函数实际上就是集合A到集合B的一个特殊对应BAf:这里A,B为非空的数集.（2）A：定义域，原象的集合；Axxf|)(：值域，象的集合,其中Axxf|)(B；f：对应法则，xA，yB（3）函数符号：)(xfyy是x的函数，简记)(xf（二）已学函数的定义域和值域1．一次函数baxxf)()0(a:定义域R,值域R;2．反比例函xkxf)()0(k:定义域0|xx,值域0|xx;3．二次函数cbxaxxf2)()0(a:定义域R值域：当0a时，abacyy44|2；当0a时，abacyy44|24求函数的定义域时，一般应考虑:（1）偶次方根的被开方数不小于零；（2）分母不等于零；（3）零的零次幂没有意义.(4)实际问题的背景所允许的取值范围.例如：2rS表示圆的面积时，r的取值范围应是,0r.（三）函数的值：关于函数值)(af例：)(xf=2x+3x+1则f(2)=22+3×2+1=11高一数学函数2（四）函数的三要素：对应法则f、定义域A、值域Axxf|)(只有当这三要素完全相同时，两个函数才能称为同一函数（五）了解区间的概念①概念：设a、b是两个实数，且ab，则：{x|a≤x≤b}＝[a,b]叫闭区间；{x|axb}＝(a,b)叫开区间；{x|a≤xb}＝[a,b)；{x|ax≤b}＝(a,b]；都叫半开半闭区间。②符号：“∞”读“无穷大”；“－∞”读“负无穷大”；“+∞”读“正无穷大”【典型例题】例1求下列函数的定义域：①21)(xxf；②23)(xxf；③xxxf211)(.例2已知函数)(xf=32x-5x+2，求f(3),f(-2),f(a+1).例3下列函数中哪个与函数xy是同一个函数？⑴2xy；⑵33xy；⑶2xy例4下列各组中的两个函数是否为相同的函数？①3)5)(3(1xxxy52xy②②111xxy)1)(1(2xxy③21)52()(xxf52)(2xxf例5．函数()fx对一切实数x，y均有()()(21)fxyfyxyx成立，且(1)0f，（1）求(0)f的值；奎屯王新敞新疆高一数学函数3例6.下列图象不能表示函数的是_______.(9【课堂练习】1、对于函数()yfx，以下说法正确的有（）①y是x的函数；②对于不同的,xy的值也不同；③()fa表示当xa时函数()fx的值，是一个常量；④()fx一定可以用一个具体的式子表示出来。A、1个B、2个C、3个D、4个2、如下图可作为函数)(xf的图像的是()（A）（B）（C）（D）3、若()1fxx，则(3)f___________（）A、2B、4C、22D、104、下列各组函数是同一函数的是（）①3()2fxx与()2gxxx；②()fxx与2()gxx；③0()fxx与01()gxx；④2()21fxxx与2()21gttt。A、①②B、①③C、③④D、①④5、设22(1)()(12)2(2)xxfxxxxx≤≥，若()3fx，则x。6.给出下列的三组函数:①Y=|x−1|与2)1(xy;②1y与0xy;③xxxy2与1xy;yxO1-1-1yxO1-1-1yxO1-1-1(1)(2)(3)xyOxyOxyOxyO高一数学函数4其中表示同一个函数的是____________________.7求下列函数的定义域：22)1(xxy；1231)2(2xxy；xxxy4323)3(；)3)(2()1(xxy；32)2(xxy；111)3(xy8.已知1)(2xxf求)1()1()1(afff、、的值.高一数学函数5xy8016024032040020406080100DCBA2.2函数的表示法【重要知识点】函数的表示方法表示函数的方法，常用的有解析法、列表法和图象法三种.⑴解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式.例如，s=602t，A=2r，S=2rl,y=a2x+bx+c(a0),y=2x(x2)等等都是用解析式表示函数关系的.优点：一是简明、全面地概括了变量间的关系；二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值.中学阶段研究的函数主要是用解析法表示的函数.⑵列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系.例如，学生的身高单位：厘米学号123456789身高125135140156138172167158169数学用表中的平方表、平方根表、三角函数表，银行里的利息表，列车时刻表等等都是用列表法来表示函数关系的.公共汽车上的票价表优点：不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值.⑶图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系.例如，气象台应用自动记录器描绘温度随时间变化的曲线，课本中我国人口出生率变化的曲线，工厂的生产图象，股市走向图等都是用图象法表示函数关系的.优点：能直观形象地表示出自变量的变化，相应的函数值变化的趋势，这样使得我们可以通过图象来研究函数的某些性质.【典型例题】例1某种笔记本每个5元，买x{1,2,3,4}个笔记本的钱数记为y（元），试写出以x为自变量的函数y的解析式，并画出这个函数的图像解：这个函数的定义域集合是{1,2,3,4}，函数的解析式为y=5x，x{1,2,3,4}.它的图象由4个孤立点A(1，5)B(2，10)C(3，15)D(4，20)组成，如图所示例2国内投寄信函（外埠），每封信函不超过20g付邮资80分，超过20g而不超过40g付邮资160分，依次类推，每封xg(0x100)的信函应付邮资为（单位：分），试写出以x为自变量的函数y的解析式，并画出这个函数的图像解：这个函数的定义域集合是1000x，函数的解析式为].100,80(,400],80,60(,320],60,40(,240],40,20(,160],20,0(,80xxxxxy奎屯王新敞新疆奎屯王新敞新疆奎屯王新敞新疆高一数学函数6xy这个函数的图象是5条线段（不包括左端点），都平行于x轴，如图所示.这一种函数我们把它称为分段函数例3画出函数y=|x|=.0,0xxxx的图象.解：这个函数的图象是两条射线，分别是第一象限和第二象限的角平分线，如图所示.说明：①再次说明函数图象的多样性；②从例4和例5看到，有些函数在它的定义域中，对于自变量x的不同取值范围，对应法则不同，这样的函数通常称为分段函数.注意分段函数是一个函数，而不是几个函数.③注意：并不是每一个函数都能作出它的图象，如狄利克雷（Dirichlet）函数D(x)=.x0x1是无理数，是有理数，，,我们就作不出它的图象.例4作出分段函数21xxy的图像解：根据“零点分段法”去掉绝对值符号，即：21xxy=123)12(xx1122xxx作出图像如下例5求下列函数的解析式（1）已知()xx;求(1);（2）已知(√−1)x√,求()（3）已知()−()x,求()奎屯王新敞新疆x0x01xx{y=xy高一数学函数7【课堂练习】1.若12)(xxf，则)1(xf=_________________2.)1(2)1(2xxxf,则)(xf=________________3.某城市出租车按如下方法收费，起步价6元，可行3km，3km到10km每走1km加价1元，10km后每走1km加价0.8元，某人坐出租车走了12km，他应交费_______________元4.若)(xf满足12)(2)(xxfxf，则)(xf=__________________5.若xxfxf4)1()(3，则)(xf=_____________________6求下列函数的值域（1）)0(9122xxxy；（2）34252xxy（3）xxy2；（4）242xxy【课后练习】1.设32)2(xxg，则)(xg等于（）)(A12x)(B12x)(C32x)(D72x2.已知0x，函数)(xf满足2211xxxxf，则)(xf的表达式为（）高一数学函数8)(Axxxf1)(B2)(2xxf)(C2)(xxf)(D21)(xxxf3.已知11)(xxxf)1(x，则)(xf（）)(A)(1xf)(B)(xf)(C)(1xf)(D)(xf4.下列图象中，能表示函数1,1,xxy的图象是（）)(A)(B)(C)(D5.在x克a%的盐水中，加入y克b%的盐水，浓度变成%c),0,(baba且，则x与y的函数关系式是（）)(Axcbcay)0(x)(Bxaccby)0(x)(Cxcbacy)0(x)(Dxacbcy)0(x6若()满足关系式()+2(𝑋)=3x，则()的值为（）A1B—1C—3/2D3/27.已知13)(xxf，32)]([xxgf，)(xg为x的一次函数，求)(xg8.已知xxxf2)1(，求)(xf，)1(xf，)(2xf101-1-110-1-1101-101-1高一数学函数9附【函数值域的求法】1．直接法：利用常见函数的值域来求一次函数y=ax+b(a0)的定义域为R，值域为R；反比例函数)0(kxky的定义域为{x|x0}，值域为{y|y0}；二次函数)0()(2acbxaxxf的定义域为R，当a0时，值域为{abacyy4)4(|2}；当a0时，值域为{abacyy4)4(|2}.例1．求下列函数的值域①y=3x+2(-1x1)②xxf42)(③1xxy④xxy1解：①∵-1x1，∴-33x3，∴-13x+25，即-1y5，∴值域是[-1，5]②∵),0[4x∴),2[)(xf即函数xxf42)(的值域是{y|y2}③1111111xxxxxy∵011x∴1y即函数的值域是{y|yR且y1}（此法亦称分离常数法）④当x0，∴xxy1=2)1(2xx2，当x0时，)1(xxy=－2)1(2xx2∴值域是]2,([2，+).（此法也称为配方法）函数xxy1的图像为：奎屯王新敞新疆奎屯王新敞新疆奎屯王新敞新疆奎屯王新敞新疆奎屯王新敞新疆4321-1-2-3-4-6-4-2246y=xo-2-112fx=x+1x高一数学函数102．二次函数比区间上的值域(最值)：例2求下列函数的最大值、最小值与值域：①142xxy；②]4,3[,142xxxy；③]1,0[,142xxxy；④]5,0[,142xxxy；解：∵3)2(1422xxxy，∴顶点为(2,-3)，顶点横坐标为2.①∵抛物线的开口向上，函数的定义域R，∴x=2时，ymin=-3,无最大值；函数的值域是{y|y-3}.②∵顶点横坐标2[3,4]，当x=3时，y