小学数学五大几何模型

小学数学五大几何模型知识框架一、等积模型ABCD①等底等高的两个三角形面积相等；②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；S③夹在一组平行线之间的等积变形，如右图△ACD反之，如果S△BCD；S△ACDS△BCD，则可知直线AB平行于CD．④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)；⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．二、共角定理（鸟头定理）两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形．共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．S△ABC:S△ADE(ABAC):(ADAE)(1)(2)(3)(4)三、蝴蝶定理任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：①S1:S2S4:S3或者S1S3S2S4②AO:OCS1S2:S4S3蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系．五年级奥数.几何.五大模型1DAS2BS1OS3CS4梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)：22S:Sa:b13①22S:S:S:Sa:b:ab:ab；1324②ab③S的对应份数为AS2aS1OS3BbCS4D2．四、相似模型(一)金字塔模型(二)沙漏模型AEAFDDBFGECBGCADAEDEAFABACBCAG；①22S：SAF:AG△ADE△ABC②．所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比；⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半．相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具．在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形．五年级奥数.几何.五大模型2五、共边定理（燕尾定理）有一条公共边的三角形叫做共边三角形。PABPMSQMS共边定理：设直线AB与PQ交于点M，则QAB特殊情况：当PQ∥AB时，易知△PAB与△QAB的高相等，从而S△PAB=S△QAB例题精讲一、鸟头定理【例1】如图16-4，已知．AE=15AC，CD=14BC，BF=1三角形DEF的面积6AB，那么三角形ABC的面积等于多少?五年级奥数.几何.五大模型3【考点】三角形的鸟头模型【难度】3星【题型】解答【解析】如下图，连接AD，BE，CF.有△ABE，△ABC的高相等，面积比为底的比，则有SSABEABC=AE，所以ACSABE=AE×SACAEF=ABC=1S5ABC同理有SAFSABABE,即=SAEF=15×S561S5ABC=1S6ABC.类似的还可以得到S所以有SDEF=SCDE=14×S45ABC=ABC，SBDF=11×S63ABC=ABC=1S8ABC．ABC-(SAEF+SCDE+SBDF)=(1-111--)S65861S120ABC．即【答案】三角形DEF的面积61为．三角形ABC的面积12061120。【巩固】如图，在△ABC中，延长AB至D，使BDAB，延长BC至E，使CE点，若△ABC的面积是2，则△DEF的面积是多少？AFBDCE1BC，F是AC的中2【考点】三角形的鸟头模型【难度】3星【题型】解答【解析】∵在△ABC和△CFE中，ACB与FCE互补，∴S△ABCACBC224．S△FCEFCCE111ABC又S2，所以SFCE0.5．同理可得S△ADF2，S△BDE3．所以S△DEFS△ABCS△CEFS△DEBS△ADF20.5323.5【答案】3.5。五年级奥数.几何.五大模型4二、三角形相似模型【例2】如图，三角形PDM的面积是8平方厘米，长方形ABCD的长是6厘米，宽是4厘米，M是BC的中点，则三角形APD的面积是平方厘米．ADANKDPBMCPBMC【考点】相似三角形模型【难度】4星【题型】填空【解析】本题在矩形内连接三点构成一个三角形，而且其中一点是矩形某一条边的中点，一般需要通过这一点做垂线．取AD的中点N，连接MN，设MN交PD于K．则三角形PDM被分成两个三角形，而且这两个三角形有公共的底边MK，可知三角形PDM的1884面积等于MKBC8(平方厘米)，所以MK=(厘米)，那么NK4(厘米)．23338因为NK是三角形APD的中位线，所以AP2NK(厘米)，所以三角形APD的面积为31868(平方厘米)．23【答案】8。【巩固】如图，三角形ABC的面积为60平方厘米，D、E、F分别为各边的中点，那么阴影部分的面积是平方厘米．AAADEDEMNCBDEMNCBFCBFF【考点】相似三角形模型【难度】4星【题型】填空【解析】阴影部分是一个不规则的四边形，不方便直接求面积，可以将其转化为两个三角形的面积之差．而从图中来看，既可以转化为BEF与EMN的面积之差，又可以转化为BCM与CFN的面积之差．(法1)如图，连接DE．由于D、E、F分别为各边的中点，那么BDEF为平行四边形，且面积为三角形ABC面积的一五年级奥数.几何.五大模型5半，即30平方厘米；那么BEF的面积为平行四边形BDEF面积的一半，为15平方厘米．根据几何五大模型中的相似模型，由于DE为三角形ABC的中位线，长度为BC的一半，则1EM:BMDE:BC1:2，所以EMEB；3EN:FNDE:FC1:1，所以EN1EF．21111那么EMN的面积占BEF面积的，所以阴影部分面积为15112.5(平方厘米)．2366(法2)如图，连接AM．根据燕尾定理，SABM:SBCMAE:EC1:1，SACM:SBCMAD:DB1:1，1111所以SBCOSABC6020平方厘米，而SBDCSABC6030平方厘米，所以3322SFCN1SBDC7.5平方厘米，4那么阴影部分面积为207.512.5(平方厘米)．【总结】求三角形的面积，一般有三种方法：⑴利用面积公式：底高2；⑵利用整体减去部分；⑶利用比例和模型．【答案】12.5。【例3】如图，已知S△ABC14,点D,E,F分别在AB,BC,CA上，且AD2,BD5,AFFC，S四边形DBEFS△ABE则S△ABE是多少？CCEFEFADBADB【考点】相似三角形模型【难度】4星【题型】解答【解析】△ABC的面积已知，若知道△ABE的面积占△ABC的几分之几就可以计算出△ABE的面积．连接CD．∵S四边形DBEFS△ABE∴S△DEFS△ADE∴AC与DE平行，∴S△ABES△CDB五年级奥数.几何.五大模型6∵AD2，BD5∴SACD:SCDB2:5∴S△ABBS△CDB【答案】10。5S△ABC5141077【巩固】如图，ABCD为正方形，AMNBDEFC1cm且MN2cm，请问四边形PQRS的面积为多少？DERSPAMNBQFCDERSPFCQAMNB【考点】相似三角形模型【难度】4星【题型】解答【解析】(法1)由AB//CD，有MQMBMPPC1，所以PC2PM，又，所以MQQCMC，所QCECMNDC2111112以PQMCMCMC，所以SSPQR占SAMCF的，所以SSPQR1(112)(cm2)．2366631RBERRBAB(法2)如图，连结AE，则SABE448(cm2)，而，所以2，2ABEFEFEF221611MNMP，SABRSABE8(cm2)．而SMBQSANS343(cm2)，因为33322DCPC1114所以MPMC，则SMNP24(cm2)，阴影部分面积等于3233SABRSANSSMBQSMNP164233(cm2)．333【答案】23三、蝴蝶模型【例4】梯形的下底是上底的1.5倍，三角形OBC的面积是9cm2，问三角形AOD的面积是多少？ADOBC7【考点】梯形模型【难度】2星【题型】解答五年级奥数.几何.五大模型【解析】根据梯形蝴蝶定理，a:b1:1.52:3，SAOD:SBOCa2:b222:324:9，所以SAOD4cm2．【答案】4。【巩固】如图，梯形ABCD中，AOB、COD的面积分别为1.2和2.7，求梯形ABCD的面积．ABOD【考点】梯形模型【难度】2星【题型】解答【解析】根据梯形蝴蝶定理，SSAODCAOB:SACODa2:b24:9，所以a:b2:3，SAOD:SAOBab:a2b:a3:2，SCOB1.231.8，S梯形ABCD1.21.81.82.77.5．2【答案】7.5。【例5】如图，长方形中，若三角形1的面积与三角形3的面积比为4比5，四边形2的面积为36，则三角形1的面积为________．123123【考点】梯形模型【难度】3星【题型】填空【解析】做辅助线如下：利用梯形模型，这样发现四边形2分成左右两边，其面积正好等于三角形1和三角形3，所以1的面积就是36【答案】20。【巩固】如图，正方形ABCD面积为3平方厘米，M是AD边上的中点．求图中阴影部分的面积．BC4516，3的面积就是3620．4545GADM【考点】梯形模型【难度】3星【题型】解答【解析】因为M是AD边上的中点，所以AM:BC1:2，根据梯形蝴蝶定理可以知道S△AMG:S△ABG:S△MCG:S△BCG12（:12）（:12）:221:2:2:4，设S△AGM1份，则S△MCD123五年级奥数.几何.五大模型8份，所以正方形的面积为1224312份，S阴影224份，所以S阴影:S正方形1:3，所以S阴影1平方厘米．【答案】1。【例6】在下图的正方形ABCD中，E是BC边的中点，AE与BD相交于F点，三角形BEF的面积为1平方厘米，那么正方形ABCD面积是平方厘米．ADFBEC【考点】梯形模型【难度】3星【题型】填空2（12）9(平方厘米)，【解析】连接DE，根据题意可知BE:AD1:2，根据蝴蝶定理得S梯形S△ECD3(平方厘米)，那么S【答案】12。ABCD12(平方厘米)．【巩固】右图中ABCD是梯形，ABED是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：平方厘米)，阴影部分的面积是平方厘米．A8162BEDA816CBO2EDC【考点】梯形模型【难度】3星【题型】填空【解析】连接AE．由于AD与BC是平行的，所以AECD也是梯形，那么SOCDSOAE．根据蝴蝶定理，SOCDSOAESOCESOAD2816，故SOCD216，所以SOCD4(平方厘米)．另解：在平行1四边形ABED中，SADES2ABED116812(平方厘米)，所以2SAOESADESAOD1284(平方厘米)，根据蝴蝶定理，阴影部分的面积为8244(平方厘米)．【答案】4。【例7】E是平行四边形ABCD的CD边上的一点，BD、AE相交于点F，已知三角形AFD的面积是6，三角形DEF的面积是4，求四边形BCEF的面积为多少？五年级奥数.几何.五大模型9A6D4ECFB【考点】梯形模型【难度】3星【题型】解答【解析】如图，在平行线中的蝴蝶中，蝴蝶翅膀相等都为6，而顶上的三角形为6×6÷4=9，“？”