(完整版)小学奥数-几何五大模型(相似模型)

任意四边形、梯形与相似模型模型四相似三角形模型(一)金字塔模型(二)沙漏模型AEAFDDBFGECBGCADAEDEAF①；ABACBCAG②S△ADE：S△ABCAF2:AG2。所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比；⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半。相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具。在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形。【例1】如图，已知在平行四边形ABCD中，AB16，AD10，BE4，那么FC的长度是多少？DCFABE【解析】图中有一个沙漏，也有金字塔，但我们用沙漏就能解决问题，因为AB平行于CD，4所以BF:FCBE:CD4:161:4，所以FC108．14【例2】如图，测量小玻璃管口径的量具ABC，AB的长为15厘米，AC被分为60等份。如果小玻璃管口DE正好对着量具上20等份处(DE平行AB)，那么小玻璃管口径DE是多大？BE【解析】有一个金字塔模型，所以DE:ABDC:AC，DE:1540:60，所以DE10厘米。【例3】如图，DE平行BC，若AD:DB2:3，那么S△ADE:S△ECB________。ADBEA0D10203040C5060C【解析】根据金字塔模型S△ADE:S△ABC22:524:25，AD:ABAE:ACDE:BC2:(23)2:5，设S△ADE4份，则S△ABC25份，S△BEC255315份，所以S△ADE:S△ECB4:15。【例4】如图，△ABC中，DE，FG，BC互相平行，ADDFFB，则S△ADE:S四边形DEGF:S四边形FGCB。ADFBEGC【解析】设S△ADE1份，根据面积比等于相似比的平方，所以S△ADE:S△AFGAD2:AF21:4，S△ADE:S△ABCAD2:AB21:9，因此S△AFG4份，S△ABC9份，进而有S四边形DEGF3份，S四边形FGCB5份，所以S△ADE:S四边形DEGF:S四边形FGCB1:3:5【巩固】如图，DE平行BC，且AD2，AB5，AE4，求AC的长。ADBE【解析】由金字塔模型得AD:ABAE:ACDE:BC2:5，所以AC42510【巩固】如图，△ABC中，PQ，MN，BC互相平行，ADDFFMMPPB，FG，DE，则S△ADE:S四边形DEGF:S四边形FGNM:S四边形MNQP:S四边形PQCB。ADFMEGCNQCPB【解析】设S△ADE1份，S△ADE:S△AFGAD2:AF21:4，因此S△AFG4份，进而有S四边形DEGF3份，同理有S四边形FGNM5份，S四边形MNQP7份，S四边形PQCB9份．所以有S△ADE:S四边形DEGF:S四边形FGNM:S四边形MNQP:S四边形PQCB1:3:5:7:9【总结】继续拓展，我们得到一个规律：平行线等分线段后，所分出来的图形的面积成等差数列。【例5】已知△ABC中，若AD:DB2:3，且S梯形DBCE比S△ADE大8.5cm2，DE平行BC，求S△ABC。ADBEC【解析】根据金字塔模型AD:ABDE:BC2:(23)2:5，S△ADE:S△ABC22:524:25，设S△ADE4份，则S△ABC25份，S梯形DBCE25421份，S梯形DBCE比S△ADE大17份，恰好是8.5cm2，所以S△ABC12.5cm2【例6】如图：MN平行BC，S△MPN:S△BCP4:9，AM4cm，求BM的长度AMPBCN【解析】在沙漏模型中，因为S△MPN:S△BCP4:9，所以MN:BC2:3，在金字塔模型中有：AM:ABMN:BC2:3，因为AM4cm，AB4236cm，所以BM642cm【巩固】如图，已知DE平行BC，BO:EO3:2，那么AD:AB________。ADBOCE【解析】由沙漏模型得BO:EOBC:DE3:2，再由金字塔模型得AD:ABDE:BC2:3．【例7】如图，ABC中，AE11AB，ADAC，ED与BC平行，EOD的面积是144平方厘米。那么AED的面积是平方厘米。AEODBC【解析】因为AE11AB，ADAC，ED与BC平行，44根据相似模型可知ED:BC1:4，EO:OC1:4，SCOD4SEOD4平方厘米，则SCDE415平方厘米，15又因为SAED:SCDEAD:DC1:3，所以SAED5(平方厘米)．33【例8】在图中的正方形中，A，B，C分别是所在边的中点，VCDO的面积是VABO面积的几倍？CFCBOADBOAD【解析】连接BC，易知OA∥EF，根据相似三角形性质，可知OB:ODAE:AD，且EOA:BEDA:DE1:2，所以VCDO的面积等于VCBO的面积；由11CDO的面积是OABEAC可得CO3OA，所以SVCDOSVCBO3SVABO，即V24VABO面积的3倍。【例9】如图，线段AB与BC垂直，已知ADEC4，BDBE6，那么图中阴影部分面积是多少？ADADOBADECBECOB【解析】解法一：这个图是个对称图形，且各边长度已经给出，不妨连接这个图形的对称轴看看．作辅助线BO，则图形关于BO对称，有SVADOSVCEO，SVDBOSVEBO，且SVADO:SVDBO4:62:3．EC设VADO的面积为2份，则VDBO的面积为3份，直角三角形ABE的面积为8份．因为SVABE610230，而阴影部分的面积为4份，所以阴影部分的面积为308415．解法二：连接DE、AC．由于ADEC4，BDBE6，所以DE∥AC，根据相似三角形性质，可知DE:ACBD:BA6:103:5，根据梯形蝴蝶定理，SVDOE:SVDOA:SVCOE:SVCOA32:35:35:529:15:15:25，所以S阴影:S梯形ADEC1515:915152515:32，即S阴影15；S32梯形ADEC1115又S梯形ADEC101066=32，所以S阴影S梯形ADEC15．2232【例10】(2008年第二届两岸四地”华罗庚金杯”少年数学精英邀请赛)如图，四边形ABCD和EFGH都是平行四边形，四边形ABCD的面积是16，BG:GC3:1，则四边形EFGH的面积________．AFBGEHCD【解析】因为FGHE为平行四边形，所以EC//AG，所以AGCE为平行四边形．11BG:GC3:1，那么GC:BC1:4，所以SYAGCESYABCD164．44又AEGC，所以AE:BGGC:BG1:3，根据沙漏模型，33FG:AFBG:AE3:1，所以SYFGHESYAGCE43．44【例11】已知三角形ABC的面积为a，AF:FC2:1，E是BD的中点，且EF∥BC，交CD于G，求阴影部分的面积．ADEGFCB【解析】已知AF:FC2:1，且EF∥BC，利用相似三角形性质可知2EF:BCAF:AC2:3，所以EFBC，且SVAEF:SVABC4:9．31又因为E是BD的中点，所以EG是三角形DBC的中位线，那么EGBC，212EG:EF:3:4，所以GF:EF1:4，可得SVCFG:SVAFE1:8，所以23aSVCFG:SVABC1:18，那么SVCFG．18【例12】已知正方形ABCD，过C的直线分别交AB、AD的延长线于点E、F，且AE10cm，AF15cm，求正方形ABCD的边长．ABEDC【解析】方法一：本题有两个金字塔模型，根据这两个模型有BC:AFCE:EF，FDC:AECF:EF，设正方形的边长为xcm，所以有即BCDCCECF1，AFAEEFEFxx1，解得x6，所以正方形的边长为6cm．1510x15x方法二：或根据一个金字塔列方程即，解得x61015【例13】如图，三角形ABC是一块锐角三角形余料，边BC120毫米，高AD80毫米，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少？APNBHDGC【解析】观察图中有金字塔模型5个，用与已知边有关系的两个金字塔模型，所以有PNAPPHBPPNPHAPBP，，设正方形的边长为x毫米，1，即BCABADABBCADABABxx1，解得x48，即正方形的边长为48毫米．12080【巩固】如图，在△ABC中，有长方形DEFG，G、F在BC上，D、E分别在AB、AC上，AH是△ABC边BC的高，交DE于M，DG:DE1:2，BC12厘米，AH8厘米，求长方形的长和宽．ADBGMEF【解析】观察图中有金字塔模型5个，用与已知边有关系的两个金字塔模型，所以DEADDGBDDEDGADBD，，所以有设DGx，则DE2x，1，BCABAHABBCAHABAB2xx244848所以有，2x，因此长方形的长和宽分别是厘米，1，解得x12877724厘米．7【例14】图中ABCD是边长为12cm的正方形，从G到正方形顶点C、D连成一个三角形，已知这个三角形在AB上截得的EF长度为4cm，那么三角形GDC的面积是多少？HCGGAEFBAENFB【解析】根据题中条件，可以直接判断出EF与DC平行，从而三角形GEF与三角形GDC相似，这样，就可以采用相似三角形性质来解决问题．做GM垂直DC于M，交AB于N．因为EF∥DC，所以三角形GEF与三角形GDC相似，且相似比为DCDMCEF:DC4:121:3，所以GN:GM1:3，又因为MNGMGN12，所以GM18cm，1所以三角形GDC的面积为1218108cm2．2【例15】如图，将一个边长为2的正方形两边长分别延长1和3，割出图中的阴影部分，求阴影部分的面积是多少？MEBNOF【解析】根据相似三角形的对应边成比例有：则NFEM1NF3；，1223231255，EM，931951S阴2225330【例16】(2008年101中学考题)图中的大小正方形的边长均为整数(厘米)，它们的面积之和等于52平方厘米，则阴影部分的面积是．ABCGD【解析】设大、小正方形的边长分别为m厘米、n厘米(mn)，则m2n252，所以若m5，则m2n25225052，不合题意，所以m只能为6或7．检m8．HFE验可知只有m6、n4满足题意，所以大、小正方形的边长分别为6厘米和4厘米．根据相似三角形性质，BG:GFAB:FE6:43:2，而BGGF6，得1BG3.6(厘米)，所以阴影部分的面积为：63.610.8(平方厘米)．2【例17】如图，图中已经标出两个三角形的面积为3和4，O是矩形一条对角线的中点，那么阴影部分的一块直角三角形的面积是多少？D4OE3AD4OE3ACFBCFB【解析】连接OB,面积为4的三角形占了矩形面积的1，所以S△OEB431,所以4OE:EA1:3,所以CE:CA5:8,由三角形相似可得阴影部分面积为5258()2．88【例18】已知长方形ABCD的面积为70厘米，E是AD的中点，F、G是BC边上的三等分点，求阴影△EHO的面积是多少厘米？AHBFEOGCBDAHFEOGCD【解析】因为E是AD的中点，F、G是BC边上的三等分