小学奥数几何篇 五大模型——蝴蝶定理(附答案)

五大模型——蝴蝶模型例1.四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O，如果三角形ABD的面积等于三角形BCD的面积1，且AO=2，DO=3，那么CO的长3度是DO的长度的倍例2.如图,平行四边形ABCD的对角线交与点O点，△CEF、△OEF、△ODF、△BOE的面积依次是2、4、4和6求：（1）△OCF的面积；（2）求△GCE的面积例3.如图，边长为1的正方形ABCD中，角形AEG的面积。，CF=FD，求三BE=3EC例4.如图，边长为1的正方形ABCD的边长为10厘米，E为AD中点，F为CE中点，G为BF中点，求三角形BDG的面积例5.如下图，梯形ABCD的AB平行于CD，对角线AC，BD交于O，已知AOB于BOC的面积分别为25平方厘米于35平方厘米，那么梯形ABCD的面积是平方厘米例6.梯形ABCD的对角线AC与BD交与点O，已知梯形上底为2，且三角形ABO的面积等于三角形BOC面积的2，求三角形AOD与3三角形BOC的面积之比。例7.如下图，一个长方形一些直线分成了若干个小块，已知三角形ADG的面积是11，三角形BCH的面积是23，求四边形EGFH的面积。例8.右图中ABCD是梯形，ABED是平行四边形，已知三角形面积如图所示（单位：平方厘米），阴影部分的面积是平方厘米例9.如图，长方形ABCD被CE、DF分成四块，已知期中3块的面积分别为2、5、8平方厘米，那么余下的四边形OFBC的面积为平方厘米例10.如图，正六边形面积为6，那么阴影部分面积为多少？蝴蝶模型习题1、如图，长方形ABCD中，BE：EC=2：3，DF：FC=1:2，三角形DFC面积为2平方厘米，求长方形ABCD的面积.2、梯形的下底是上底的1.5倍，三角形OBC的面积是9cm2，问三角形AOD的面积是多少？3、如图，长方形中，若三角形1的面积与三角形3的面积比为4：5，四边形2的面积为36，则三角形1的面积为4、如图，长方形ABCD中，阴影部分是直角三角形且面积为54，OD的长是16，OB的长是9，那么四边形OECD的面积是多少？5、如图，△ABC是等腰三角形，DEFG是正方形，线段AB与CD相较于K点，已知正方形DEFG的面积48，AK：KB=1:3，则△BKD的面积是多少？答【例1】因为AO:OCSABD:SBDC1:3，所以OC236，所以OC:OD6:32:1．解法二：作AHBD于H，CGBD于G．11因为ABDSBCD，所以AHCG，33S1S，案所以S3DOCAOCO，OC236，3OC:OD6:32:1．1BAODC【例2】⑴⑴BCD的面积为244616，⑴BCO和CDO的面积都是1628，所以⑴OCF的面积为844；⑴由于⑴BCO的面积为8，⑴BOE的面积为6，所以⑴OCE的面积为862，根据蝴蝶定理，EG:FGSCOE:SCOF2:41:2所以SGCE:SGCFEG:FG1:2，121．2SGCESCEF1233【例3】ADFBEC连接EF．1111()SS因为BE2EC，CFFD，所以SDEFABCD23212111因为SAEDSABCD，由蝴蝶定理，AG:GF:6:1，22126613SSS所以SAGD6SGDFADFABCDABCD．774141322SSS，所以SAGESAEDSAGDABCDABCDABCD21477ABCD．【例4】AEDBC设BD与CE的交点为O，连接BE、DF．由蝴蝶定理EO:OCSBED:SBCD，11而SBEDSABCD，SBCDSABCD，42所以EO:OCSBED:SBCD1:2，故EOEC．131F为CE中点，所以EFEC，2故EO:EF2:3，FO:EO1:2．由蝴蝶定理SBFD:SBEDFO:EO1:2，11所以SBFDSBEDSABCD，28111SS10106.25SBGDBFDABCD21616梯形蝴蝶定理OBS3bC①S1:a2:b2②S:S:S:Sa2:b2:ab:ab；1324③S的对应份数为ab2【例5】由梯形蝴蝶定理，SAOB:SBOCa2:ab25:35，可得a:b5:7，2再根据梯形蝴蝶定理，Sb252:7225:49，AOB:SDOCa:所以SDOC49梯形ABCD的面积为25353549144【例6】由蝴蝶定理，SAOB:SBOCab:b22:3得a:b2:3，SAOD:SBOCa2:b222:324:9【例7】AFBDEC如图，连结EF，显然ADEF和BCEF都是梯形，于是EFG的面积等于三角形ADG的面积三角形BCH的面积等于三角形EFH的面积所以四边形EGFH的面积是112334．【例8】ABEDC连接AE．由于AD与BC平行，所以AECD也是梯形，那么SOCDSOAE．据蝴蝶定理，SOCDSOAESOCESOAD2816故SOCD216，所以OCDS4另解：在平行四边形ABED中，SADE所以SAOESADESAOD1284根据蝴蝶定理，阴影部分的面积为82441116812ABED22S【例9】AEDFBC连接DE、CF．EDCF为梯形，所以SEODSFOC，又根据蝴蝶定理，SEODSFOCSEOFSCOD所以SEOD4，SECD4812ABCD面积为12224SEODSFOCSEOFSCOD2816，四边形OFBC的面积为245289(平方厘米)．【例10】连接阴影图形的长对角线，此时六边形被平分为两半根据六边形的特殊性质，和梯形蝴蝶定理把六边形分为18份阴影部分占了其中8份，所以阴影部分的面积868．183作业题答案1.ADFCBE连接AE，FE．因为BE:EC2:3，DF:FC1:2，所以S因为S111，SAG:GF:5:1，所以S5S10平方厘米，所AGDGDF长方形ABCDAED22101以因为SS，所以长方形ABCD的面积是72平方S12平方厘米．AFDAFD长方形ABCD63111．()SSDEF长方形ABCD长方形ABCD10532厘米．2.ADBC2根据梯形蝴蝶定理，SAOD:Sb222:324:9，a:b1:1.52:3，BOCa:所以SAOD4cm2．3.123做辅助线如下：利用梯形模型，这样发现四边形2分成左右两边，其面积正好等于三角形1和三角形3，所以1的面积就是3636416，3的面积就是45520．454.AOEDBC因为连接ED知道⑴ABO和⑴EDO的面积相等即为54，又因为OD⑴OB=16⑴9,所以根据四边形的对角线性质知道：5454⑴AOD的面积为5491696，⑴BEO的面积为：9630.375，所以四边形OECD的面积为：549630.375119.625(平方厘米).5.DAGBEMFC由于DEFG是正方形，所以DA与BC平行，那么四边形ADBC是梯形．在梯形ADBC中，BDK和ACK的面积是相等的．而AK:KB1:3，所以ACK的面积是111ABC面积的，那么BDK的面积也是ABC面积的．1344由于ABC是等腰直角三角形，如果过A作BC的垂线，那么M是BC的M为垂足，中点，而且AMDE，可见ABM和ACM的面积都等于正方形DEFG面积的一半，所以ABC的面积与正方形DEFG的面积相等，为48．那么BDK的面积为4812．41