搜索
二函新定义一．解答题（共10小题）1．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（m，n），若点A'（m，n'）的纵坐标满足n'=则称点A′是点A的“绝对点”．（1）点（3，2）的“绝对点”的坐标为．（2）点P是函数y=4x﹣1的图象上的一点，点P′是点P的“绝对点”．若点P与点P′重合，求点P的坐标．（3）点Q（a，b）的“绝对点”Q′是函数y=2x2的图象上的一点．当0≤a≤2时，求线段QQ′的最大值．，2．定义：如果一条抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“直观三角形”．（1）抛物线y=x2的“直观三角形”是．A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形（2）若抛物线y=ax2+2ax﹣3a的“直观三角形”是直角三角形，求a的值；（3）如图，面积为12的矩形ABCO的对角线OB在x轴的正半轴上，AC与OB相交于点E，若△ABE是抛物线y=ax2+bx+c的“直观三角形”，求此抛物线的解析式．3．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：y=x2﹣4x+4和直线l：y=kx﹣2k（k＞0）．（1）抛物线C的顶点D的坐标为；（2）请判断点D是否在直线l上，并说明理由；（3）记函数y=的图象为G，点M（0，t），过点M垂直于y轴的直线与图象G交于点P（x1，y1），Q（x2，y2）．当1＜t＜3时，若存在t使得x1+x2=4成立，结合图象，求k的取值范围．4．设a，b是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式a≤x≤b的实数x的所有取值的全体叫做闭区间，表示为[a，b]．对于一个函数，如果它的自变量x与函数值y满足：当m≤x≤n时，有m≤y≤n，我们就称此函数是闭区间[m，n]上的“闭函数”．如函数y=﹣x+4，当x=1时，y=3；当x=3时，y=1，即当1≤x≤3时，恒有1≤y≤3，所以说函数y=﹣x+4是闭区间[1，3]上的“闭函数”，同理函数y=x也是闭区间[1，3]上的“闭函数”．（1）反比例函数y=是闭区间[1，2018]上的“闭函数”吗？请判断并说明理由；（2）如果已知二次函数y=x2﹣4x+k是闭区间[2，t]上的“闭函数”，求k和t的值；（3）如果（2）所述的二次函数的图象交y轴于C点，A为此二次函数图象的顶点，B为直线x=1上的一点，当△ABC为直角三角形时，写出点B的坐标．5．若抛物线L：y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，abc≠0）与直线l都经过y轴上的同一点，且抛物线L的顶点在直线l上，则称次抛物线L与直线l具有“一带一路”关系，并且将直线l叫做抛物线L的“路线”，抛物线L叫做直线l的“带线”．（1）若“路线”l的表达式为y=2x﹣4，它的“带线”L的顶点的横坐标为﹣1，求“带线”L的表达式；（2）如果抛物线y=mx2﹣2mx+m﹣1与直线y=nx+1具有“一带一路”关系，求m，n的值；（3）设（2）中的“带线”L与它的“路线”l在y轴上的交点为A．已知点P为“带线”L上的点，当以点P为圆心的圆与“路线”l相切于点A时，求出点P的坐标．6．在平面直角坐标系中，规定：抛物线y=a（x﹣h）2+k的关联直线为y=a（x﹣h）+k．例如：抛物线y=2（x+1）2﹣3的关联直线为y=2（x+1）﹣3，即y=2x﹣1．（1）如图，对于抛物线y=﹣（x﹣1）2+3．①该抛物线的顶点坐标为，关联直线为，该抛物线与其关联直线的交点坐标为和；②点P是抛物线y=﹣（x﹣1）2+3上一点，过点P的直线PQ垂直于x轴，交抛物线y=﹣（x﹣1）2+3的关联直线于点Q．设点P的横坐标为m，线段PQ的长度为d（d＞0），求当d随m的增大而减小时，d与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围．（2）顶点在第一象限的抛物线y=﹣a（x﹣1）2+4a与其关联直线交于点A，B（点A在点B的左侧），与x轴负半轴交于点C，直线AB与x轴交于点D，连结AC、BC．①求△BCD的面积（用含a的代数式表示）．②当△ABC为钝角三角形时，直接写出a的取值范围．7．已知：抛物线C1：y=﹣（x+m）2+m2（m＞0），抛物线C2：y=（x﹣n）2+n2（n＞0），称抛物线C1，C2互为派对抛物线，例如抛物线C1：y=﹣（x+1）2+1与抛物线C2：y=（x﹣）2+2是派对抛物线，已知派对抛物线C1，C2的顶点分别为A，B，抛物线C1的对称轴交抛物线C2于C，抛物线C2的对称轴交抛物线C1与D．（1）已知抛物线①y=﹣x2﹣2x，②y=（x﹣3）2+3，③y=（x﹣）2+2，④y=x2﹣x+，则抛物线①②③④中互为派对抛物线的是（请在横线上填写抛物线的数字序号）；（2）如图1，当m=1，n=2时，证明AC=BD；（3）如图2，连接AB，CD交于点F，延长BA交x轴的负半轴于点E，记BD交x轴于G，CD交x轴于点H，∠BEO=∠BDC．①求证：四边形ACBD是菱形；②若已知抛物线C2：y=（x﹣2）2+4，请求出m的值．8．定义：对于给定的两个函数，任取自变量x的一个值，当x＜0时，它们对应的函数值互为相反数；当x≥0时，它们对应的函数值相等，我们称这样的两个函数互为相关函数．例如：一次函数y=x﹣1，它们的相关函数为y=．（1）已知点A（﹣5，8）在一次函数y=ax﹣3的相关函数的图象上，求a的值；（2）已知二次函数y=﹣x2+4x﹣．①当点B（m，）在这个函数的相关函数的图象上时，求m的值；②当﹣3≤x≤3时，求函数y=﹣x2+4x﹣的相关函数的最大值和最小值．9．定义：在平面直角坐标系中，图形G上点P（x，y）的纵坐标y与其横坐标x的差y﹣x称为P点的“坐标差”，而图形G上所有点的“坐标差”中的最大值称为图形G的“特征值”．（1）①点A（1，3）的“坐标差”为；②抛物线y=﹣x2+3x+3的“特征值”为；（2）某二次函数y=x2+bx+c（c≠0）的“特征值”为1，点B（m，0）与点C分别是此二次函数的图象与x轴和y轴的交点，且点B与点C的“坐标差”相等．①直接写出m=；（用含c的式子表示）②求此二次函数的表达式．（3）如图，在平面直角坐标系xOy中，以M（2，3）为圆心，2为半径的圆与直线y=x相交于点D、E，请直接写出⊙M的“特征值”为．10．如图①所示，双曲线y=（k≠0）与抛物线y=ax2+bx（a≠0）交于A，B，C三点，已知B（4，2），C（﹣2，﹣4），直线CO交双曲线于另一点D，抛物线与x轴交于另一点E．（1）求双曲线和抛物线的解析式；（2）在抛物线上是否存在点P，使得∠POE+∠BCD=90°？若存在，请求出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图②所示，过B作直线l⊥OB，过点D作DF⊥l于点F，BD与OF交于点P，求的值．二函新定义参考答案与试题解析一．解答题（共10小题）1．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（m，n），若点A'（m，n'）的纵坐标满足n'=则称点A′是点A的“绝对点”．（1）点（3，2）的“绝对点”的坐标为（3，1）．（2）点P是函数y=4x﹣1的图象上的一点，点P′是点P的“绝对点”．若点P与点P′重合，求点P的坐标．（3）点Q（a，b）的“绝对点”Q′是函数y=2x2的图象上的一点．当0≤a≤2时，求线段QQ′的最大值．，【分析】（1）根据“绝对点”的定义求解可得；（2）设点P的坐标为（m，n）．若m≥n，则P′的坐标为（m，m﹣n），根据P与P′重合知n=m﹣n，由4m﹣1=n求得m、n的值可得；若m＜n，同上的方法即可得出结论；（3）当a≥b时，Q′的坐标为（a，a﹣b），由Q′是函数y=2x2的图象上一点知a﹣b=2a2，即b=a﹣2a2．可得QQ′=|a﹣b﹣b|=|a﹣2（a﹣2a2）|=|4a2﹣a|，利用二次函数的图象和性质求出其最大值；当a＜b时，Q′的坐标为（a，b﹣a），知QQ′=|b﹣b+a|=|a|，显然可得其最值．【解答】解：（1）∵3＞2，∴点（3，2）的“绝对点”的纵坐标为3﹣2=1，则点（3，2）的“绝对点”的坐标为（3，1），故答案为：（3，1）．（2）设点P的坐标为（m，n）．当m≥n时，P′的坐标为（m，m﹣n）．若P与P′重合，则n=m﹣n，∵点P是函数y=4x﹣1的图象上的一点，∴4m﹣1=n，∴n=．即P的坐标为（，）．当m＜n时，P′的坐标为（m，n﹣m）．若P与P′重合，则n﹣m=n∴m=0．∵点P是函数y=4x﹣1的图象上的一点，∴4m﹣1=n，∴n=﹣1，（不符合m＜n，舍）综上所述，点P的坐标为（，）；（3）当a≥b时，Q′的坐标为（a，a﹣b）．因为Q′是函数y=2x2的图象上一点，所以a﹣b=2a2．即b=a﹣2a2．QQ′=|a﹣b﹣b|=|a﹣2（a﹣2a2）|=|4a2﹣a|，其函数图象如图所示：．由图象可知，当a=2时，QQ′的最大值为14．当a＜b时，Q′的坐标为（a，b﹣a）．QQ′=|b﹣b+a|=|a|=a．当a=2时，QQ′的最大值为2．综上所述，QQ′的最大值为14或2．【点评】本题二次函数的综合题，主要考查了“绝对点”的定义及二次函数的图象和性质、两点间的距离公式，理解新定义是解题的关键．2．定义：如果一条抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“直观三角形”．（1）抛物线y=x2的“直观三角形”是B．A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形（2）若抛物线y=ax2+2ax﹣3a的“直观三角形”是直角三角形，求a的值；（3）如图，面积为12的矩形ABCO的对角线OB在x轴的正半轴上，AC与OB相交于点E，若△ABE是抛物线y=ax2+bx+c的“直观三角形”，求此抛物线的解析式．【分析】（1）先确定出抛物线与x轴的交点坐标和顶点坐标，进而求出AD，BD，即可判断出抛物线的“直观三角形”；（2）根据抛物线的“直观三角形”是直角三角形建立方程求解即可；（3）先判断出△ABE是等边三角形，即可求出AH，BE，EH，最后用待定系数法求出抛物线解析式．【解答】解：（1）设抛物线y=x2﹣2∴A（0，0），B（2∴AD=BD=2，AB=2，0），D（，x与x轴的交点坐标为A，B，顶点为D，，﹣3），∴AB=AD=BD，∴△ABD是等边三角形，∴抛物线y=x2﹣2故答案为：B；x对应的“直观三角形”是等边三角形，（2）设抛物线y=ax2+2ax﹣3a与x轴的交点坐标为A，B，顶点为D，∴A（﹣3，0），B（1，0），D（﹣1，﹣4a），∵抛物线y=ax2+2ax﹣3a对应的“直观三角形”是直角三角形，∴AB2=AD2+BD2，∴16=4+16a2+4+16a2，∴a=±；（3）如图，∵四边形ABCD是矩形，∴AE=CE=OE=BE，∴S△ABE=S矩形ABCD=×12=3，∵△ABE是抛物线的“直观三角形”，根据抛物线的对称性得，AE=AB，∴AE=AB=BE，∴△ABE是等边三角形，过点A作AH⊥BE，∴AH=ABsin∠ABE=∴BE2=3，，，0），B（4，0），，AB=BE，∴BE=2∴AH=3，EH=∴A（3，3），E（2设抛物线解析式为y=a（x﹣3将点E（2）2+3，，0）代入得，a=﹣1，）2+3=﹣x2+6x﹣24．x﹣24．∴y=﹣（x﹣3∴过点A，B，E三点的抛物线的解析式y=﹣x2+6【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了抛物线的“特征轴三角形”的特点，待定系数法，直角三角形的判定和性质，等边三角形的判定，三角形的面积公式，解本题的关键是判断出△ABE是等边三角形．3．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：y=x2﹣4x+4和直线l：y=kx﹣2k（k＞0）．（1）抛物线C的顶点D的坐标为（2，0）；（2）请判断点D是否在直线l上，并说明理由；（3）记函数y=的图象为G，点M（0，t），过点M垂直于y轴的直线与图象G交于点P（x1，y1），Q（x2，y2）．当1＜t＜3时，若存在t使得x1+x2=4成