二次函数难题汇编附答案

二次函数难题汇编附答案一、选择题1．四位同学在研究函数yx2bxc（b,c是常数）时，甲发现当x1时，函数有最小值；乙发现1是方程x2bxc0的一个根；丙发现函数的最小值为3；丁发现当x2时，y4，已知这四位同学中只有一位发现的结论是错误的，则该同学是（）A．甲【答案】B【解析】【分析】利用假设法逐一分析，分别求出二次函数的解析式，再判断与假设是否矛盾即可得出结论．【详解】解：A．假设甲同学的结论错误，则乙、丙、丁的结论都正确由乙、丁同学的结论可得B．乙C．丙D．丁01bc442bc1b3解得：2c312125∴二次函数的解析式为：yx2xx33636∴当x=意；B．假设乙同学的结论错误，则甲、丙、丁的结论都正确由甲、丙的结论可得二次函数解析式为yx13当x=2时，解得y=4，当x=-1时，y=7≠0∴此时符合假设条件，故本选项符合题意；C．假设丙同学的结论错误，则甲、乙、丁的结论都正确由甲乙的结论可得22125时，y的最小值为，与丙的结论矛盾，故假设不成立，故本选项不符合题636b1201bcb2解得：c3∴yx22x3当x=2时，解得：y=-3，与丁的结论矛盾，故假设不成立，故本选项不符合题意；D．假设丁同学的结论错误，则甲、乙、丙的结论都正确由甲、丙的结论可得二次函数解析式为yx13当x=-1时，解得y=7≠0，与乙的结论矛盾，故假设不成立，故本选项不符合题意．故选B．【点睛】此题考查的是利用待定系数法求二次函数解析式，利用假设法求出b、c的值是解决此题的关键．22．二次函数y＝ax2bxc（a≠0）图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②2ab22＝0；③当m≠1时，ab＞am2bm；④abc＞0；⑤若ax1bx1＝ax2bx2，且x1≠x2，则x1x2＝2．其中正确的有（）A．①②③【答案】D【解析】【分析】B．②④C．②⑤D．②③⑤由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断【详解】解：抛物线的开口向下，则a＜0；抛物线的对称轴为x=1，则-b=1，b=-2a2a∴b0，2a+b=0②抛物线交y轴于正半轴，则c＞0；由图像知x=1时y=a+b+c是抛物线顶点的纵坐标，是最大值，当m≠1y=am2bm+c不是顶点纵坐标，不是最大值∴ab＞am2bm（故③正确）：b＞0，b+2a=0；（故②正确）又由①②③得：abc＜0（故①错误）由图知：当x=-1时，y＜0；即a-b+c＜0，b＞a+c；（故④错误）22222⑤若ax1bx1＝ax2bx2得ax1bx1-(ax2bx2)=ax1bx1-ax22-bx2=a(x12-x22)+b(x1-x2)=a(x1+x2)（x1-x2）+b(x1-x2)=（x1-x2）[a(x1+x2)+b]=0∵x1≠x2∴a(x1+x2)+b=0∴x1+x2=故选D．考点：二次函数图像与系数的关系.b2a=2（故⑤正确）aa3．如图是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，其顶点坐标为（1，m），且与x铀的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，则下列结论：①abc＞0；②a﹣b+c＞0；③b2＝4a（c﹣m）；④一元二次方程ax2+bx+c＝m+1有两个不相等的实数根，其中正确结论的个数是（）A．1【答案】C【解析】【分析】B．2C．3D．4根据抛物线的开口方向和与坐标轴的交点及对称轴可判别a，b，c的正负；根据抛物线的对称轴位置可判别在x轴上另一个交点；根据抛物线与直线y=m的交点可判定方程的解．【详解】∵函数的图象开口向上，与y轴交于负半轴∴a0,c0∵抛物线的对称轴为直线x=－∴b0∴abc＞0；①正确；∵抛物线与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，而抛物线的对称轴为直线x=1，∴抛物线与x轴的另一个交点在点（-2，0）和（-1，0）之间．∴当x=-1时，y0，即a-b+c0，所以②不正确；∵抛物线的顶点坐标为（1，m），b=12a4acb2=m，∴4a∴b2=4ac-4am=4a（c-m），所以③正确；∵抛物线与直线y=m有一个公共点，∴抛物线与直线y=m+1有2个公共点，∴一元二次方程ax2+bx+c=m+1有两个不相等的实数根，所以④正确．故选:C．【点睛】考核知识点：抛物线与一元二次方程．理解二次函数性质，弄清抛物线与一元二次方程的关系是关键．4．如图是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，其顶点是（1，n），且与x的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，则下列结论：①a-b+c＞0；②3a+b=0；③b2=4a（c-n）；④一元二次方程ax2+bx+c=n-1有两个不等的实数根．其中正确结论的个数是（）A．1【答案】C【解析】【分析】B．2C．3D．4利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点在点（-2，0）和（-1，0）之间，则当x=-1时，y0，于是可对①进行判断；利用抛物线的对称轴为直线x=-b=1，即b=-2a4acb22a，则可对②进行判断；利用抛物线的顶点的纵坐标为n得到=n，则可对③进行4a判断；由于抛物线与直线y=n有一个公共点，则抛物线与直线y=n-1有2个公共点，于是可对④进行判断．【详解】∵抛物线与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，而抛物线的对称轴为直线x=1，∴抛物线与x轴的另一个交点在点（-2，0）和（-1，0）之间．∴当x=-1时，y＞0，即a-b+c＞0，所以①正确；b=1，即b=-2a，2a∴3a+b=3a-2a=a，所以②错误；∵抛物线的对称轴为直线x=-∵抛物线的顶点坐标为（1，n），4acb2=n，∴4a∴b2=4ac-4an=4a（c-n），所以③正确；∵抛物线与直线y=n有一个公共点，∴抛物线与直线y=n-1有2个公共点，∴一元二次方程ax2+bx+c=n-1有两个不相等的实数根，所以④正确．故选C．【点睛】本题考查了二次函数图像与系数的关系，熟练掌握二次函数性质是解题的关键.5．二次函数yax2bxc(a,b,c为常数，且a0)中的x与y的部分对应值如表：x······110133······y35下列结论错误的是()A．ac0的一个根；C．当x1时，y的值随x值的增大而减小；D．当-1x3时，B．3是关于x的方程axb1xc02ax2b1xc0.【答案】C【解析】【分析】根据函数中的x与y的部分对应值表，可以求得a、b、c的值然后在根据函数解析式及其图象即可对各个选项做出判断．【详解】解：根据二次函数的x与y的部分对应值可知：当x1时，y1，即abc1，当x0时，y3，即c3，当x1时，y5，即abc5，abc1联立以上方程：c3，abc5a1解得：b3，c3∴yx23x3；A、ac1330，故本选项正确；B、方程axb1xc0可化为x22x30，2将x3代入得：322339630，∴3是关于x的方程axb1xc0的一个根,故本选项正确；2C、yx23x3化为顶点式得：y(x)∵a10，则抛物线的开口向下，32221，433时，y的值随x值的增大而减小；当x时，y的值随x值的增大而增大；22故本选项错误；∴当xD、不等式axb1xc0可化为x22x30，令yx22x3，2由二次函数的图象可得：当y0时，-1x3，故本选项正确；故选：C．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质、二次函数与不等式的关系，根据表中数据求出二次函数解析式是解题的关键．6．抛物线y1=ax2+bx+c与直线y2=mx+n的图象如图所示，下列判断中：①abc＜0；②a+b+c＞0；③5a-c=0；④当x＜或x＞6时，y1＞y2，其中正确的个数有（）A．1【答案】C【解析】【分析】【详解】B．2C．3D．4解：根据函数的开口方向、对称轴以及函数与y轴的交点可知：a0，b0，c0，则abc0，则①正确；根据图形可得：当x=1时函数值为零，则a+b+c=0，则②错误；根据函数对称轴可得：-c=0，则③正确；b=3，则b=-6a，根据a+b+c=0可知：a-6a+c=0，-5a+c=0，则5a-2a根据函数的交点以及函数图像的位置可得④正确.点睛：本题主要考查的就是函数图像与系数之间的关系，属于中等题目,如果函数开口向上，则a大于零，如果函数开口向下，则a小于零；如果函数的对称轴在y轴左边，则b的符号与a相同，如果函数的对称轴在y轴右边，则b的符号与a相反；如果函数与x轴交于正半轴，则c大于零，如果函数与x轴交于负半轴，则c小于零；对于出现a+b+c、a-b+c、4a+2b+c、4a-2b+c等情况时，我们需要找具体的值进行代入从而得出答案；对于两个函数值的大小比较，我们一般以函数的交点为分界线，然后进行分情况讨论.7．若平面直角坐标系内的点M满足横、纵坐标都为整数，则把点M叫做“整点”．例如：P（1，0）、Q（2，﹣2）都是“整点”．抛物线y＝mx2﹣4mx+4m﹣2（m＞0）与x轴交于点A、B两点，若该抛物线在A、B之间的部分与线段AB所围成的区域（包括边界）恰有七个整点，则m的取值范围是（）1≤m＜12【答案】B【解析】【分析】A．【详解】B．1＜m≤12C．1＜m≤2D．1＜m＜2画出图象，利用图象可得m的取值范围∵y＝mx2﹣4mx+4m﹣2＝m（x﹣2）2﹣2且m＞0，∴该抛物线开口向上，顶点坐标为（2，﹣2），对称轴是直线x＝2．由此可知点（2，0）、点（2，﹣1）、顶点（2，﹣2）符合题意．①当该抛物线经过点（1，﹣1）和（3，﹣1）时（如答案图1），这两个点符合题意．将（1，﹣1）代入y＝mx2﹣4mx+4m﹣2得到﹣1＝m﹣4m+4m﹣2．解得m＝1．此时抛物线解析式为y＝x2﹣4x+2．10.6，x2223.4．2∴x轴上的点（1，0）、（2，0）、（3，0）符合题意．由y＝0得x2﹣4x+2＝0．解得x12则当m＝1时，恰好有（1，0）、（2，0）、（3，0）、（1，﹣1）、（3，﹣1）、（2，﹣1）、（2，﹣2）这7个整点符合题意．∴m≤1．【注：m的值越大，抛物线的开口越小，m的值越小，抛物线的开口越大】答案图1（m＝1时）答案图2（m＝时）②当该抛物线经过点（0，0）和点（4，0）时（如答案图2），这两个点符合题意．此时x轴上的点（1，0）、（2，0）、（3，0）也符合题意．将（0，0）代入y＝mx2﹣4mx+4m﹣2得到0＝0﹣4m+0﹣2．解得m＝此时抛物线解析式为y＝1．212x﹣2x．213当x＝1时，得y1211．∴点（1，﹣1）符合题意．22当x＝3时，得y综上可知：当m＝139231.∴点（3，﹣1）符合题意．221时，点（0，0）、（1，0）、（2，0）、（3，0）、（4，0）、2（1，﹣1）、（3，﹣1）、（2，﹣2）、（2，﹣1）都符合题意，共有9个整点符合题意，∴m＝∴m＞1不符合题．21．21＜m≤1时，该函数的图象与x轴所围成的区域（含边界）内有七个2综合①②可得：当整点，故选：B．【点睛】考查二次函数图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点，画出图象，数形结合是解题的关键.8．如图是函数yx22x3(0x4)的图象，直线l//x轴且过点(0,m)，将该函数在直线l上方的图象沿直线l向下翻折，在直线1下方的图象保持不变，得到一个新图象．若新图象对应的函数的最大值与最小值之差不大于5，则m的取值范围是（）A．m1【答案】C