2020中考数学-专题练习：几何基础(含答案)

中考专题练习-几何基础专题例1.如图，某数学兴趣小组想测量一棵树CD的高度，他们先在点A处测得树顶C的仰角为然后沿AD方向前行10m，到达B点，在B处测得树顶C的仰角高度为60(A、B、30，D三点在同一直线上）．请你根据他们测量数据计算这棵树CD的高度（结果精确到0.1m)．（参考数据：21.414，31.732)【解答】解：CBDAACB，ACBCBDA603030，AACB，BCAB10（米)．在直角BCD中，CDBCsinCBD10答：这棵树CD的高度为8.7米．35351.7328.7（米)．2例2.如图，在边长为6的正方形ABCD中，将ADE沿AE对折至AFE，E是边CD的中点，延长EF交边BC于点G，连接AG．（1）求证：ABGAFG；（2）求BG的长．【解答】解：（1）在正方形ABCD中，ADABBCCD，将ADE沿AE对折至AFE，ADAF，DEEF，DAFE90，ABAF，BAFG90，又AGAG，在RtABG和RtAFG中，AGAGABAF，ABGAFG(HL)；（2）ABGAFG，BGFG，设BGFGx，则GC6x，E为CD的中点，CEEFDE3，EG3x，在RtCEG中，32(6x)2(3x)2，解得x2，BG2．DBBCD90，例3.如图，RtABC中，B30，ACB90，CDAB交AB于D，以CD为较短的直角边向CDB的同侧作RtDEC，满足E30，再用同样的方法作RtFGC，DCE90，FCG90，继续用同样的方法作RtHIC，HCI90．若ACa，求CI的长．【解答】解：解法一：在RtACB中，B30，ACB90，A903060，CDAB，ADC90，ACD30，在RtACD中，ACa，AD12a，由勾股定理得：CDa2(123a2a)2，同理得：FC323a23a4，CH33a233a48，在RtHCI中，I30，HI2HC33a4，由勾股定理得：CI(33a4)2(33a29a8)8，解法二：DCAB30，在RtDCA中，cos30CDAC，CDACcos3032a，在RtCDF中，cos30CFCD，CF3232a34a，同理得：CHcos30CF3234a338a，在RtHCI中，HIC30，tan30CHCI，CI338a3398a；答：CI的长为9a8．例4.如图所示，已知四边形ABCD，ADEF都是菱形，BADFAD，BAD为锐角．（1）求证：ADBF；（2）若BFBC，求ADC的度数．【解答】（1）证明：如图，连结DB、DF．四边形ABCD，ADEF都是菱形，ABBCCDDA，ADDEEFFA．在BAD与FAD中，ABAFBADFAD，ADADBADFAD，DBDF，D在线段BF的垂直平分线上，ABAF，A在线段BF的垂直平分线上，AD是线段BF的垂直平分线，ADBF；解法二：四边形ABCD，ADEF都是菱形，ABBCCDDA，ADDEEFFA．ABAF，BADFAD，ADBF（等腰三角形三线合一）；（2）如图，设ADBF于H，作DGBC于G，则四边形BGDH是矩形，DGBH1BF．2BFBC，BCCD，DG1CD．21在直角CDG中，CGD90，DGCD，2C30，BC//AD，ADC180C150．例5.如图，矩形ABCD中，ABAD，把矩形沿对角线AC所在直线折叠，使点B落在点E处，AE交CD于点F，连接DE．（1）求证：ADECED；（2）求证：DEF是等腰三角形．【解答】证明：（1）四边形ABCD是矩形，ADBC，ABCD．由折叠的性质可得：BCCE，ABAE，ADCE，AECD．ADCE在ADE和CED中，AECD，DEEDADECED(SSS)．（2）由（1）得ADECED，DEAEDC，即DEFEDF，EFDF，DEF是等腰三角形．例6.如图所示，A、B两城市相距100km，现计划在这两座城市间修建一条高速公路（即线段AB)，经测量，森林保护中心P在A城市的北偏东30和B城市的北偏西45的方向上，已知森林保护区的范围在以P点为圆心，50km为半径的圆形区域内，请问计划修建的这条高速公路会不会穿越保护区，为什么？（参考数据：31.732，21.414)【解答】解：过点P作PCAB，C是垂足．则APC30，BPC45，ACPCtan30，BCPCtan45．ACBCAB，PCtan30PCtan45100km，(31)PC100，3PC50(33)50(31.732)63.4km50km．答：森林保护区的中心与直线AB的距离大于保护区的半径，所以计划修筑的这条高速公路不会穿越保护区．例7.在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB5，AC6．过D点作DE//AC交BC的延长线于点E．（1）求BDE的周长；（2）点P为线段BC上的点，连接PO并延长交AD于点Q．求证：BPDQ．【解答】（1）解：四边形ABCD是菱形，ABBCCDAD5，ACBD，OBOD，OAOC3OBAB2OA24，BD2OB8，AD//CE，AC//DE，四边形ACED是平行四边形，CEADBC5，DEAC6，BDE的周长是：BDBCCEDE810624．（2）证明：四边形ABCD是菱形，AD//BC，QDOPBO，在DOQ和BOP中QDOPBO，OBODQODPOBDOQBOP(ASA)，BPDQ．例8.如图所示，在矩形ABCD中，AB12，AC20，两条对角线相交于点O．以OB、OC为邻边A1C为邻边作第2个平行四边形A1B1C1C，作第1个平行四边形OBB1C，对角线相交于点A1；再以A1B1、对角线相交于点O1；再以O1B1、O1C1为邻边作第3个平行四边形O1B1B2C1依此类推．（1）求矩形ABCD的面积；（2）求第1个平行四边形OBB1C，第2个平行四边形和第6个平行四边形的面积．【解答】解：（1）四边形ABCD是矩形，AC20，AB12ABC90，BCAC2AB220212216S矩形ABCDABBC1216192．（2）OB//B1C，OC//BB1，四边形OBB1C是平行四边形．四边形ABCD是矩形，OBOC，四边形OBB1C是菱形．OB1BC，A1BOB12OA112，11BC8，OA1OB1OB2A1B26；22S菱形OBB1C11BCOB1161296；22同理：四边形A1B1C1C是矩形，S矩形A1B1C1CA1B1B1C16848；第n个平行四边形的面积是：Sn1922nS61923．62例9.如图，PA与O相切于A点，弦ABOP，垂足为C，OP与O相交于D点，已知OA2，OP4．（1）求POA的度数；（2）计算弦AB的长．【解答】解：（1）PA与O相切于A点，OAP是直角三角形，OA2，OP4，cosPOAOA1，OP2POA60．（2）直角三角形中AOC60，OA2，ACOAsin60233．2ABOP，AB2AC23．例10.如图，分别以RtABC的直角边AC及斜边AB向外作等边ACD及等边ABE．已知BAC30，EFAB，垂足为F，连接DF．（1）试说明ACEF；（2）求证：四边形ADFE是平行四边形．【解答】证明：（1）RtABC中，BAC30，AB2BC，又ABE是等边三角形，EFAB，AB2AFAFBC，在RtAFE和RtBCA中，AFBC，AEBAAFEBCA(HL)，ACEF；（2）ACD是等边三角形，DAC60，ACAD，DABDACBAC90又EFAB，EF//AD，ACEF，ACAD，EFAD，四边形ADFE是平行四边形．例11.已知：如图，E、F在AC上，AD//CB且ADCB，DB．求证：AECF．【解答】证明：AD//CB，AC，在ADF和CBE中，ACADCB，DBADFCBE(ASA)，AFCE，AFEFCEEF，即AECF．例12.如图，直角梯形纸片ABCD中，AD//BC，A90，C30，折叠纸片使BC经过点D，点C落在点E处，BF是折痕，且BFCF8．（1）求BDF的度数；（2）求AB的长．【解答】解：（1）BFCF8，FBCC30，折叠纸片使BC经过点D，点C落在点E处，BF是折痕，EBFCBF30，EBC60，BDF90；（2）EBC60ADB60，BFCF8．BDBFsin6043在RtBAD中，ABBDsin606．例13.已知：如图，在四边形ABCD中，AB//CD，对角线AC、BD相交于点O，BODO．求证：四边形ABCD是平行四边形．【解答】证明：AB//CD，ABOCDO，在ABO与CDO中，ABOCDO，BODOAOBCODABOCDO(ASA)，ABCD，四边形ABCD是平行四边形．18．（7分）如图，小山岗的斜坡AC的坡度是tan3，在与山脚C距离200米的D处，测4得山顶A的仰角为26.6，求小山岗的高AB（结果取整数：参考数据：sin26.60.45，cos26.60.89，tan26.60.50)．【解答】解：在直角三角形ABC中，AB3tan，BC4BC4AB3在直角三角形ADB中，ABtan26.60.50BD即：BD2ABBDBCCD2002AB4AB2003解得：AB300米，答：小山岗的高度为300米．例14.如图，矩形ABCD中，以对角线BD为一边构造一个矩形BDEF，使得另一边EF过原矩形的顶点C．（1）设RtCBD的面积为S1，RtBFC的面积为S2，RtDCE的面积为S3，则S1S2S3（用“”、“”、“”填空）；（2）写出如图中的三对相似三角形，并选择其中一对进行证明．【解答】（1）解：S11BDED，S矩形BDEFBDED，21S矩形BDEF，21S2S3S矩形BDEF，2S1S1S2S3．（2）答：BCD∽CFB∽DEC．证明BCD∽DEC；证明：EDCBDC90，CBDBDC90，EDCCBD，又BCDDEC90，BCD∽DEC．