22.3实际问题与二次函数第1课时二次函数与图形面积01基础题知识点二次函数与图形面积1.(六盘水中考)如图,假设篱笆(虚线部分)的长度为16m,则所围成矩形ABCD的最大面积是(C)A.60m2B.63m2C.64m2D.66m22.用长8m的铝合金条制成使窗户的透光面积最大的矩形窗框(如图),那么这个窗户的最大透光面积是(C)644A.m2B.m22538C.m2D.4m233.(泰安中考改编)如图,在△ABC中,∠C=90°,AB=10cm,BC=8cm,点P从点A沿AC向点C以1cm/s的速度运动,同时点Q从点C沿CB向点B以2cm/s的速度运动(点Q运动到点B停止),在运动过程中,△PCQ面积的最大值为(B)A.6cm2B.9cm2C.12cm2D.15cm24.(衢州中考)某农场拟建三间长方形种牛饲养室,饲养室的一面靠墙(墙长50m),中间用两道墙隔开(如图),已知计划中的建筑材料可建墙的总长度为48m,则这三间长方形种牛饲养室的总占地面积的最大值为144m2.5.将一根长为20cm的铁丝剪成两段,并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形,25则这两个正方形面积之和的最小值是cm2.26.已知直角三角形两条直角边的和等于20,两条直角边各为多少时,这个直角三角形的面积最大?最大值是多少?解:设直角三角形的一直角边长为x,则另一直角边长为(20-x),其面积为y,则1y=x(20-x)21=-x2+10x21=-(x-10)2+50.21∵-0,2∴当x=10时,面积y值取最大,y最大=50.7.(滨州中考)某高中学校为高一新生设计的学生单人桌的抽屉部分是长方体形,抽屉底面周长为180cm,高为20cm.请通过计算说明,当底面的宽x为何值时,抽屉的体积y最大?最大为多少?(材质及其厚度等暂忽略不计)180解:根据题意,得y=20x(-x).2整理,得y=-20x2+1800x=-20(x2-90x+2025)+40500=-20(x-45)2+40500.∵-20<0,∴当x=45时,函数有最大值,y最大=40500.即当底面的宽为45cm时,抽屉的体积最大,最大为40500cm3.易错点二次函数最值问题未与实际问题相结合8.(咸宁中考)用一根长为40cm的绳子围成一个面积为acm2的长方形,那么a的值不可能为(D)A.20B.40C.100D.12002中档题9.(教材P52习题T7变式)(新疆中考)如图,在边长为6cm的正方形ABCD中,点E,F,G,H分别从点A,B,C,D同时出发,均以1cm/s的速度向点B,C,D,A匀速运动,当点E到达点B时,四个点同时停止运动,在运动过程中,当运动时间为3s时,四边形EFGH的面积最小,其最小值是18cm2.10.手工课上,小明准备做一个形状是菱形的风筝,这个菱形的两条对角线长度之和恰好为60cm,菱形的面积S(单位:cm2)随其中一条对角线的长x(单位:cm)的变化而变化.(1)请直接写出S与x之间的函数关系式(不要求写出自变量x的取值范围);(2)当x是多少时,菱形风筝面积S最大?最大面积是多少?1解:(1)S=-x2+30x.211(2)∵S=-x2+30x=-(x-30)2+450,221且-<0,2∴当x=30时,S有最大值,最大值为450.即当x为30cm时,菱形风筝的面积最大,最大面积是450cm2.11.(包头中考)某广告公司设计一幅周长为16米的矩形广告牌,广告设计费为每平方米2000元.设矩形一边长为x米,面积为S平方米.(1)求S与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;(2)设计费能达到24000元吗?为什么?(3)当x是多少米时,设计费最多?最多是多少元?解:(1)∵矩形的一边长为x米,周长为16米,∴另一边长为(8-x)米.∴S=x(8-x)=-x2+8x,其中0<x<8.(2)能.理由:当设计费为24000元时,广告牌的面积为24000÷2000=12(平方米),即-x2+8x=12,解得x=2或x=6.∵x=2和x=6在0<x<8内,∴设计费能达到24000元.(3)∵S=-x2+8x=-(x-4)2+16,0<x<8,∴当x=4时,S最大=16.∴当x=4米时,矩形的面积最大,为16平方米,设计费最多,最多是16×2000=32000元.12.(泉州中考)某校在基地参加社会实践活动中,带队老师考问学生:基地计划新建一个矩形的生物园地,一边靠旧墙(墙足够长),另外三边用总长69米的不锈钢栅栏围成,与墙平行的一边留一个宽为3米的出入口,如图所示,如何设计才能使园地的面积最大?下面是两位学生争议的情境:请根据上面的信息,解决问题:(1)设AB=x米(x>0),试用含x的代数式表示BC的长;(2)请你判断谁的说法正确,为什么?解:(1)BC=69+3-2x=72-2x.(2)小英的说法正确.理由:矩形面积S=x(72-2x)=-2(x-18)2+648,∵72-2x>0,∴x<36.∴0<x<36.∴当x=18时,S取最大值,此时x≠72-2x.∴面积最大的不是正方形.∴小英的说法正确.03综合题13.(朝阳中考)如图,正方形ABCD的边长为2cm,△PMN是一块直角三角板(∠N=30°),PM>2cm,PM与BC均在直线l上,开始时M点与B点重合,将三角板向右平行移动,直至M点与C点重合为止.设BM=xcm,三角板与正方形重叠部分的面积为ycm2.下列结论:23①当0≤x≤3时,y与x之间的函数关系式为y=x2;3222②当3x≤2时,y与x之间的函数关系式为y=2x-3;331③当MN经过AB的中点时,y=3cm2;21④存在x的值,使y=S正方形ABCD(S正方形ABCD表示正方形ABCD的面积).2其中正确的是①②④(写出所有正确结论的序号).第2课时二次函数与商品利润01基础题知识点1简单销售问题中的最大利润1.某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品,该商店可以自行定价.若每件商品售价为x元,则可卖出(350-10x)件商品,那么卖出商品所赚钱y元与售价x元之间的函数关系为(B)A.y=-10x2-560x+7350B.y=-10x2+560x-7350C.y=-10x2+350xD.y=-10x2+350x-73502.我市某镇的一种特产由于运输原因,长期只能在当地销售.当地政府对该特产的销售投1资与收益的关系为:每投入x万元,可获得利润P=-(x-60)2+41(万元).每年最多可100投入100万元的销售投资,则5年所获利润的最大值是205万元.3.(山西中考)某批发市场批发甲、乙两种水果,根据以往经验和市场行情,预计夏季某一段时间内,甲种水果的销售利润y甲(万元)与进货量x(吨)近似满足函数关系y甲=0.3x;乙种水果的销售利润y乙(万元)与进货量x(吨)近似满足函数关系y乙=ax2+bx(其中a≠0,a,b为常数),且进货量x为1吨时,销售利润y乙为1.4万元;进货量x为2吨时,销售利润y乙为2.6万元.(1)求y乙(万元)与x(吨)之间的函数关系式;(2)如果市场准备进甲、乙两种水果共10吨,设乙种水果的进货量为t吨,请你写出这两种水果所获得的销售利润之和W(万元)与t(吨)之间的函数关系式,并求出这两种水果各进多少吨时获得的销售利润之和最大,最大利润是多少?a+b=1.4,a=-0.1,解:(1)由题意,得解得4a+2b=2.6.b=1.5.∴y乙=-0.1x2+1.5x.(2)W=y甲+y乙=0.3(10-t)+(-0.1t2+1.5t)=-0.1t2+1.2t+3=-0.1(t-6)2+6.6.∵-0.10,∴t=6时,W有最大值为6.6.∴10-6=4(吨).答:甲、乙两种水果的进货量分别为4吨和6吨时,获得的销售利润之和最大,最大利润是6.6万元.知识点2“每…,每…”的问题4.一件工艺品进价为100元,标价135元售出,每天可售出100件.根据销售统计,该件工艺品每降价1元出售,则每天可多售出4件,要使每天获得的利润最大,每件需降价的钱数为(A)A.5元B.10元C.0元D.6元5.(十堰中考)某超市销售一种牛奶,进价为每箱24元,规定售价不低于进价.现在的售价为每箱36元,每月可销售60箱.市场调查发现:若这种牛奶的售价每降价1元,则每月的销量将增加10箱,设每箱牛奶降价x元(x为正整数),每月的销量为y箱.(1)写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围;(2)超市如何定价,才能使每月销售牛奶的利润最大?最大利润是多少元?解:(1)y=10x+60(1≤x≤12,且x为整数).(2)设每月销售利润为w元.根据题意,得w=(36-x-24)(10x+60),整理,得w=-10x2+60x+720=-10(x-3)2+810.∵-10<0,且1≤x≤12,∴当x=3时,w有最大值,最大值是810.∴36-3=33.答:当定价为33元/箱时,每月销售牛奶的利润最大,最大利润是810元.02中档题6.生产季节性产品的企业,当它的产品无利润时就会及时停产.现有一生产季节性产品的企业,其一年中获得的利润y和月份n之间的函数关系式为y=-n2+14n-24,则该企业一年中应停产的月份是(C)A.1月、2月、3月B.2月、3月、4月C.1月、2月、12月D.1月、11月、12月7.(沈阳中考)某种商品每件进价为20元,调查表明:在某段时间内若以每件x元(20≤x≤30,且x为整数)出售,可卖出(30-x)件.要使利润最大,每件的售价应为25元.8.(阳泉市平定县月考)某种商品每天的销售利润y(元)与销售单价x(元)之间满足关系y=ax2+bx-75,其图象如图所示.(1)销售单价为多少元时,该种商品每天的销售利润最大?最大利润为多少元?(2)销售单价在什么范围内时,该种商品每天的销售利润不低于16元?解:(1)∵y=ax2+bx-75的图象过点(5,0),(7,16),25a+5b-75=0,∴49a+7b-75=16.a=-1,解得b=20.∴y=-x2+20x-75.∵y=-x2+20x-75=-(x-10)2+25,-10,∴当x=10时,y最大=25.答:销售单价为10元时,该种商品每天的销售利润最大,最大利润为25元.(2)由(1)可知函数y=-x2+20x-75图象的对称轴为直线x=10,点(7,16)关于对称轴的对称点是(13,16).又∵函数y=-x2+20x-75图象开口向下,∴当7≤x≤13时,y≥16.答:销售单价不少于7元且不超过13元时,该种商品每天的销售利润不低于16元.9.(襄阳中考)为了“创建文明城市,建设美丽家园”,我市某社区将辖区内的一块面积为1000m2的空地进行绿化,一部分种草,剩余部分栽花.设种草部分的面积为x(m2),种草所需费k1x(0≤x600),用y1(元)与x(m)的函数关系式为y1=其图象如图所示.栽花所k2x+b(600≤x≤1000),2需费用y2(元)与x(m2)的函数关系式为y2=-0.01x2-20x+30000(0≤x≤1000).(1)请直接写出k1,k2和b的值;(2)设这块1000m2空地的绿化总费用为W(元),请利用W与x的函数关系式,求出绿化总费用W的最大值;(3)若种草部分的面积不少于700m2,栽花部分的面积不少于100m2,请求出绿化总费用W的最小值.解:(1)k1=30,k2=20,b=6000.(2)当0≤x600时,W=30x+(-0.01x2-20x+30000)=-0.01x2+10x+30000=-0.01(x-500)2+32500,∵-0.010,∴当x=500时,W取最大值为32500元.当600≤x≤1000时,W=20x+6000+(-0.01x2-20x+30000)=-0.01x2+36000,∵-0.010,∴当600≤x≤1000时,W随x的增大而减小.∴当x=600时,W取最大值为32400元.∵32400325