2020中考数学 专题练习：圆的综合题(含答案)

2020中考数学专题练习：圆的综合题（含答案）类型一与全等结合1.如图，⊙O的直径AB＝4，C为⊙O上一点，AC＝2.过点C作⊙O的︵切线DC，P点为优弧CBA上一动点(不与A、C重合)．(1)求∠APC与∠ACD的度数；︵(2)当点P移动到劣弧CB的中点时，求证：四边形OBPC是菱形；(3)当PC为⊙O的直径时，求证：△APC与△ABC全等．第1题图1(1)解：∵AC＝2，OA＝OB＝OC＝AB＝2，2∴AC＝OA＝OC，∴△ACO为等边三角形，∴∠AOC＝∠ACO＝∠OAC＝60°，∴∠APC＝12∠AOC＝30°，又∵DC与⊙O相切于点C，∴OC⊥DC，∴∠DCO＝90°，∴∠ACD＝∠DCO－∠ACO＝90°－60°＝30°；第1题解图证明：如解图，连接PB，OP，∵AB为直径，∠AOC＝60°，∴∠COB＝120°，当点P移动到︵CB的中点时，∠COP＝∠POB＝60°，∴△COP和△BOP都为等边三角形，(2)∴OC＝CP＝OB＝PB，∴四边形OBPC为菱形；(3)证明：∵CP与AB都为⊙O的直径，∴∠CAP＝∠ACB＝90°，在Rt△ABC与Rt△CPA中，AB＝CPAC＝AC，∴Rt△ABC≌Rt△CPA(HL)．2.如图，AB为⊙O的直径，CA、CD分别切⊙O于点A、D，线交⊙O于点M，连接BD、DM.(1)求证：AC＝DC；(2)求证：BD∥CM；(3)若sinB＝45，求cos∠BDM的值．第2题图(1)证明：如解图，连接OD，的延长CO∵CA、CD分别与⊙O相切于点A、D，∴OA⊥AC，OD⊥CD，在Rt△OAC和Rt△ODC中，OA＝OD，OC＝OC∴Rt△OAC≌Rt△ODC(HL)，∴AC＝DC；(2)证明：由(1)知，△OAC≌△ODC，∴∠AOC＝∠DOC，∴∠AOD＝2∠AOC，∵∠AOD＝2∠OBD，∴∠AOC＝∠OBD，∴BD∥CM；(3)解：∵BD∥CM，∴∠BDM＝∠M，∠DOC＝∠ODB，∠AOC＝∠B，∵OD＝OB＝OM，∴∠ODM＝∠OMD，∠ODB＝∠B＝∠DOC，∵∠DOC＝2∠DMO，∴∠DOC＝2∠BDM，∴∠B＝2∠BDM，如解图，作OE平分∠AOC，交AC于点E，作EF⊥OC于点F，第2题解图∴EF＝AE，在Rt△EAO和Rt△EFO中，∵OE＝OEAE＝EF，∴Rt△EAO≌Rt△EFO(HL)，∴OA＝OF，∠AOE＝12∠AOC，∴点F在⊙O上，又∵∠AOC＝∠B＝2∠BDM，∴∠AOE＝∠BDM，设AE＝EF＝y，4∵sinB＝，5AC4∴在Rt△AOC中，sin∠AOC＝＝，OC5∴设AC＝4x，OC＝5x，则OA＝3x，在Rt△EFC中，EC2＝EF2＋CF2，∵EC＝4x－y，CF＝5x－3x＝2x，∴(4x－y)2＝y2＋(2x)2，3解得y＝x，2∴在Rt△OAE中，OE＝OA2＋AE2335（3x）2＋（x）2＝x，22＝OA3x25∴cos∠BDM＝cos∠AOE＝＝＝.OE355x2︵︵3.如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC为直径，AB＝BD，BE⊥DC交DC的延长线于点E.(1)求证：∠1＝∠BCE；(2)求证：BE是⊙O的切线；(3)若EC＝1，CD＝3，求cos∠DBA.第3题图(1)证明：如解图，过点B作BF⊥AC于点F，︵︵∵AB＝BD，∴AB＝BD在△ABF与△DBE中，∠BAF＝∠BDE∠AFB＝∠DEB，AB＝DB∴△ABF≌△DBE(AAS)，∴BF＝BE，∵BE⊥DC，BF⊥AC，∴∠1＝∠BCE；(2)证明：如解图，连接OB，∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°，即∠1＋∠BAC＝90°，∵∠BCE＋∠EBC＝90°，且∠1＝∠BCE，∴∠BAC＝∠EBC，∵OA＝OB，∴∠BAC＝∠OBA，∴∠EBC＝∠OBA，∴∠EBC＋∠CBO＝∠OBA＋∠CBO＝90°，∴∠EBO＝90°，又∵OB为⊙O的半径，∴BE是⊙O的切线；第3题解图(3)解：在△EBC与△FBC中，∠BEC＝∠CFB，∠ECB＝∠FCB，BC＝BC，∴△EBC≌△FBC(AAS)，∴CE＝CF＝1.由(1)可知：AF＝DE＝1＋3＝4，∴AC＝CF＋AF＝1＋4＝5，CD3∴cos∠DBA＝cos∠DCA＝＝.CA5类型二与相似结合4.如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，∠BAC＝36°，过点A作AD∥BC，与∠ABC的平分线交于点D，BD与AC交于点E，与⊙O交于点F.(1)求∠DAF的度数；(2)求证：AE2＝EF·ED；(3)求证：AD是⊙O的切线．第4题图(1)解：∵AB＝AC，∠BAC＝36°，1∴∠ABC＝∠ACB＝(180°－36°)＝72°，2∴∠AFB＝∠ACB＝72°，∵BD平分∠ABC，∴∠DBC＝36°，∵AD∥BC，∴∠D＝∠DBC＝36°，∴∠DAF＝∠AFB－∠D＝72°－36°＝36°；(2)证明：∵∠EAF＝∠FBC＝∠D，∠AEF＝∠AED，∴△EAF∽△EDA，AEEF∴＝，DEEA∴AE2＝EF·ED；(3)证明：如解图，过点A作BC的垂线，G为垂足，∵AB＝AC，∴AG垂直平分BC，∴AG过圆心O，∵AD∥BC，∴AD⊥AG，∴AD是⊙O的切线．第4题解图︵5.如图，AB为半圆的直径，O为圆心，OC⊥AB，D为BC的中点，连接DA、DB、DC，过点C作DC的垂线交DA于点E，DA交OC于点F.(1)求证：∠CED＝45°；(2)求证：AE＝BD；AO(3)求的值．OF第5题图证明：∵∠CDA＝112∠COA＝2×90°＝45°，又∵CE⊥DC，∴∠DCE＝90°，∴∠CED＝180°－90°－45°＝45°；解：如解图，连接AC，∵D为︵BC的中点，∴∠BAD＝∠CAD＝12×45°＝22.5°，而∠CED＝∠CAE＋∠ACE＝45°，∴∠CAE＝∠ACE＝22.5°，∴AE＝CE，∵∠ECD＝90°，∠CED＝45°，(1)(2)∴CE＝CD，︵︵又∵CD＝BD，∴CD＝BD，∴AE＝CE＝CD＝BD，∴AE＝BD；第5题解图(3)解：设BD＝CD＝x，∴AE＝CE＝x，由勾股定理得，DE＝2x，则AD＝x＋2x，又∵AB是直径，则∠ADB＝90°，∴△AOF∽△ADB，AOADx＋2x∴＝＝＝1＋2.OFDBx6.如图，AB为⊙O的直径，P点为半径OA上异于点O和点A的一个点，过P点作与直径AB垂直的弦CD，连接AD，作BE⊥AB，OE//AD交BE于E点，连接AE、DE，AE交CD于点F.(1)求证：DE为⊙O的切线；1(2)若⊙O的半径为3，sin∠ADP＝，求AD；3(3)请猜想PF与FD的数量关系，并加以证明．第6题图(1)证明：如解图，连接OD，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∵OE∥AD，∴∠OAD＝∠BOE，∠DOE＝∠ODA，∴∠BOE＝∠DOE，在△BOE和△DOE中，OB＝OD∠BOE＝∠DOE，OE＝OE∴△BOE≌△DOE(SAS)，∴∠ODE＝∠OBE，∵BE⊥AB，∴∠OBE＝90°，∴∠ODE＝90°，∵OD为⊙O的半径，∴DE为⊙O的切线；(2)解：如解图，连接BD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠ABD＋∠BAD＝90°，∵AB⊥CD，∴∠ADP＋∠BAD＝90°，∴∠ABD＝∠ADP，AD1∴sin∠ABD＝＝sin∠ADP＝，AB3∵⊙O的半径为3，∴AB=6，1∴AD＝AB＝2；3第6题解图(3)解：猜想PF＝FD，证明：∵CD⊥AB，BE⊥AB，∴CD∥BE，∴△APF∽△ABE，∴PFAP＝，BEABAP·BE∴PF＝，AB在△APD和△OBE中，∠APD＝∠OBE，∠PAD＝∠BOE∴△APD∽△OBE，PDAP∴＝，BEOB∴PD＝AP·BE，OB∵AB＝2OB，1∴PF＝PD，2∴PF＝FD.7.如图①，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，OD∥AC，OD交⊙O于点E，且∠CBD＝∠COD.(1)求证：BD是⊙O的切线；(2)若点E为线段OD的中点，求证：四边形OACE是菱形．(3)如图②，作CF⊥AB于点F，连接AD交CF于点G，求的值．FG第7题图(1)证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠BCA＝90°，∴∠ABC＋∠BAC＝90°，∵OD∥AC，∴∠ACO＝∠COD.∵OA＝OC，∴∠BAC＝∠ACO，又∵∠COD＝∠CBD，∴∠CBD＝∠BAC，∴∠ABC＋∠CBD＝90°，∴∠ABD＝90°，即OB⊥BD，又∵OB是⊙O的半径，∴BD是⊙O的切线；FC(2)证明：如解图，连接CE、BE，∵OE＝ED，∠OBD＝90°，∴BE＝OE＝ED，∴△OBE为等边三角形，∴∠BOE＝60°，又∵AC∥OD，∴∠OAC＝60°，又∵OA＝OC，∴△OAC为等边三角形，∴AC＝OA＝OE，∴AC∥OE且AC＝OE，∴四边形OACE是平行四边形，而OA＝OE，∴四边形OACE是菱形；第7题解图(3)解：∵CF⊥AB，∴∠AFC＝∠OBD＝90°，而AC∥OD，∴∠CAF＝∠DOB，∴Rt△AFC∽Rt△OBD，FCAFBD·AF∴＝，即FC＝，BDOBOB又∵FG∥BD，∴△AFG∽△ABD，∴FGAFBD·AF＝，即FG＝，BDABABFCAB∴＝＝2，FGOBFG1∴＝.FC28.如图，AB是⊙O的直径，点E为线段OB上一点(不与O、B重合)，作EC⊥OB交⊙O于点C，作直径CD过点C的切线交DB的延长线于点P，作AF⊥PC于点F，连接CB.(1)求证：AC平分∠FAB；(2)求证：BC2＝CE·CP；CF3︵(3)当AB＝43且＝时，求劣弧BD的长度．CP4(1)证明：∵PF切⊙O于点C，∴CD⊥PF，又∵AF⊥PC，∴AF∥CD，∴∠OCA＝∠CAF，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∴∠CAF＝∠OAC，∴AC平分∠FAB；第8题图是⊙O的直径，CD(2)证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠DCP＝90°，∴∠ACB＝∠DCP＝90°，又∵∠BAC＝∠D，∴△ACB∽△DCP，∴∠EBC＝∠P，∵CE⊥AB，∴∠BEC＝90°，∵CD是⊙O的直径，∴∠DBC＝90°，∴∠CBP＝90°，∴∠BEC＝∠CBP，∴△CBE∽△CPB，∴BCCEPC＝CB，∴BC2＝CE·CP；(3)解：∵AC平分∠FAB，CF⊥AF，CE⊥AB，∴CF＝CE，CF3∵＝，CP4CE3∴＝，CP4设CE＝3k，则CP＝4k，∴BC2＝3k·4k＝12k2，∴BC＝23k，CE3k3在Rt△BEC中，∵sin∠EBC＝＝＝，BC23k2∴∠EBC＝60°，∴△OBC是等边三角形，∴∠DOB＝120°，︵120π·2343π∴BD＝＝.1803类型三与全等相似结合9.如图，四边形ABCD内接于圆O，∠BAD＝90°，AC为直径，过点A作圆O的切线交CB的延长线于点E，过AC的三等分点F(靠近点C)作CE的平行线交AB于点G，连接CG.(1)求证：AB＝CD；(2)求证：CD2＝BE·BC；9(3)当CG＝3，BE＝，求CD的长．2第9题图(1)证明：∵AC为直径，∴∠ABC＝∠ADC＝90°，∴∠ABC＝∠BAD＝90°，∴BC∥AD，∴∠BCA＝∠CAD，又∵AC＝CA，∴△ABC≌△CDA(AAS)，∴AB＝CD；(2)证明：∵AE为⊙O的切线且O为圆心，∴OA⊥AE，即CA⊥AE，∴∠EAB＋∠BAC＝90°，而∠BAC＋∠BCA＝90°，∴∠EAB＝∠BCA，而∠EBA＝∠ABC，∴△EBA∽△ABC，∴EBBA＝，ABBC∴AB2＝BE·BC，由(1)知AB＝CD，∴CD2＝BE·BC；(3)解：由(2)知CD2＝BE·BC，9即CD＝BC①，22∵FG∥BC且点F为AC的三等分点，∴G为AB的三等分点，即CD＝AB＝3BG，在Rt△CBG中，CG2＝BG2＋BC2，1即3＝(CD)2＋BC2②，3将①代入②，消去CD得，1BC＋BC－3＝0，22