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专题12数余的扩充-----实数的概念与性质阅读与思考人类对数的认识是在生活中不断加深和发展的。数系的每一次扩张都源于实际生活的需要，在非负有理数知识的基础上引进负数，数系发展到有理数，这是数系的第一次扩张；但随着人类对数的认识不断加深和发展，人们发现现实世界中确实存在不同于有理数的数一一无理数。在引人无理数的概念后，数系发展到实数，这是数系的第二次扩张.理篇无理数是学好实数的关键，为此应注意：1.把握无理数的定义：无理数是无限不循环小数，不能写成分数整数，且p丰0)；-的形式(这里p，q是互质的P2.掌握无理数的表现形式：无限不循环小数，与n相关的数，开方开不尽得到的数等；3.有理数对加、减、乘、除是封闭的，即任何两个有理数的和、差、积、商还是有理数；无理数对四则运算不具有封闭性，即两个无理数的和、差、积、商不一定是无理数；4•明确无理数的真实性.克菜因认为：“数学是人类最高超的智力成就，也是人类心灵最独特的创作，音乐能激发或抚慰情怀，绘画使人赏心悦目，诗歌能动人心弦，哲学使人获得智慧，科学可改善物质生活，但数学能给予以上的一切•”想一想：下列说法是否正确？①带根号的数是无理数；②两个无理数的和、差、积、商一定还是无理数；③一个无理数乘以一个有理数，一定得无理数；④一个无理数的平方一定是有理数•例题与求解【例1】已知a-2+(b+4)2+Ja+b—2c=0.贝U(ac)b的平方根是_______(湖南省长沙市“学用杯”竞赛试题)解题思路：运用式子的非负性，求出a,b,c的值.【例2】若a,b是实数，且a八b-1「2-2b•24•则ab的值是().A.3或—3B.3或—1C.—3或—1D.3或1(湖北省黄冈市竞赛试题)解代入原式中可得a=±2.题思路：由算术根的双非负性，可得b-10,2-2b0,求出b=1•由算术平方根的定义可得到算术平方根的双非负性：运用算术平方根的双非负性是挖掘隐含条件的常用方法【例3】已知实数m,n,p满足等式.m-199n..199-m-n=3m5n-2-p2m3n-p，求p的值.(北京市竞赛试题)解题思路：观察发现(m-199+n),(199-m-n)互为相反数，由算术平方根定义、性质探寻解题的切入点.【例4】已知a,b是有理数，且(丄•仝)a•(丄—三)b-2丄-1、3=0，求a,b的值.932412420a,b的方程组.解题思路：把原等式整理成有理数与无理数两部分，运用实数的性质建立关于实数有以下常用性质：①若a,b都是有理数，,c为无理数，且a・b・.c=0，贝Ua=b=0;②若a,b,c,d都是有理数，•、c,,d为无理数，且a•c=b•d，则a=b,c=d.要证一个数是有理数，常证这个数能表示成几个有理数的和、差、积、商的形式；要证一个数是无理数，常用反证法，即假设这个数为有理数，设法推出矛盾想一想怎样证明.2是无理数？【例5】一个问题的探究问题：设实数x,y,z满足xyz丰0.且xy0.:111求证:Xy2z2xyz_■■22,（a「b）（b「c）（c，求S的整数部分.111在上述问题的基础上，通过特殊化、一般化，我们可编拟出下面两个问题:(1)设a,b,c为两两不相等的有理数，求证:有理数.解题思路：从公式（abc）^a2bc2（ab'bc'ac）入手.22【例6】设§=1丄—,$=1—12222322—,S3=1——,2234，5=11厂—，n(n+1)求.S^■..S2—■■Sn的值（用含n的代数式表示，其中n为正整数）.（四川省成都市中考试题）解题思路：解答此题的关键是将Sn变形为一个代数式的平台。能力训练A级1•在实数—4,竺,0，运-1，丁64,V27,丄中，共有_________________个无理数.227（贵州省贵阳市中考试题）2•设a=3,b是a的小数部分，贝U（b2）的值为（2013年全国初中数学竞赛试题）3233.已知a-4+Jb-9=0，则a2abb2（山东省济南市中考试题）4.观察下列各式：.11234=12311,12345=22321,13456=3331,2(AB):(A-B)=(2xy)：(x-y)猜测：J1+2005疋2006汉2007汉2008=（辽宁省大连市中考试题）5•已知有理数A,B,x,y满足A•B=0,（A，B）:（A-B）=（2x，y）:（x-y），那么A:(A+B)=________A.3x:(2xy)B.3x:(4x2y)C.x(xy)D.2x:(2xy)(2013年“实中杯”数学竞赛试题)6.若x,y为实数，且A.1B.—1x•2•.y-2=0，则(-)2009的值为()•C.2D.—2（天津市中考试7.一个自然数的算术平方根为A.aB.a2题），则和这个自然数相邻的下一个自然数是（）.1C.,a1（山东省潍坊市中考试题）28.若x_1_、1_x=(xy)，贝Ux-y的值为（).A.B.1C.2D.3（湖北省荆门市中考试题）29.已知和的立方根.=m是m的立方根，而y=b-6是x的相反数，且ab3m=3a-7，求x与y的平方10.计算:11一2n个1222.n个2（广西竞赛试题）11.若a,b满足3』a+5b=7，求S=2J^—3b的取值范围.（全国初中数学联赛试题）B级21.x与y互为相反数，且x—y=3.那么x+2xy+1的值为___________.（全国初中数学竞赛试题）2.若2x+4^128，则x的值为_________________.（海南省竞赛试题）3.已知实数a满足2004—a+Ja—2005=a，贝Ua—2004=___.4.J5的整数部分为a，小数部分为b，则（屁+a）b的值为________.（广东省竞赛试题）25.已知非零实数a,b满足2a—4+|b+2+（a—3）b十4=2a，贝Ua+b等于（）.2A.—1B.0C.1D.2（“《数学周报》杯”全国初中数学竞赛试题）6.已知a=€2-1,A.avbvc7.已知b「•.3-2，c=6-2•贝Ua，b，c的大小关系是（).B.avcvb1刁=1,1:--那么代数式丄+awaB.一空C.bvavcw的值为（D.bvcvaA.虽C.一J522（重庆市竞赛试题）8下面有3个结论：①存在两个不同的无理数，它们的差是整数；②存在两个不同的无理数，它们的积是整数；③存在两个不同的非整数的有理数，它们的和与商都是整数其中，正确的结论有（）个.B.1C.2D.3（江苏省竞赛试题）A.029•已知a2005是整数，求所有满足条件的正整数a的和.（“CASIO杯”武汉市竞赛试题）“ax+b10•设y二a,b,c,d都是有理数，x是无理数.求证:ex+d(1)当be=ad时，y是有理数；y是无理数.(2)当bc=ad时，A.—1B.0C.12D.211.已知非零实数a,b满足2a+4+b+2+J(a—3)b+4=2a.求a+b值.（“《数学周报》杯”全国初中数学竞赛试题）专题12数余的扩充实数的概念与性质1b土4提示：由条件得a—2=0,b+4=0,a+b—2c=0,贝Ua=2,b=—4,c=—1•故(ac)(一1)「=16，£的平方根为土£4[2x16'16m—199+n0i+.5+n=199.mn199m+nW1993m+5n-2-p..3m•5n-2-p•...2m•3n-p=0，由非负数性质，得=0解得p=201。已知等式整理，得a卡一因为a，b是有理数，所以七3解得丄匕一鸟丄二。且—b-1—0,44212205b=4丄5Z--2111!+丄x-+-+-[-2yzxyyzxz丿L八r21112xxyzxyzy111+1222xy(a-b)(b-c)=122(xy)(1)可证明(2)令x=1(1n)「4卜卜1-1卜卜1-2l12八23丿l：故S的整数部分为2008.-2008200912009-2009一5二Ph122211n(n1)2-1n；!)1-—一丄n(n1)nn1原式=1-J1+1+］十—昇1_丄Ln+1-I2丿23丿(nn+1丿A级1.22_______p__________________________________________________2.9提示：a23i；=39,2=3、8:::39：：：327=3，贝故b23=39'=9163.8125.B提示：由题知A-Bx-yAB一2xy则(A-B)(A*B)_(x—y)+(2x+y)即2A_3x贝AB-2xy，AB2xy,,A3x故AB4x2y6.B7.B8.C9.210.原式=11110n11…1-2111=11…110n-111n个n个n个11…1(10n-1)=11…1999=333n个”3需+5b=711.由题中条件‘2石-3b=SLn(n1)2n+1nn22n+1Ub=39①+②X5得1^.a=215S2①怎-②X3得19b=14-3S又va0b则丿「(21+5SK014-3S_0解得-岂S2151.-5x+y=x二，解得提示：由条件丿0243x_y=x+2xy+1=23〔3DI2丿4xx172.2提示：由2*4=128得2・2”=2，故有(x+1)+2x=7，所以x的值为2.3.2005提示：由条件得：a2005贝「・a-2005=2004，从而有：x12a-2004=20054.15.C提示：由条件得：a3贝Ub+2中p(a—3)b=0,a+b=1。A6.C提示：因为一=•2•1,ba,又AAA—-.3•...2,所以0：：：—：：：—.故b0,abac-a=6-2-.2-1=6-21，而,62-■.2「=3-2.2b+^2005b—a=1亠「b+a=401或丿解得a=1002或a=198，从而1002+198=1200.所以J6J2+1，故ca，因此bac.17.D由条件得：一aa+1a0，•••a0，丨丄+a]=丨丄一ai+4la丿(a丿9.设-a■2005二b，贝yb-数，a,b为正整数,22-—518.D举例：v'3+1，-J3-1满足①②；—，—满足③33a=2005，而2005=5401,5,401均为质2b10.(1)c、d不能同时为0，否则y无意义，若c=0，由bc=ad,d^0,得a=0,此时y=—为有理数；若d=0，daxa则C丰0，由bc=ad，得b=0，此时ybc为有理数，若CM0，且d丰0，由bc=ad，得a，代入cxcy得y=—为有理数.dd⑵假设bc*ad时，y为有理数，则(cx+d)y=ax+b，即(cy-a)x+(dy—b)=0，因cy-a，dy—b为有理数，x为无理数，故有cy-a=0,dy-b=0，从而bc=cdy=(cy)d=ad，这与已知条件bc*ad矛盾，从而y不是有理数，y—定是无理数.11.•/(a—3)b0,二a—30,/•a3•原式可化为2a_4|b2|(a匚3)b4=2a,即22|b2|.(a-3b=0解得a=3,b=—2，故a+b=3+(—2)=1.