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等边三角形通过对本节课的学习，你能够：理解等边三角形的性质掌握证明等边三角形的方法与步骤掌握等边三角形的性质应用1适用学科适用区域知识点初中数学人教版适用年级课时时长（分钟）初中二年级1201•等边三角形的判定与性质2.含30度角的直角三角形的性质教学目标1•解等边三角形的概念、等边三角形的性质和判定2•熟悉含30°角的直角三角形的性质3•能用等边三角形的性质和判定解决简单问题教学重点教学难点等边三角形的判定与性质方程思想和分类讨论思想在等边三角形中的运用【知识导图】23教学过程、导入复习预习上节课我们讲解等腰三角形的性质，请同学们回忆一下：1等腰三角形的概念；2、等腰三角形的性质及判定二、知识讲解考点1等边三角形（1）性质：①等边三角形各边都相等；②等边三角形各角都相等，并且都等于60°。（2）判定：①三条边都相等的三角形是等边三角形。②三个角都相等的三角形是等边三角形。③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形考点2特殊直角三角形胞（1）含30°的直角三角形中，30°角所对的边等于斜边一半，且三边长度比为1：3:2；（2）等腰直角三角形各边长比为1:1：.2三、例题精析例题1已知：如图，在△ABC中，/A=ZB=ZC.求证：△ABC是等边三角形.4【答案】证明：•••/A=ZB,•••BC=AC（等角对等边）.又•••/A=ZC,•BC=AC（等角对等边）.•AB=BC=AC即厶ABC是等边三角形.【解析】三个角都相等的三角形是等边三角形.例题2已知：如图，△ABC是等边三角形，DE//BC,交ABAC于DE.求证：△ADE是等边三角形.【答案】证明：•••△ABC是等边三角形（已知），•••/A=ZB=ZC（等边三角形各角相等）.•••DE//BC,•••/ADENB,ZAED=ZC（两直线平行，同位角相等）.•••/A=ZADE=/AED•△ADE是等边三角形（三个角都相等的三角形是等边三角形）.【解析】根据三角形的等对等性质，三个内角都相等的三角形为等边三角形例题3如图，在Rt△ACB中，/C=90,BE平分/ABCED垂直平分AB于D.若AC=9贝UAE的值是（）A.6/B.4/C.6D.45【答案】C【解析】由角平分线的定义得到/CBEMABE再根据线段的垂直平分线的性质得到则/A=ZABE可得/CBE=30,根据含30度的直角三角形三边的关系得到由AE+EC=AC=9即可求出AC解：•••BE平分/ABC•••/CBEMABE•/ED垂直平分AB于D,「.EA=EB「./A=ZABEEA=EBBE=2EC即AE=2ECCBE=30,•••BE=2EC即卩AE=2EC而AE+EC=AC=9/•AE=6故选C.例题4等边三角形ABC边长是6cm,BD是中线，延长BC至E,使CE=CD连接DE则DE的长是cm.【答案】3.3.【解析】•/△ABC是等边三角形，BD是中线，•/ABCdACB=60.ZDBC=30.1又•/CE=CD,•••/CDEZCED.又vZBCDZCDEZCED,CDEZCED=-2ZBCD=30.•••/DBCZCED•DB=DEv•等边三角形ABC的边长是6cm,「.DE=BD=3.3例题5如图，将边长为2的等边三角形沿x轴正方向连续翻折2011次，依次得到点Pi、P2、R、…、P?011，则点P2011的坐标是.FJAJf\岸、，巳aTW5JF\Z\IfJf|\\ififf.\■■■K6【答案】(4021,3).P1P2=P2P3=2,「.P2(3,J3),P3(5,【解析】易得P1(1,巧),而43)；依此类推，Pn(1+2n-2,J3),即卩Fn(2n-1,);当n=2011时，P2011(4021,J3),例题6如图，将一副三角板如图所示叠放在一起，若AB=8cm则阴影部分的面积是cm?.IA【答案】8【解析】•••/B=30°,ZACB=90,AB=8cm二AC=4cm由题意可知BC//ED12•••/AFC2ADE=45,「.AC=CF=4cm故&ACF=—X4X4=8（cm）.2（例题7如图，在Rt△ABC中，/ACB=90,AB的垂直平分线DE交于BC的延长线于F,若/F=30°,DE=1,贝UEF的长是（）A.3B.2C.D.1AF\【答案】B【解析】连接AF,求出AF=BF,求出/AFD/B,得出/BAC=30，求出AE,求出/FAC2AFE=30，推出AE=EF代入求出即可.解：连接AF,•/DF是AB的垂直平分线，•AF=BF7•/FD!ABAFD2BFD=30，/B=ZFAB=90-30°=60°,•••/ACB=90，•/BAC=30，/FAC=60-30°=30°,•/DE=1•AE=2DE=2FAE=/AFD=30,•EF=AE=28例题8如图，△ABC是等边三角形,P是/ABC的平分线BD上一点，PELAB于点E,线段BP的垂直平分线交BC于点F,垂足为点Q.若BF=2,则PE的长为（）c.3D.3【解析】先根据△ABC是等边三角形，P是/ABC平分线可知/EBP2QBF=30,再根据BF=2,FQLBP可得BQ的长，再由BP=2BQ可求BP的长，在Rt△BEF中，根据/EBP=30即可求出PE的长.解：•••△ABC是等边三角形P是/ABC的平分线，•••/EBP2QBF=30,•/BF=2FQLBP,•BQ=BF?cos30=2X•/FQ是BP的垂直平分线，•BP=2BQ=23,在Rt△BEF中，I/EBP=30,•PE=-BP^/3.2例题9如图，C为线段AE上一动点（不与点A、E重合），在AE同侧分别作等边厶ABC和等边△CDEAD与BC相交于点P,BE与CD相交于点Q,连接PQ则/CPQ度数为（）A.75°B.60°【答案】B.C.55°D.45【解析】试题解析：•••△ABC和△CDE是等边三角形，•AC=BCCD=CE/ACB=/DCE=60,•••/BCD=60,•••/ACD2BCE在厶ACD^n^BCE中，AC二BCI9#ACD=/BCECD=CE?•△ACD^ABCE(SAS,•••/CAD=/CBE在厶ACP和厶BCq中，CAP=/CBQI』AC=BCNACP=NBCQ=60°?•△ACP^ABCQ(ASA,•CP=CQ•△PCQ为等边三角形，•••/CPQ度数为60°.故选B.例题10如图，△ABDW^AEC都是等边三角形，AB^AC下列结论：①BE=CD②/BOD60。；【解析】•/△ABD与厶AEC都是等边三角形，•AD=ABAE=AC/ADBdABD=60,/DAB=/EAC=60，•/DABfBAC=/EACfBACDACMBAEAD=AB在BAE中，：ZDAC《BAE,•△DAC^^BAE(SAS,•-BE=DC/ADCMABEIAC=AE•••/BOD=180-ZODB-ZDBA■/ABE=180-ZODB-60°-/ADC=120°—(/ODBZADC=120°-60°=60°,•/BOD=60，•①正确；②正确；•/△ABD与厶AEC都是等边三角形，•••/ADBZAEC=60,但根据已知不能推出ZADCZAEB•••说ZBDOZCEO错误，.••③错误；10四、课堂运用基础1如图，ABC和:BDE都是等边三角形，且A、D、E在一条直线上。证明:2.已知：如图，△ABC是等边三角形，DE//BC,交ABAC于DE.求证：△ADE是等边三角形.3等边三角形ABC的边长是6cm,BD是中线，延长BC至E,使CE=CD连接DE贝UDE的长是cm.1如图，在等边△ABC中，点D,E分别在边BC,AB上,BD=AE,AD与CE交于点F.(1)求证:AD=CE;(2)求/DFC的度数。A11BDC122.如图，点0事等边△ABC内一点，/AOB=110，/BOC=a，将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得厶ADC,连接0D,则厶COD是等边三角形；(1)求证：△COD是等边三角形⑵当a=150。时，试判断厶AOD的形状，并说明理由(3)当a为多少度时，△AOD是等腰三角形？拔高1.如图，△ABDW^AEC都是等边三角形，AB^AC下列结论：①BE=CD②/BOD6O。；③/BDO/CEO正确的是.DC12.如图，正三角形ABC勺三边表示三面镜子，BP=^AB=1,—束光线从点P发射3至BC上R点，且/BPf=60°光线依次经BC反射，AC反射，AB反射…••——.继续下去.当光线第-一次回到点直P时，这束光线所经过的路线的总长为()A.6B.9C.9逅D.271五、课堂小结1.等边三角形的判定与性质2.含30度角的直角三角形的性质13六、课后作业基础1.等边三角形ABC勺边长是6cm,BD是中线，延长BC至E,使CE=CQ连接DE贝UDE的长是____cm2.△ABC为边长是5的等边三角形，点E在AC边上，点F在AB边上，ED丄BC,且ED=AEDf=AF,则CE的长是(A.310B.10C.20+10、、3D.20-1033.如图，将边长为2的等边三角形沿x轴正方向连续翻折2011次，依次得到点P、F2、P、…、P011，则点％11的坐标是_____巩固1.如图，过等边△ABC的边AB上一点P,作PELAC于E,Q为BC延长线上一点，且PA=CQ连PQ交AC边于D.(1)求证：PD=DQ(2)若厶ABC的边长为1，求DE的长.142.已知RtAABC/ACE=90°,AOBC点D是斜边的中点，经过点C引一条直线I（不与ACBC重合并且不经过点D操作：经过点A作AE!I，经过点B作BF丄I，连接DEDF,猜想△DEF的形状并证明.3.已知/AOB30。，点P在/AOB^部，R与P关于0B对称，F2与P关于0A对称，则P,QP2三点所构成的三角形是（A.直角三角形B.钝角三角形C.等腰三角形D.等边三角形拔高1.如图，正三角形ABC的三边表示三面镜子，BP=1AB=I,一束光线从点P发射至BC上R点，且/BPR60°光线依次经继续下去当光线第一次回到点3BC反射，AC反射，AB反射P时，这束光线所经过的路线的总长为（A.6B.9C.93D.272.在四边形ABCDh/DAB/CBA/CDA90。，/BCD78。，AB=2AD则/CAD的度数为()A.60°B.66°C.72°D.80°3.如图，△ABCFHAFPQ均是等边三角形，点DE、F分别是△ABC三边的中点，点P在AB边上，连接EFQE若AB=6,PB=1,则QE_______.15