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多元函数积分1.利用积分区域的对称性化简多元函数的积分1.1利用积分区域的对称性化简多元函数的重积分题型一计算积分区域具有对称性，被积函数具有奇偶性的重积分类型(一)计算积分区域具有对称性、被积函数具有奇偶性的二重积分常用下述命题简化计算二重积分.命题1若f(x,y)在积分区域D上连续，且D关于y轴(或x轴)对称，则(1)f(x,y)是D上关于x(或y)的奇函数时，有口f(x,y)dxdy=0；D(2)f(x,y)是D上关于x(或y)的偶函数时，有中D1是D落在y轴(或x轴)一侧的那一部分区域.!!f(x,y)dxdy=2f(x,y)dxdyD1命题2若D关于x轴、y轴对称，D1为D中对应于x0,y0(或x0,y0)的部分,则4JJf(x,y)dxdy,f(—x,y)=f(x,-y)=f(x,y),f(x,y)dxdyWsD0,f(-x,y)或f(x,-y)二-f(x,y).D1和D2.命题3设积分区域D对称于原点，对称于原点的两部分记为(1)若f(―x,—y)=f(x,y),则!!f(x,y)d；「=2\\f(x,y)d；「；DD1(2)若f(-x,-y)(x,y),则!」f(x,y)d：；=0.D命题4积分区域D关于x,y具有轮换对称性，则f(x,y)d二二.f..[f(x,y)(y,x)d二f(y,x)]d记D位于直线y=x上半部分区域为D1,则1D2jjf(x,y)dxdy,f(y,x)=f(x,y),f(x,y)dxdy二D0,f(y,x)—f(x,y),计算积分区域具有对称性，被积函数具有奇偶性的三重积分1类型(二)常用下述命题简化具有上述性质的三重积分的计算.命题1若Q关于xOy平面对称，而Q1是Q对应于z0的部分，贝U第1页0,f(x,y,—z)--f(x,y,-z),-(x,y,z)「，(x,y,z)du=」2川f(x,y,z)du,f(x,y,—z)=f(x,y,z)A/(x,y,z)eQ;Qd若Q关于yOz平面(或zOx平面)对称，f关于x(或y)为奇函数或偶函数有类似结论.命题2若Q关于xOy平面和xOz平面均对称(即关于x轴对称)，而Q为Q对应于z0,y0的部分，则f(x,y,z)do,当f关于y,z为偶函数,JJJf(x,y,z)du=*Q—当f关于y或z为奇函数；[4出若Q关于xOz平面和yOz平面均对称(即关于z轴对称)，或者关于xOy平面和yOz平面均对称，那么也有类似结论.命题3如果积分区域Q关于三个坐标平面对称，而Qi是Q位于第一象限的部分，则f(x,y,z)du,当f关于x,y,z均为偶函数，inf(x,y,z)d二ul'o,当f关于x或y或z为奇函数；命题4若积分区域Q关于原点对称，且被积函数关于x,y,z为奇函数，即f(x,y,z)--f(-x,-y,-z),则iiif(x,y,z)d‘=0.题型三计算积分区域具有轮换对称性的三重积分命题5如果积分区域关于变量x,y,z具有轮换对称性(即x换成y,y换成z,z换成x，其表达式不变)，则!!!f(x,y,z)^IIIf(y,z,x)d：」：Iiif(z,x,y)dQQQ...[f(x,y,z)f(y,z,x)f(z,x,y)]dQ1.2利用积分区域的对称性化简第一类曲线积分、曲面积分题型一计算积分曲线(面)具有对称性的第一类曲线(面)积分类型(一)计算积分曲线具有对称性的第一类曲线积分命题1.2.1设曲线L关于y轴对称，则Lf(x,y)d^Sig)*0，f(x,y)关于x是偶函数，f(x,y)关于x是奇函数，其中Li是L在x0的那段曲线，即Li是L在y轴右侧的部分；若曲线L关于x轴对称，则有上述类似结论第2页命题1.2.2设f(x,y)在分段光滑曲线L上连续，若L关于原点对称，则〔°，若f(x,y)关于(x,y)为奇函其中Li为L的右半平f(x,y)ds=数，若f(x,y)关于(x,y)为偶面或上半平面部分.[2(f(x,y)ds类型(二)计算积分曲面具有对称性的第一类曲面积分第一类曲面积分的奇偶对称性与三重积分类似，可利用下述命题简化计算命题1.2.3设积分曲面工关于yOz对称，则f(x,y,z)dS二2当f(x,y,z)关鳥奇函数,其中习是2在yozf(x,y,z)dS面的前侧部分.若工关于另外两坐标面有对称性，则有类似结论注意不能把工向xOy面上投影，因第一类曲面积分的工投影域面积不能为0.算平面积分曲线关于y=x对称的第一类曲线积分命题1.2.4若L关于直线y=x对称，则lf(x,y)d^lf(y,x)ds.题型三计算空间积分曲线具有轮换对称性的第一类曲线积分命题1.2.5若曲线r方程中的三变量x,y,z具有轮换对称性，则pds=”yds=^ds^x2ds=卄y2ds=^2ds.1.3利用积分区域的对称性化简第二类曲线积分、曲面积分题型一计算积分曲线具有对称性的第二类曲线积分第二类曲线积分的奇偶对称性与第一类曲线积分相反，有下述结论命题1.3.1设L为平面上分段光滑的定向曲线，P(x,y),Q(x,y)连续,(1)L关于y轴对称，Li是L在y轴右侧部分，则°，若P(x,y)关于x为奇函数，「P(xy)dx=2L'2LP(x,y)dx,若P(x,y)关于x为偶函数；J°，若Q(x,y)关于x为偶函数，!_Q(,y)V2LQ(x，y)dy,若Q(x,y)关于(为奇函数(2)L关于x轴对称，Li为L在x轴上侧部分，则=；°，若P(x,y)关于y为偶函数，LP(x,y)dx2LP(x,y)dx,若P(x,y)关于y为奇函数；第3页题型二计LQ(X,y)dy0,2LQ(x,y)dy,若Q(X,y)关于y为奇函数，若Q(X,y)关于y为偶函数(3)L关于原点对称，Li是L在y轴右侧或X轴上侧部分，则〔P(x,)dx+[Q(x,)dj2jpdx+Qdy,.Liyy[0,若P(x,y),Q(x,y)关于(X,y)为偶函数,(4)L关于y=x对称，则[P(x,y)dx+Q(x,y)dy=(_P(y,x)dy+Q(y,x)dx=_[P(y,x)dy+Q(y,x)dx.即若L关于y=x对称，将X与y对调，则L关于直线y=x翻转，即L化为L.因而第二类曲线积分没有轮换对称性.题型二计算积分曲面具有对称性的第二类曲面积分命题1.3.2设工关于yOz面对称，则—2JJP(x,y,z)dydz,当P(x,y,z)关于(为奇函数，口P(x,y,z)dydz=5当P(x,y,z)关于＜为偶函数工0,其中习是工在yOz面的前侧部分.这里对坐标y和z的第二类曲面积分只能考虑工关于yOz面的对称性，而不能考虑其他面，这一点也与第一类曲面积分不同.2.交换积分次序及转换二次积分题型一交换二次积分的积分次序※直接例题，无讲解.题型二转换二次积分转换二次积分是指将极坐标系(或直角坐标系)下的二次积分转换成直角坐标系(或极坐标系)下的二次积分.由极坐标系(或直角坐标系)下的二次积分的内外层积分限写出相应的二重积分区域D的极坐标(或直角坐标)表示，再确定该区域D在直角坐标系(或极坐标系)中的图形，然后配置积分限.3.计算二重积分题型一计算被积函数分区域给出的二重积分含绝对值符号、最值符号max或min及含符号函数、取整函数的被积函数，实际上都是分区域给出的函数，计算其二重积分都需分块计算题型二计算圆域或部分圆域上的二重积分当积分区域的边界由圆弧、过原点的射线（段）组成，而且被积函数为xyf（xy）或xyfnm22nm.第4页（y/x）的形状时，常作坐标变换x=rcosHy=rsin二，利用极坐标系计算比较简单.为此，引进新变量r,Q得到用极坐标（r,9）计算二重积分的公式：.1.1f（x,y）dxdy=f（rcos^,rsinRrdrdv（其中rdOdr是极坐标系下的面积元素）.DD'用极坐标系计算的二重积分，就积分区域来说，常是圆域（或其一部分）、圆环域、扇形域等，可按其圆心所在位置分为下述六个类型（其中a,b,c均为常数）.类型（一）计算圆域x2+ya上的二重积分.类型（二）计算圆域x+y2ax上的二重积分.类型（三）计算圆域x2+y2-2ax上的二重积分.类型（四）计算圆域x+y2ay上的二重积分.类型（五）计算圆域x2+y2-2ay上的二重积分.类型（六）计算圆域x+y2ax+2by+c上的二重积分.2222224.计算三重积分题型一计算积分区域的边界方程均为一次的三重积分当积分区域Q主要由平面围成时，宜用直角坐标系计算，如果积分区域含某个坐标变量的方程只有两个，则可先对该坐标变量积分。题型二计算积分区域为旋转体的三重积分可选用柱面坐标计算。特别当被积函数是两个变量的二次齐式时，常用柱面坐标计算。题型三计算积分区域由球面或球面与锥面所围成的三重积分积分区域为球面或球面与锥面所围成的三重积分，采用球面坐标系计算可以减少计算工作量，特别当被积函数为形如xyzf（xyz）的形式时，常用球面坐标系计算三重积分。用球面坐标计算三重积分时，首先，应明确球面坐标变换x=『sin：:cosr，y=rsin:sin^，mnl222Q的边界方程中z=rcos「及其参数p，9，©几何意义；其次，要记住球面坐标变换后的体积元素为dV=：'sin2：d'd:：;最后，根据积分区域的几何形状及p，9，©的几何意义正确定出三重积分的积分限。本题型还可以选用柱面坐标及先二后一的方法进行计算。题型四计算被积函数至少缺两个变量的三重积分第5页法一用先二后一法（截面法）计算当被积函数至少缺两个变量且平行于所缺两变量的坐标面的截面面积又易求时，可用下述公式将三重积分化为定积分求之。为方便计，设被积函数为Z2Z2f(x)，则出f(z)dv=f(z)dzJJdxdz=((D(z)的面积)，f(z)dz，Q1D(Z)呵其中Zi,Z2是Q向z轴投影而得到的投影区间［Zi,Z2］的端点，而D(z)是用垂直于z轴(平行于xOy平面)的平面截Q所得的截面，如D(z)的面积易求出，贝U上述积分即可求出。易知当积分区域Q由椭球面、球面、柱面、圆锥面或旋转面等曲面或其一部分所围成时，相应截面D(x)或D(y)或D(z)为圆域，其面积S(x)或S(y)或S(z)易求出。如果被积函数又至少缺两个变量，可先对所缺的两个变量积分，用先二后一法计算其三重积分。法二用重心计算公式求之当被积函数只有一个变量，而Q的体积又易求出，则可利用重心计算公式求其三重积分。题型五计算易求出其截面区域上的二重积分的三重积分可用先二后一法计算。虽然这时界面区域上的二重积分不等于其面积，但由于易求出其值，再计算一个单积分，该三重积分也就求出。这时对被积函数不可作要求。当截面为圆域或其一部分，被积函数又为f(xy)型，常选用上法计算其三重积分，且常用极坐标计算其截面区域上的二重积分。因而当Q为旋转体时，其上的三重积分也可用上法求之。225.计算曲线积分题型一计算第一类平面曲线积分计算这类曲线积分的主要方法是根据积分曲线方程的类型(直角坐标、极坐标、参数方程)，正确写出弧长元素ds的表达式，将第一类曲线积分转化为定积分(其下限必不超过上限)的计算。计算中要始终注意利用曲线方程化简被积函数(因为在积分过程中动点始终沿着曲线移动，从而其坐标满足曲线方程)，这是计算曲线(面)积分特有的方法，因而可用曲线方程化简被积函数。代换后归结为计算；kdS二k，而L的弧长是已知的或易求的。此外，还应注意曲线的对称性及被积函数的奇偶性和周期性和物质曲线的重心简化计算。注意若曲线有对称性，虽然整个被积函数不一定关于x(或y)为奇、偶函数，但可进一步考察其某一部分是否具有奇偶性，尽量利用对称性简化计算。题型二求解平面上与路径无关的第二类曲线积分有关问题类型(一)判断(证明)平面曲线积分与路径无关，并求该积分第6页定理5.1满足下列四条件之一，则积分lPdxQdy在L所围的区域D内与路径无关:(1)存在u(x,y)使得du二PdxQdy(-(x,y)D)；(2)若D为单连通区域，且卫二聖(-(x,y)D);(但若D不是单连通区域，—dxcy