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v1.0可编辑可修改高中平面几何定理汇总及证明1.共边比例定理有公共边AB的两个三角形的顶点分别是P、Q,AB与PQ的连线交于点M则有以下比例式成立：△PAB的面积：△QAB的面积=PMQM.证明：分如下四种情况，分别作三角形高，由相似三角形可证SAPAB=(S\PAMSAPMB)=(SAPAM/SXPMB1)XSAPMB=(AM/BM1)XSXPMB等高底共线，面积比=底长比)同理，SXQAB=(AM/BM1)XSXQMB所以，SXPAB/SXQAB=XPMB/S\QMB=PMQM等高底共线，面积比=底长比)定理得证！特殊情况：当PB//AC时，易知△PAB与△QAB的高相等，从而SXPAB=XQAB反之，SXPAB=XQAB贝UPB//AQ2.正弦定理在任意一个平面三角形中，各边和它所对角的正弦值的比相等且等于外接圆半径的2倍”，即卩a/sinA=b/sinB=c/sinC=2r=R(r为外接圆半径，R为直径)1v1.0可编辑可修改证明：A现将△ABC做其外接圆，设圆心为Q我们考虑/C及其对边AB设AB长度为c。若/C为直角，贝UAB就是。0的直径，即c=2r。•••sBC二1（特殊角正弦函数值）•••盒皿若/C为锐角或钝角，过B作直径BC'交O0于C'，连接C'A，显然BC'=2r=R。若/C为锐角，贝UC'与C落于AB的同侧，此时/C'=/C（同弧所对的圆周角相等）•••在Rt△ABC'中有==若/C为钝角，贝UC'与C落于AB的异侧，BC的对边为a,此时/C'=/A,亦可推出sin匸■-5inA。考虑同一个三角形内的三个角及三条边，同理，分别列式可得_abc^A=^B=^C=2r=R。2v1.0可编辑可修改3.分角定理A在厶ABC中，D是边BC上异于B,C或其延长线上的一点，连结则有BD/CD=(sin/BAD/sin/CAD)*(AB/AC)。A证明:SAABD/SXACD=BD/CDSXABD/SXACD=[(1/2)XABXADXsin/BAD]/[(1/2)XACXADXsin/CAD]=(sin/BAD/sin/CAD)X(AB/AC)由式和式得BD/CD=(sin/BAD/sin/CAD)X(AB/AC)4.张角定理在厶ABC中,D是BC上的一点，连结AD那么空二坐证明:设/仁/BAD/2=ZCAD由分角定理，sin^CADsinZBACADoSXABD/SXABC=BD/BC=(AD/AC)*(sinZ1/sin/BAC)—(BD/BC)*(sin/BAC/AD)=sin/1/ACSXACD/SXABC=CD/BC=(AD/AB)*(sinZ2/sin/BAC)—(CD/BC)*(sin/BAC/AD)=sin/2/AB式+式即得sin/1/AC+sin/2/AB=sin/BAC/AD5.帕普斯定理3v1.0可编辑可修改直线11上依次有点A,B,C，直线12上依次有点D,E,F，设AE,BD交于GAF,DC交于I,BF,EC交于H,则G,I,H共线。鮒晋斯定理；去乩craF分别是丙务直线上的仪血唤门、站、交于甌疗、衣刊则；G、I、朕锐【打医D田躺连接師巴跤GffTr$P02）、CD^G^r衣过比倒疋匡得；GT胡”52G沁DH^'cr'SA^'sACDG沁if右沁3甘SA.1DG■如2汕呵'SACFH*MGPG_Lf_8£_££=^E'7S'W^=[GTGT矿er人丿唾合；$、CD.&砒卢.戈U为一扒CD^^J，.陀言竦GH上菲G、I-貝注4Q.EQv1.0可编辑可修改6.蝴蝶定理设S为圆内弦AB的中点，过S作弦CF和DE设CF和DE各相交AB于点M和N,则S是MN的中点。证明：过O作0」EDOHCF,垂足为L、T,连接ON0MOSSL,ST,易明△ESSACSF•••ES/CS=ED/FC根据垂径定理得：LD=ED/2FT=FC/2•••ES/CS=EL/CT又•••/E=ZC•••△ESLSACST•••/SLNWSTM•••S是AB的中点所以OS!AB•••/OSNMOLN=9O•••O,S,N,L四点共圆，（一中同长）同理,O,T,M,S四点共圆•/STMMSOM/SLN=/SON•/SONNSOM•••OS!AB•MS=NS7.西姆松定理5v1.0可编辑可修改过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边或其延长线上的垂线，则三垂足共线。（此线常称为西姆松线）。6v1.0可编辑可修改证明:若L、MN三点共线，连结BP,CP,则因和P、MCL分别四点共圆，有/NBP=/NLP=/MLP=ZMCP.故ABP、C四点共圆。若AP、BC四点共圆，贝U/NBP=/MCP因PL丄BC,PMLAC,PN!AB有BL、P、N和P、MC、L四点共圆，有/NBP=/NLP=/MCP=ZMLP.故L、MN三点共线西姆松逆定理：若一点在三角形三边所在直线上的射影共线，则该点在此三角形的外接圆上。证明：PMLAC，PN!AB,所以A,M,N,P共圆7v1.0可编辑可修改8.清宫定理设P、0为厶ABC的外接圆上异于A、B、C的两点，P关于三边BCCAAB的对称点分别是U、V、W，且QUQVQW分别交三边BCCAAB或其延长线于DE、F,则DE、F在同一直线上.证明：A、B、P、C四点共圆，因此/PCE=/ABP点P和V关于CA对称所以/PCV=ZPCE又因为P和W关于AB对称，所以/PBW=2ABP从这三个式子，有/PCV2PBW另一方面，因为/PCC和/PBC都是弦PQ所对的圆周角，所以/PCQMPBQ两式相加，有/PCVyPCQMPBW乂PBQ即/QCVMQBW即厶QCVWAQBWT—个顶角相等，因此S^QCVCVtCQS/.QBW=BiV.BQ但是cV二CF,州二BP,所以8v1.0可编辑可修改SAQCV_CPtCQR卩■內Q同理S&QAVf_HHQ_BPS^QCUCP^CQ,SAQAVA卩彳Q于是BDCEAF弘QB*^AQCV^AQAW^QEIT^AQCV5DCEAfB^QCUACAVAQBW^QAVAQI?WSS気QAW盹QUITSS根据梅涅劳斯定理的逆定理，DE、F三点在同一直线上9v1.0可编辑可修改9.密克定理三圆定理：设三个圆C1,C2,C3交于一点0,而M,N,P分别是C1和C2,C2和C3,C3和C1的另一交点。设A为C1的点，直线MA交C2于B，直线PA交C3于C。那么B,N,C这三点共线。逆定理：如果是三角形，M,N,P三点分别在边AB,BC,CA上，那么△AMPABMNACPN的外接圆交于一点Q完全四线形定理如果ABCDE是完全四线形，那么三角形的外接圆交于一点0,称为密克点四圆定理设C1,C2,C3,C4为四个圆，A1和B1是C1和C2的交点,A2和B2是C2和C3的交点，A3和B3是C3和C4的交点,A4和B4是C1和C4的交点。那么A1,A2,A3,A4四点共圆当且仅当B1,B2,B3,B4四点共圆。证明：在厶ABC的BC,AC,AB边上分别取点W,M,N对AMN^BWN^ACWI分别作其外接圆，则这三个外接圆共点。该定理的证明很简单，利用“圆内接四边形对角和为其逆定理。现在已知U是曲和叱的公共点。连接UM和UN•••四边形BNUV和四边形CMU分别是斜和畋的内接四边形，180度”及•••/UWB+UNBMUNB#UNA=18度•••/UWB#UNA同理/UWB主UWC=UWC+UMC=18度•••/UWB#UMC10v1.0可编辑可修改vZUMC主UMA=18度•••/UNAZUMA=18度，这正说明四边形ANUM!—个圆内接四边形，而该圆必是皿占,U必在皿3上10.婆罗摩笈多定理圆内接四边形ABCD勺对角线ACLBD,垂足为MEF丄BC且M在EF上。那么F是AD的中点。证明：vACLBDMLBC•••ZCBDZCMEvZCBDZCADZCMEZAMF•ZCADZAMF•AF=MFvZAMD=9°,同时ZMADZMDA=9°•ZFMDZFDM•MF=DF即F是AD中点逆定理：若圆内接四边形的对角线相互垂直，贝「边中点与对角线交点的连线垂直于对边。证明：vMALMDF是AD中点•AF=MF•ZCADZAMFvZCADZCBDZAMFZCME•••/CBDMCME11v1.0可编辑可修改vZCME乂BMEMBMC=9°•••/CBDZBME=90•••EF±BC12v1.0可编辑可修改11.托勒密定理圆内接四边形中，两条对角线的乘积（两对角线所包矩形的面积）等于两组对边乘积之和（一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和）•圆内接四边形ABCD求证：AC-BD=ABCD+ADBC证明：过C作CP交BD于P,使/1=Z2,又/3=Z4,•••△ACSABCP得ACBC=ADBP,AC-BP=ADBC①。又/ACBMDCP/5=Z6,•••△ACB^ADCP得ACCD=ABDP,AC-DP=ABCD②。①+②得AC(BP+DP)=ABCD+ADBC即AC-BD=ABCD+ADBC12.梅涅劳斯定理当直线交三边所在直线，匚左于点—证明：过点C作CP//DF交AB于P,则两式相乘得AFBDCEAFBFPF梅涅劳斯逆定理：若有三点F、DE分别在边三角形的三边ABBCCA或其延长线上，且满足AF/FBXBD/DCXCE/EA=1,贝UF、DE三点共线。证明：先假设E、F、D三点不共线，直线DE与AB交于P。13v1.0可编辑可修改由梅涅劳斯定理的定理证明(如利用平行线分线段成比例的证明方法)得:(AP/PB)(BD/DC)(CE/EA)=1。•••(AF/FB)(BD/DC)(CE/EA)=1。•••AP/PB=AF/FB;•••(AP+PB)/PB=(AF+FB)/FB;•••AB/PB=AB/FB;•••PB=FB;即P与F重合。•••D、E、F三点共线。13.塞瓦定理在厶ABC内任取一点0,延长AOBOC0分别交对边于DE、F,则(BD/DC)X(CE/EA)X(AF/FB)=1。•••△ADC被直线BOE所截，•••(CB/BD)*(D0/0A)*(AE/EC)=1①•••△ABD被直线COF所截，•••(BC/CD)*(DO/OA)*(AF/FB)=1②②/①约分得：(DB/CD)X(CE/EA)X(AF/FB)=114.圆幕定理相交弦定理：如图I,ABCD为圆O的两条任意弦。相交于点P,连接ADBC,由于/B与/D同为弧AC所对的圆周角，因此由圆周角定理知：/B=ZD,同理/A=Zc,所以/⑺。所14v1.0可编辑可修改以有：15v1.0可编辑可修改PA.PD口戸，即：巴.二■：.'o割线定理：如图U,连接ADBG可知/B=ZD,又因为/P为公共角，所以有:^■PAD-*工同上证得：-：::=.■-'■.;o切割线定理：如图川，连接AGAD/PAC为切线PA与弦AC组成的弦切角，因此有/PBCMD,又因为/P为公共角，所以有PA2^PCXPD图W,PAPC均为切线，则/PAOhPCO=90，在直角三角形中：OC=OA=RPO为公共边，因此APAO=APCOo所以PA=PC所以PA1二PC2o综上可知，PAxPB二PC英FD是普遍成立的。弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角度数的一半，等于它所夹的弧所对的圆周角度数。点对圆的幕P点对圆O的幕定义为C^-R1点P在圆O内-P对圆O的幕为负数；点P在圆O外-P对圆O的幕为正数；点P在圆O上-P对圆O的幕为00三角形五心：内心：三角形三条内角平分线的交点16v1.0可编辑可修改外心三角形三条边的垂直平分线（中垂线）的相交点重心：三角形三边中线的交点垂心：三角形的三条高线的交点旁心：三角形的旁切圆（与三角形的一边和其他两边的延长线相切的圆）的圆心九点圆心：三角形三边的中点，三高的垂足和三个欧拉点〔连结三角形各顶点与垂心所得三线段的中点〕九点共圆的圆心15.根心定理三个两两不同心的圆，形成三条根轴，则必有下列三种情况之一：（1）三根轴两两平行；（2）三根轴完全重合；（3）三根轴两两相交，此时三根轴必汇于一点，该