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阶段强化专训一：求锐角的三角函数值的常用方法名师点金：锐角三角函数刻画了直角三角形中边和角之间的关系，对于斜三角形，要把它转化为直角三角形求解.在求锐角的三角函数值时，首先要明确是求锐角的正弦值，余弦值还是正切值，其次要弄清是哪两条边的比值.於毛直接用锐角三角函数的定义1•如图，在/?rAABC中，CD是斜边AB上的中线，若CD=5,AC=6,则tanB的值是()4佔3B亏2•如图，在AABC中，AD丄BC,垂足是D,若BC=14,AD=12,初ZBAD=扌，求S加C的值.133•如图，直线y=尹+空与x轴交于点A,与直线y=2x交于点B.(1)求点B的坐标；⑵求5/HZBAO的值.（第3题）利用同角或互余两角三角函数间的关系若ZA为锐角,且sinA=誓,则cosA=(1-2DV22CA.吃25.若ct为锐角，且cosa=-^f则5Z/7(90°—a)=()512512D人币BT3C12~56.若a为锐角，且sina-\-cos30°=1,则a=__.ii巧设参数47.在/?rAABC中，ZC=90°,若sinA=^则tanB的值为(22Cl8.已知sb,c是Z\ABC的三边长，且a,b,c满足b2=(c+a)(c-a).若4c=0,求sinA+sinB的值.利用等角来替换9.如图，已知/?rAABC中，ZACB=90。，CD是斜边AB±的中线，过点A作AE丄CD,AE分别与CD,CB相交于点H,E,且AH=2CH,求s加B的值.阶段强化专训二：同角或互余两角的三角函数关系的应用名师点金：■1同角三角函数关系：sina+cosa=1,tan22(a为锐角)CCZDU2.互余两角的三角函数关系：sina=€775(90°—a),cosa=5/7?(90°—a),tanafan(90°—a)=l.(a为锐角))洌繼食痕二同角间的三角函数的应用2•若a为锐角,求sina+cosa的值.讷鬃曲.余角间的三角函数的应用3.若45°-a和45。+口均为锐角，则下列表达式正确的是（A.s〃?（45°—a）=s〃2（45°+a）B.5/n2（45°一a）+COQ（45。+a）=1C.s泞（45。一a）+s加2（45。+01）=1D.COS2（45°—a）+5ZH2（45°+a）=14.计算tan2°-tan3°•…•如？88°89。的值.mOM.同角的三角函数间的关系在一元二次方程中的应用5.已知sinacosa=^|（a为锐角），求一个一元二次方程，使其两根分别为sina和cosa.6.为锐角且sina是方程2x‘一7x+3=0的一个根，求p1的值.已知aacosa阶段强化专训三：解直角三角形的几种常见类型名师点金：解直角三角形是中考的重要内容之一，直角三角形边、角关系的知识是解直角三角形的基础.解直角三角形时，要注意三角函数的选取，避免计算复杂.在解题中，若求解的边、角不在直角三角形中，应先添加辅助线，构造直角三角形.已知两直角边解直角三角形1.如图，在/?/AABC中，ZC=90°,a,b,c分别为ZA,ZB,ZC的对边，a=2羽，b=6,解这个直角三角形.C（第1题）in已知一直角边和斜边解直角三角形2•如图,ZACB=90°,AB=13,AC=12,ZBCM=ZBAC,sinZBAC和点B到直线MC的距离.〔墓型》已知一直角边和一锐角解直角三角形3•如图，在AABC中,(1)求AC的长;(2)求BC的长.ZB=90°,ZC=30°,AB=3・64.已知：如图，在/?rAABC中，ZC=90°,ZA=30%BC=3,D为AC边上一点，ZBDC=45°,求AD的长.〔奏雙2已知斜边和一锐角解直角三角形5如图，在/?rAABC中，ZC=90°,ZB=45°,a,b,c分别为ZC的对边，c=10,解这个直角三角形.7ZA,ZB,6.如图，在ZiABC中，ZC=90°,ZB=30°,AD是ZBAC的平分线，与BC相交于点D,且AB=4羽，求AD的长.潮餘离鼠工已知非直角三角形中的边和角解直角三角形类型1化斜三角形为直角三角形问题（化斜为直法）7.如图，在ZXABC中，点D是AB的中点，DC1AC,且tanZBCD=|,各个三角函数求ZA的类型2化解四边形问题为解直角三角形问题8.仲考•北京)如图，在四边形ABCD中，对角线AC,BD交于点E,ZBAC=90。，ZCED=45。，ZDCE=30。，DE=返，BE=2迄.求CD的长和四边形ABCD的面积.类型3化解方程问题为解直角三角形问题9.已知a,b,c分别是Z\ABC中ZA,ZB,ZC的对边，关于x的一元二次方程a(l-x2)+2bx+c(l+x2)=0有两个相等的实数根，且3c=a+3b・9(1)判断AABC的形状;(2)求sinA+sinB的值.阶段强化专训四：作辅助线构造直角三角形的方法名师点金：锐角三角函数是在直角三角形中定义的，解直角三角形的前提是在直角三角形中进行，对于非直角三角形问题，要注意观察图形特点，恰当作辅助线，使其转化为直角三角形来解，最常用的是作高（或垂线）.洌濮筋更仁无直角、无等角的三角形作高1.如图，在ZXABC中，已知BC=1+羽，ZB=60。，ZC=45。，求AB的长.10有直角、无三角形的图形延长某些边2如图，在四边形ABCD中，AB=2,CD=1,ZA=60°,ZD=ZB=90°,求四边形ABCD的面积.R刚濮角虞工有三角函数值不能利用时作垂线3.如图，在AABC中，点D为AB的中点，DC丄AC,sinZBCD=|,求A.11tan求解非直角三角形中角的三角函数值时构造直角三角形4.如图，在Z\ABC中，AB=AC=5,BC=&若ZBPC=*ZBAC,求tanZBPC.（笫4题）阶段强化专训五：利用三角函数解实际问题中的几种数学模型名师点金：利用锐角三角函数解决实际问题，关键是构造直角三角形，在构••造时依据角（视角和方位角）或线进行构造，一般都是作垂线构造一个甚至几个直•••角三角形.Mil背靠背”型AaBD（第1题）1.（2014-襄阳）如图，在建筑平台CD的顶部C处，测得大树AB的顶部A的仰角为45°,测得大树AB的底部B的俯角为30°,已知平台CD的高度为5m,则大树的高度为_______加（结果保留根号）.2.（2014-资阳）如图，湖中的小岛上有一标志性建筑物，其底部为A,某人在岸边的B处测得A在B的北偏东30。的方向上，然后沿岸边直行4公里到达C12处，再次测得A在C的北偏西45。的方向上（其中A,B,C在同一平面上）.求这个标志性建筑物的底部A到岸边BC的最短距离.（第2ft“母抱子”型3.校车安全是近儿年社会关注的墮大问题，安全隐患主要是超速和超载.某中学数学活动小组设计了如下检测公路上行驶的汽车速度的实验：如图，先在公路旁边选取一点C,再在笔直的车道1上确定点D,使CD与1垂直，测得CD的长等于21米,在1上点D的同侧取点A,B,使ZCAD=30°,ZCBD=60°.（1）求AB的长.（精确到0.1米，参考数据：羽~1・73,72^1.41）（2）已知本路段对校车限速为40千米/时，若测得某辆校车从A到B用时2秒，这辆校车是否超速？说明理由.（第3题）4.如图，小刚同学在广场上观测新华书店楼房墙上的电子屏幕CD,点A是小刚的眼睛，测得屏幕下端D处的仰角为30。，然后他正对屏幕方向前进了6米到达B处，乂测得该屏幕上端C处的仰角为45。，延长AB与楼房垂直相交于点E,测得BE=21米，请你帮小刚求出该屏幕上端与下端之间的距离CD（结果保留根号）.Mi“斜截”型5.某片绿地的形状如图，其中ZA=60°,AB丄BC,AD丄CD,AB=200/?/,CD=100m•求AD,BC的长（精确到1加,羽~1・732）・（第5题）答案阶段强化专训一1CRD2•解：VAD丄BC:.tanZBAD=^・33RDV/anZBAD=j'AD=12-4=77ABD=9.•••CD=BC—BD=14—9=5，•••在CD2=AC=^AD2+/?rAADC中，寸122+52=131213-3•解：（1）解方程组尹+空得..y=2x‘所以B点坐标为（1，2）；3⑵作BC丄x轴于点C/如图，当y=0时，尹+夕=0，解得x=•••AB=pAC?+BC?=2远，BC2J5slnZB\C=-^=^=54-D5.B6.30°7.B8.解:Vb2=(c+a)(c_a)»b2=c2—a2.即c2=a2+b2»AAABC是直角三角形.b4V5b-4c=0A5b=4c贝虹=§设b=4k，c=5k，那么a=3k.•.3k,4k7/•sinA-rsinB=^+祁=§・9解:VCD是斜边AB上的中线，•••CD=AD=BD・AZDCB=ZB.VZACD+ZDCB=90°ZACD+ZCAH=90°•••ZDCB=ZCAH.•••ZB=ZCAH.在/?rAACH中，AH=2CHAAC=V5CH./•sinZCAH=CH_CH_^5B=sinAC_^5CH_5•阶段强化专训二1•分析：本题可利用求解，在原式的分子、分母上同时除以cosA，COSA把原式化为关于说合的代数式，再整体代入其值求解即可.也可直接山舲=4，得到曲?A与cosA之间的数量关系，代入式子中求值.曲—3^cosA”亠、丄8亠(sinA—3cosA)^cosAA45/7?cosA'AcosA解：(方法1)原式=(4血A+sA)••然=4，・••原式=缶吾嗚.rill/X(方法2)V^-^=4:.sinA=4cosA.A—3eosAcosA•••原式=4cosA+coyA17cosA17'4X2•分析：要求si”aa的值，必须利用锐角三角函数之间的关系找出它与已知条件的关系再求解.^2j2解：•:sina—cosa=专*(sina—cosa)=亍即sin2o+c(?52a—2sinacosa=g.1—2sinacosa=g,\2sinacosa•/(sina+co$a)1=sin2a+cos1a+2s加乂Ta为锐角J.sina0cosa0.12*••丄心••sma十cosa=?・/J.sin(45°—a)=cos3・C点拨：V(45°-a)+(45°(45°22+a).s初2(45°—a)+s加2(45°+a)=co5(45°+a)+sin(45°+a)=l.+a)=90°•4•分析：因为tan1°•tan89c=15tan2°•tan88°=］，tanJ•••tan4446°=1，所以运用乘法的交换律和结合律，本题易求得结果.解：tan1°•tan2°-tan3°•…•血〃288°•⑷zS9°=(tan\°tan89°)•(tan2°-tan88°)・八・・(血〃244°•如246°\tan45°=1.点拨：互余的两角的正切值的积为1，即若a+卩=90°，则加〃a•加〃B=1.5•解：•/sina+cosa=121，咖(sina-\-cosa.…a)=sin+co2a+2咖acos22a=l+2xg=g7a•'a为锐角J.sinci-\~cos口••・12乂•sma•cosa=a0./.sinaa=5-+cos2•:以sinQ，cosa为根的一元二次方程为x257,12-5x+25=0'点拨：此题运用到两个方面的知识：（1）公式血2a+c°$2a=i与完全平方公式的综合运用；（2）若Xl+X2=pXlX2=q*则以XI，X2为两根的一元二次方程为X2—px+q=0.6•解:9：sina是方程2x2-7x+3=0的一个根，•••山求根公式，得只=一(一7)±\1(一7)2—4X2X37±52X2—丁sina=或sina=3（不符合题意1舍去）.sin2a+cos2a=X•/cosa0»J.cosyj1—2sinacosayjsin2a+co2a—2sinay](sina—cosa)2=\sinQ—coscosa=1胡冲.阶段强化专训三1•解：・.・a=2也，b=6，Ac=^a2+b2=^12+36=A/48=4V3.*.•tanA=£=娈=£，・・・ZA=30o.-.ZB=60°.b632•