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1・2正弦定理和余弦定理应用举例(学生版)【知识梳理】(1)正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等.即卩：———R，其中R为该三角形外接圆的半径.2sinAsinBsinC(2)余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.222222222即：c=a—-2abcosC,a=b—-2bccosA,b=a—-2a——osC.1111ahabsinCa—sinBb—sinA.(3)面积公式:2222过点C作CD丄AB于D,此时有CD=bsinA,S.ABC证明:111同理可得11=——CD=—b—sinA,222.正弦定理和余弦定理的应用■-------.-■-■.---------—■--■_■-.■.■-■----■■-■-r—考点1:三角形面积公式的应用【例11在厶ABC中，已知A=30°a=8,b=环3,求厶ABC的面积.3l练习1.已知△ABC的面积为2,且b=2,c=；3,则（）A.A=30°B.A=60°C.A=30°或150°D.A=60°或120°2.在△ABC中，AB=2,BC=5,AABC的面积为4,贝Ucos/ABC等于（）3332DA・5B.±5C—5.±53.在△ABC中，已知b=1,—=3,A=60,则S^ABCF4.o在△KBC中，若a=7,b=3,）c=8，则其面积等于（A.12B.21C.282D.63考点2:判断三角形的形状【例21（1）已知△ABC的三边的长度分别为5、7、8,试判断△ABC的形状.（2）已知（a+b+c）（a+b—c）=3ab且2—osAsinB=sinC,试判断此三角形的形状.练习1.在ABC中，bcosA二acosB，则ABC是（）A.直角三角形形222.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a、b、c,若（a+c—则b2)tanB=：3ac.角B的值为（)nn2n一仃5nnCA-6D-3或3B-6或6-33•在ABC中，a,b,c分别为角A,B,C的对边，若2acosB=c，则二ABC的形状（B•锐角三角形C•等腰三角形D•等边三角A.直角三角形B.等边三角形C.等腰三角形D.等腰直角三角形4•设2a+1,a,2a—1为钝角三角形的三边长,求实数a的取值范围.【反思】本题实质上是求2a+1,a,2a—1能构成钝角三角形的充要条件，除了要保证三边长均为正数外，还应满足“两边之和大于第三边”.5.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知bcosC=（2a—c）cosB.2（1）求角B的大小；⑵若b=ac,试确定△ABC的形状.考点3:测量距离类型1:设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离。【例3】测量者在A的同测，在所在的河岸边选定一点45,oC,测出AC的距离是10、3，/BAC=/ACB=75°,求A、B两点间的距离.类型2:A、B两点都在河的对岸(不可到达)，设计一种测量两点间的距离的方法。【例4】如图，为了测量河对岸A,B两点间的距离，在岸边定一基线CD,现已测出CD=a和/ACD=60°/BCD=30°/BDC=105°/ADC=60°试求AB的长.练习1•隔河可以看到对岸两目标A、B,但不能到达，现在岸边取相距,3km的C、D两点,测得.ACB=75：,.BCD=45：,.ADC=30：,ADB=45(A、B、C、D在同一平面内)，求两目标A、B间的距离.A练习2.如图某河段的两岸可视为平行，为了测量该河段的宽度，在河段的一岸边选取两点A、B，观察对岸的点C，测得•CAB=75：,■CBA=45：,且AB=100米.(1)求sin75；(2)求该河段的宽度.考点4:测量高度【例5】如图，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角a=60：'，在塔底C隔用处测得A处的俯角0=45.已知铁塔BC部分的高为10m，求出山高CDD练习1如图，为了测量河对岸的塔高AB,有不同的方案，其中之一是选取与塔底B在同一水平面内的两个测点C和D，测得CD=200米，在C点和D点测得塔顶A的仰角分别是45°和30°且/CBD=30°求塔高AB.D练习2.如图，为了测量河对岸电视塔CD的高度，小王在点A处测得塔顶D仰角为30°，塔底C与A的连线同河岸成15°角，小王向前走了1200m到达M处,测得塔底C与M的连线同河岸成60°角，则电视塔CD的高度为_________________.3.在地面上一点D测得一电视塔尖的仰角为45，再向塔底方向前进100m,又测得塔尖的仰角为60，则此电视塔高约为（）A.237mB.227mC.247mD.257m4.为测某塔AB的高度，在一幢与塔AB相距20m的楼的楼顶处测得塔顶测得塔基B的俯角为45°，则塔AB的高度为多少m?A的仰角为30°，考点5:测量角度【例6】如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60方向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东■■东?的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上.（1）求渔船甲的速度；（2）求sin〉的值.考点6三角形中的恒等式证明问题【例7】在厶ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,证明:⑴求角B的大小；⑵若b—.13,a+c—4,求厶ABC的面积.练习1.在△ABC中，求证:a—ccoSBsinBb—ccosA—sinA2.在△ABC中,a、b、c分别是角A、B、C的对边，且a2—b2sinABc2—cosB_bcosC—2a+c.—sinC3.在△ABC中，求证：c(acosB-bcosA)二a2-b2.4.在△ABC中，求证：a=bcosCccosB,b=ccosAacosC,c=acosBbcosA.1.在200m高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30和60，则塔高为（400200C.mD.m332.如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，则它的顶角的余弦值为（）A7厂7宀8f8A.-8%C.-7D.73.如图，在一幢20m高的楼顶测得对面一塔顶部的仰角为60°塔基的俯角为45°则这座塔的高度是（）A.201+3B.20(1+.3)mC.10(;6+2)mD.20(6+2)mD4.海上有A，B两个小岛相距10nmile，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，贝UB，C之间的距离为（）A.103nmile106B.—3nC.52nmilenmile5.如图，要测量湖中一灯塔的高CD（水上部分），可在岸边一建筑物AB上进行有nn关的测量.已知AB=20米，且测出/CAD=3，/ACB=4,则灯塔CD的高度为（）_C.102米B.20(6-2)米D.20(/3A.20（3—3）米+,；2）米6.—艘轮船从A出发，沿南偏东70°的方向航行40海里后到达海岛B,然后从B出发，沿北偏东35°的方向航行了402海里到达海岛C.如果下次航行直接从A出发到C,此船航行的方向和路程（海里）分别为（）C.北偏东65°20（6+2）D.北偏东80°20（,'3+2）7.—货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15°方向上，与灯塔S相距20nmile，随后货轮按北偏西30°的方向航行3h后，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为（）1010.6+;'2-B.迟nmile/hA.3nmile/hA.北偏东80°20（诟+返）B.北偏东65°20^3^2）8.在△中，若籍-a4，则厶ABC是）A.直角三角形腰直角三角形（a3C.等腰或直角三角形D.等9.AABC中，AB='3,B.等腰三角形3.'3AC=1,ZB=30°则厶ABC的面积等于（A.2B.4c乎或V310.在△ABC中，A=60°AB=1,AC=2,）3D.2或4八1口並A.2B.2C.；3D.2.311.已知△ABC的三边长分别为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于____________.12.如图，为测量山高MN,选择AC和另一座山的山顶C为测量观测点.从A°从点C测得M点的仰角/MAN=60°点的仰角/CAB=45°以及/MAC=75点测得/MCA=60°.已知山高BC=100m,则山高MN=__________________m.10」6+-3C.——nmile/h3ABCbD.(yi-羽)nmile/h10413.________________________________________________________某海岛周围38海里有暗礁，一轮船由西向东航行，初测此岛在北偏东60°方向，航行30海里后，测得此岛在东北方向，若不改变航向，则此船_____________________触礁的危险.（填“有”或“没有”）14.已知△ABC的三个内角A,B,C满足2B=A+C,且AB=1,BC=4,则BC边上的中线AD的长为_________.15如图，为了解某海域海底构造，对海平面内一条直线上的A,B,C三点进行测量.已知AB=50m,BC=120m,于A处测得水深AD=80m,于B处测得水深BE=200m,于C处测得水深CF=110m,求/DEF的余弦值.16.一只船以20海里/时的速度向正东航行，它在A点时测得灯塔P在船的北偏东60°方向，2小时后船到达B点时测得灯塔P在船的北偏东45°方向，求：⑴船在B点时与灯塔P的距离；⑵已知以P点为圆心，55海里为半径的圆形水域内有暗礁，那么此船继续向正东航行，有无触礁的危险？17.某货船在索马里海域航行中遭海盗袭击，发出呼叫信号，如图，我海军护航舰在A处获悉后，立即测出该货船在方位角为45。，距离为10海里的C处，并测得货船正沿方位角为105°的方向，以10海里/小时的速度向前行驶，我海军护航舰立即以10,3海里/小时的速度前去营救，求护航舰的航向和靠近货船所需的时间.18.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且bsinA=pacosB.⑴求角B的大小；（2）若b=3,sinC=2sinA，求a,c的值.19.如图，在树丛中为了测量河对岸A、B两点之间的距离，观察者找到一个点C,从C点可以观察到点A,B;找到一个点D,从D点可以观察到点A,C;找到一个点E,从E点可以观察到点B,C.并测量得到图中的一些数据，此外，.CDA=/CEB=60.（1）求ABC的面积；（2）求A、B两点之间的距离1・2正弦定理和余弦定理应用举例(教师版)【知识梳理】(1)正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等.a即：bc2R，其中R为该三角形外接圆的半径.sinAsinBsinC(2)余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.222222222即：c=ab「2abcosC,a=bc「2bccosA,b=ac「2accosC.、1111SABCahabsinCacsinBbcsinA.小222211证明：过点C作CD丄AB于D,此时有CD=bsinA,SABCcCDbcsinA,22111同理可得SABCabsinCacsinBbcsinA.222(3)面积公式：2.正弦定理和余弦定理的应用考点1:三角形面积公式的应用【例11在厶ABC中，已知A=30°8,b=8羽，求厶ABC的面积.abb8330解析：由snA=sinB，得sinB=asinA，「sinB=~^sin30=专.又：3sin3088‘3,即bsinAab，A三角形的解有两种情况.••sinB^2-，/B=60°或120°,90°或30°.111.•SZABC=§absinC=8X^/3xsin90°32/3或SZABC=x8x^3Xsin30°=163，•••△BC的面积为32；3或16.3.3练习1.已知△ABC的面积为2,且b=2，c=.3,则（D）A.A=30°B.A=60°C.A=30°或150°D.A=60°或120°2.在△ABC中，AB=2,BC=5,AABC的面积为4,则cos/ABC等于（B）3B3D32A.5.±C.-5.±解析：由S=1ABBCsin/