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第一章投影基本知识一.教学目的§1-11-2投影概念及正投影特性掌握点在两投影面体系和三投影面体系中的投影及点的投影特性。理解重影点的概念、判断重影点的可见性。了解两投影面体系中的分角和各分角中点的投影。掌握空间两点的相对位置。二.教学重点讲课重点：两投影面体系、三投影面体系的建立及点的投影特性，空间两点的相对位置关系。三.教学难点如何清楚地讲述的点的投影特性，在学习初期，有效地帮助学生建立良好的空间思维。四.布置作业习题集一.投影法的形成影子与投影概念的区别：1.物体在光源的照射下会出现影子2.光源发出的光线，假设能透过形体而将各个顶点和各条侧棱都在平面P上投落它们的影，这些点和线的影将组成一个能够反映出形体各部分形状的图形，这个图形称为形体的投影（简单的说：形体通过投影线在投影面上产生的投影）。²投影形成的三要素：形体、投射线和投影面。²投影法中的空间形体，只研究它们的空间形状，而不涉及它们的制造材料、重量、质量分布是否均匀等物理性质。二.投影的分类1.中心投影——光源s通常称为投影中心，当投影中心在有限的距离内，发出放射状的投影线，这些投影线形成的投影称为中心投影（或投射线集中一点时产生的投影）。2.平行投影——投影中心在无限远处，发出平行的投影线，这些平行投影线形成的投影称为平行投影（或平行投射线产生的投影）。在平行投影中，根据投影线与投影面的倾角不同，又分为正投影和斜投影两种。1)正投影——平行投射线垂直投影面2)斜投影——平行投射线倾斜投影面中心投影与平行投影的投影特性：æ中心投影：如果改变形体与投射中心或投影面的距离，其投影的大小随之变化，度量性较差。æ平行投影：投影不随形体与投射中心或投影面的距离的改变而改变，度量性好；且当空间形体的某一平面与投影面平行时，起头亚反映该平面的真实形状和大小。（后一特性是平行投影的一个非常重要的特性）三.投影法的应用1.利用中心投影法画透视图特点：逼真、形象、直观。2.利用斜投影法画轴测图在与空间形体一个表面平行的投影面上作出的投影图。3.利用正投影法画正轴测图在一个不平行于空间形体的任一向度（可理解为确定空间形体两两相互垂直的三个坐标轴的方向）的投影面上作出的投影图。4.利用正投影法画正投影图在两个或两个以上相互垂直，并分别平行与空间形体的主要侧面的投影面上作出的投影图。这种由两个或连歌以上正投影组合而成，用以确定空间唯一的形体的一组投影，称为多面正投影图，简称正投影图。5.利用正投影法画标高投影图将一段地面的等高线投射在水平的投影面上，并标注出各等高线的标高来表达该地段的地形。四.平行投影的特性（平行投影中的正投影同样遵循这样的投影特性）1.显实性2.相似性3.积聚性4.平行性5.从属性6.定比性五.投影图的形成（一）一个投影的投影图（不能唯一确定空间形体）在形体的正下方放一投影面，使其处于水平，这个投影面称为水平投影面H，简称H面，在H面上的投影称为水平投影或H投影。（二）两个投影的投影图（有时也不能唯一确定空间形体）垂直H面增加一正立投影面V，简称V面，在V面上的投影称为正面投影或V投影。H面和V面组成一个两投影面体系。两投影面的交线称为投影轴，V∩H=OX轴。V投影面反映形体的长度和高度，两投影面展开后，V投影与H投影左右对齐，这种投影关系称为“长对正”。（三）三个投影的投影图（一般情况可以唯一确定空间形体）同时垂直H面和V面增加一侧立投影面W，简称W面，在W面上的投影称为侧面投影或W投影。H面、V面和W面组成一个三投影面体系。投影面两两相交，其交线称为投影轴：V∩H=OX轴H∩W=OY轴V∩W=OZ轴V投影面反映形体的长度和高度，W投影面反映形体的宽度和高度。两投影面展开后，V投影与W投影上下平齐，这种投影关系称为“高平齐”。H投影面反映形体的长度和宽度，W投影面反映形体的高度和宽度。两投影面展开后，H投影与W投影的宽度相等，这种投影关系称为“宽相等”。六.投影图的特性1.正投影的投影关系：“长对正”、“高平齐”、“宽相等”。2.每个投影面均反映两个坐标，同时反映上下、左右、前后方位关系。沿x轴——反映左右沿y轴——反映前后沿z轴——反映上下H投影面反映形体的长度和宽度，反映前后、左右方位关系。V投影面反映形体的长度和高度，反映上下、左右方位关系。W投影面反映形体的宽度和高度，反映前后、上下方位关系。§1-3点的投影一.点的三面投影的展开规定：空间点用大写字母表示，点的三个投影都用同一个小写字母表示。其中H投影不加撇，V投影加一撇，W投影加两撇。1.V投影面保持不动，H投影面绕OX轴向下旋转90度。2.V、H投影面保持不动，W投影面绕OZ轴向右旋转90度。点的投影特性：点在两个投影面上的投影连线，垂直与两投影面的交线，即垂直于投影轴。b)空间一点到投影面的距离等于另外一个投影到投影轴的距离。3.最后三个投影面位于同一平面上，通常投影面的边框不必画出。强调点的投影特性，讲完后再重新总结一次。二.点在其它分角中的投影由于书中没有这方面的介绍，结合Powerpiont给出的立体图，简单介绍。学生较容易理解。三.点在三个投影面中的位置1.x,y,z≠0，点在空间2.x＝0y,z≠0时，点在W面上y＝0x,z≠0时，点在V面上点在投影面上z＝0y,x≠0时，点在H面上3.x,y＝0z≠0，点在z轴上y,z＝0x≠0，点在x轴上z,x＝0y≠0，点在y轴上4.x,y,z＝0，点在坐标原点例1已知点A的正面投影a′和侧面投影a″（a），求作该点的水平投影。分析:在图b中，自a′向下作OX轴的垂线，自a″向下作OYw轴的垂线与45°辅助直线交于一点，过该交点作OYH轴的垂线，与过a′竖直线交于a，a即为A点的水平投影。例2已知空间点A的坐标（18,12,15），求作其面三面投影。分析：由点A的坐标可知，A到W面的距离x=18,到V面距离y=12,到H面距离z=15。根据点的每两个坐标确定一个投影的关系，便可进行作图。四.两点的相对位置两点的相对位置是指两点在空间的上下、前后、左右位置关系。判别方法：X坐标大的在左，Y坐标大的在前，Z坐标大的在上。例3．A、B两点的投影如下图，试判别A、B两点的相对位置。分析：如图A在左,B在右；A在后,B在前；A在上，B在下。∴点A在B的左、后、上方。五.重影点当空间两点位于对投影面的同一条投影线上时，这两点在该投影面上的投影重合，称这两点为对该投影面的重影点。§1-4直线的投影一.教学目的掌握空间各直线的投影特性及判别方法，了解直线与投影面倾角的概念。掌握直线上点的投影。掌握两直线的空间相对位置，并会利用两直线的空间相对位置求解直线上的特殊点的投影。二.教学重点讲课重点：三种位置直线的投影特性、判别方法，直线上点的从属性。依据直线的两面投影判断直线的相对位置。三.教学难点如何清楚地讲述的点的投影特性，在学习初期，有效地帮助学生建立良好的空间思维。四.布置作业习题集两点确定一条直线，将直线上两点的同面投影用直线连接起来，就得到直线的三个投影。一般情况下，直线的投影仍为直线。直线的长度是无限长的，可以用直线上的任意两点的字母来标记，如直线AB、直线CD，或用一个字母表示，如直线L。线段是直线上两点间的一段，线段的长度是有限的，用两端的端点来标记。直线在三投影面中的位置关系有三种：平行、垂直、倾斜。其中平行、垂直称为投影面的特殊直线，倾斜称为投影面的一般直线。一.投影面的垂直线——垂直于其中一个投影面，而同时平行另外两个投影面的直线。这样的直线有三种：垂直H面，平行V面、W面——铅垂线垂直V面，平行H面、W面——正垂线投影面的垂直线垂直W面，平行H面、V面——侧垂线结合立体图和展开后的平面图，以铅垂线为例阐述投影面垂直线的概念和投影特性，再来演示另外两种垂直线及其投影特性。最后总结性提出投影面的垂直线的投影规律和判别方法。投影面的垂直线的投影规律1.在所垂直的投影面上积聚为一点。2.另外两投影同时平行与两投影面的相交轴线，分别垂直积聚投影面的相应投影轴，且反映实长。判别方法只要有一投影积聚为一点，一定是投影面的垂直线，且垂直于积聚投影所在的投影面。二.投影面的平行线——平行于一个投影面，倾斜于其它两个投影面的直线这样的直线也有三种：平行于H投影面，倾斜于V、W投影面的直线—称为水平线平行于V投影面，倾斜于H、W投影面的直线—称为正平线投影面的平行线平行于W投影面，倾斜于H、V投影面的直线—称为侧平线阐述倾角的概念：空间直线与投影面的倾角就是该直线和它在该投影面的投影所夹的角。投影面的平行线的投影规律1.在所平行的投影面上的投影反映平行线段实长，且与投影轴的夹角反映平行线于相应投影面夹角的实形。2.另外两投影都小于实长，分别平行于平行投影面的相应轴线，同时垂直于两投影面的交线。判别方法只要有一个投影是倾斜的，另外两个投影是平行的，一定是投影面的平行线，且平行倾斜投影所在的平面。三.一般位置直线——与三个投影面都倾斜的直线直线与H、V和W三投影面的夹角分别用α、β、γ表示。一般位置直线的投影规律：1.三面投影都是倾斜的，且长度都小于线段实长，即不反映实长。2.三面投影都不反映直线对于H、V、W面的倾角α、β、γ实形。判别方法：只要有两个投影是倾斜的，一定为一般位置直线。三部分讲完后，利用黑板举例提问加深印象。四、直线上的点主要讲两点：1.从属性：若点在直线上，则点的各个投影必在直线的同面投影上。反之，如果点的各个投影均在直线的同面投影上，则点在直线上。（开始部分学生不好理解这条，举例题帮助理解）2.定比性：一直线上两线段长度之比，等于它们的投影长度之比。五、两直线的相对位置空间两直线共有三种相对位置关系：平行、相交、交叉1.平行两直线平行两直线的投影特性：空间两直线平行，则其各同面投影必相互平行，反之亦然（即如果空间两直线各同面投影相互平行，则两直线必平行）。判别方法：对于两条一般位置直线，如果有两面投影相互平行，那么这两条直线必平行。（特殊情况是针对两条侧平线而言）2.相交两直线相交两直线的投影特性：空间两相交平行的同面投影必相交，且交点满足投影规律，即“长对正、高平齐、宽相等”。判别方法：同面投影必相交且交点符合投影规律两直线必相交。3.交叉两直线交叉两直线的投影特性：三面投影不可能同时保持平行；如果同面投影有交点，交点不符合投影规律。判别方法：既不平行又不相交的两直线必为交叉直线。§1-5平面的投影一.教学目的掌握各种位置平面的投影特性及其判别方法，掌握平面上的两条特殊直线（水平线和正平线），会通过投影作图求平面上的点和直线。掌握直线与平面、平面与平面平行的投影特性。掌握直线与平面、平面与平面相交的投影特性，会正确求解交点或交线且正确判断可见性。二.教学重点投影面的平行线和垂直线的投影特性和判别方法。确定平面上的点和直线。直线与平面、平面与平面平行关系的判断，直线与平面、平面与平面相交关系的求解及可见性判断。三.教学难点如何判断两一般面相互平行，学生不易理解。注意要将可见性判断的方法讲清楚，以往这部分作业做的不好。结合例题，清楚明白地讲解解体思路，引导学生如何正确的思考问题。四.布置作业习题集一.平面的表示方法1.不在同一直线上的三个点，确定一平面2.一直线和线外一点3.相交两直线4.平行两直线5.平面图形（任意平面多边形）二.平面的位置及其投影特性空间一平面相对投影面共有三种相对位置：平行、垂直、一般位置。平行面和垂直面称为投影面的特殊位置平面。（一）平行面——平行于某一投影面，垂直于另两个投影面的平面这样的平面有三种：平行于H投影面，垂直于V、W投影面的平面—称为水平面平行于V投影面，垂直于H、W投影面的平面—称为正平面投影面的平行面平行于W投影面，垂直于H、V投影面的平面—称为侧平面¯以水平面为例阐述投影面平行面的概念和投影特性，再来演示另外两种平行面及其投影特性。最后总结性提出投影面的平行面的投影特性和判别方法。投影面平行面的投影特性：1)如平面用平面形表示，则其在所平行的投影面上的投影，反映平面形的实形；2)在另外两个投影面